第0章利息理论基础

1、121.1 利率的基本概念利率的基本概念一、利息的定义n定义：n利息的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。 n影响利息大小的三要素：n本金n利率n时期长度3二、利息的度量累积函数总额函数贴现函数第n期利息)(ta)(tA)(1ta0t1-K- -1)(1ta)(ta)(tA) 1()()(nAnAnI( )I n4利息度量计息时刻不同n期末计息利率n第n期实际利率n期初计息贴现率n第n期实际贴现率) 1()(nAnIin)()(nAnIdn5例0.1 实质利率/贴现率n某人存1000元进入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年存

2、款余额为1050元，求 分别等于多少？2121ddii、1211112222( 0 )1 0 0 0 ,( 1 )1 0 2 0 ,( 3 )1 0 5 0( 1 )( 0 )2 0 ( 3 )( 2 )3 02 02 %( 0 )1 0 0 02 01 .9 6 %( 1 )1 0 2 03 02 .9 4 %( 1 )1 0 2 03 02 .8 6 %( 2 )1 0 5 0AAAIAAIAAIiAIdAIiAIdA 解：7, ()(1)nniinanKi 特别地：特别地：递推公式：递推公式：12()(1)(1 ),1()(1)(1)(1)nnaniannanKiii 以后如不特别说明，

3、都是针对每年的以后如不特别说明，都是针对每年的相同的相同的年利率年利率的情况的情况8利息转换频率不同n实际利率：以一年为一个利息转换期，该利率记为实际利率，记为 。n名义利率：在一年里有m个利息转换期，假如每一期的利率为j，记 为 这一年的名义利率， 。n利息力：假如连续计息，那么在任意时刻t的瞬间利率叫作利息力，记为 。n实质贴现率和名义贴现率的定义与实质利率、名义利率类似。)(miit()mimj 9实质利率与实质贴现率初始值利息积累值11ii1d111）（idvv10名义利率n 名义利率1i1i141)4(i2)4(41i3)4(41i4)4(41i)(miimimm11)(11名义贴现

4、率n 名义贴现率1d1d141)4(d2)4(41d3)4(41d4)4(41d)(mddmdmm11)(12例0.2n1、确定500元以季度转换8%年利率投资5年的积累值。n2、如以6%年贴现率，按半年为期预付及转换，到第6年末支付1000元，求其现时值。n3、确定季度转换的名义利率，使其等于月度转换6%名义贴现率。13例0.2答案n1、n2、n3、420(4)0.081500 1742.9744niP84.693206. 01100021122)2(0nndAA%0605. 611206. 014121413)4(12)12(4)4(idi14练习：n对下列从小到大排序：(m=2,3,4)

5、n求数列 和 的极限.)(mi)(mdid)(mi)(md15利息效力n定义：瞬间时刻利率强度()()( )ln( )( )( )ln ( )( )limlimtmmmmA tdA tA tdta tda ta tdtid16等价公式n一般公式n恒定利息力场合dstseta0)(ln(1)( )nia ne1ln( )nvane 17例0.3n确定1000元按如下利息效力投资10年的积累值n1、n2、%52)1 (05. 0tt18例0.3答案50.104610001000272.1648100010001100105. 0)1(05. 005. 010101002tdtteeee、19复利计

6、息复利计息n利息计入本金，即所谓的利上加利；iiitant)1()(20现值现值n未来给付额的现在价值，称为此给付额的现值n设未来的n年末给付c元，其现值计为x(1)/ (1)nnncxixcicv 21终值终值n现在的资金，累计到未来时刻t的总额，称为t时刻的终值。n设现在的b元，在n年末的终值为：(1)nbi 221.1.2 年金年金一、年金的定义与分类n定义n按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。n分类：n 主要有8种常见的确定年金（画图理解）23基本年金图示 0 1 2 3 n n+1 n+2 1 1 1 1 0

7、0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 期末永久年金期末永久年金期初永久年金期初永久年金期末年金期末年金期初年金期初年金24基本年金公式推导211(1)1111(1)1(1)(1)11(1)(1)1(1)1(1)(1)(1)(1)nnnnnnnnnnnnnnnnvvvavvvvivavvi adiisiiiiisiii sd 2511,(1)11(1),11limlim11limlimnnnnnnnnnnnnnnnnvvaaidiissidvaaiivaadd26例0.4 n某人以月度转换名义利率5.58%从银行贷款30万元，计划在15年里每月末等额偿还。问

8、：（1）他每月等额还款额等于多少？（2）假如他想在第五年末提前还完贷款，问除了该月等额还款额之外他还需一次性付给银行多少钱？27例0.4答案n（1）n（2）2464300000%465.01215RRa04.22621500465.130000004.226215%465.0606060%465.012060RsPVRaPV或者28例0.5永久年金nA留下一笔100000元的遗产。这笔财产头10年的利息付给受益人B，第2个10年的利息付给受益人C，此后的利息都付给慈善机构D。若此项财产的年实质利率为7%，试确定B，C，D在此笔财产中各占多少份额？29例0.5答案25842)(7000:2499

9、3)(7000:4946570007000%710000007. 02007. 007. 01007. 02007. 010 aaDaaCaBA：30例0.6n某购房贷款8万元,每月初还款一次,分10年还清,每次等额偿还,贷款年利率为10.98%,计算每次还款额.31例0.6答案n方法一:n 521.106880000%8719. 012%98.10%8719. 012012RaRii ）（32例0.6答案n方法二:521.1068)1 (12800008000012%3729.101)1 ()121 (12)12()12(10)12(12)12(%98.10vdRaRdid 33例0.7n某

10、人在30岁时计划每年初存入银行300元建立个人帐户，假设他在60岁退休，存款年利率假设恒定为3。n（1）求退休时个人帐户的积累值。n（2）如果个人帐户积累值在退休后以固定年金的方式在20年内每年领取一次，求每年可以领取的数额。34例0.7答案n（1）退休时个人帐户积累值计算n（2）退休后每年可领取退休金30303%1.031300300147000.03/1.03s30303%20303%203%203%300300(1.031)300959.341 1.03ssXaXa35补充：相关理论及应用n核心：理解掌握现金流分析并灵活运用n参考书籍：36等差年金n一般形式n积累值n现时值012nPP+

11、QP+(n-1)QinvaQPaVnnn)0(insQPsnVnn)(37特殊等差年金年金递增年金递减年金P=1,Q=1P=n,Q=-1现时值积累值10)(nttntnnnavinvaIa 10)(nttnnnsinsIs 10)(nttnnnaianDa10)1 ()1 ()(nttntnnnsiisinDs38例0.8n某人第1年末存近银行1000元，以后每年都在前一年的基础上加存100元，假如此人共存了10年钱，在年实质利率为5的情况下，求第10年末此人帐户上的积累值。39例0.8答案105%105%95%105%10105%105%95%1010001001000100(1)0.051

12、.05112.58(2)0.05100010017733.68ssIssssIs将(2)式代入(1)式得40例0.9n有一项延付年金，其付款额从1开始每年增加1直至n，然后每年减少1直至1，试求其现时值。41例0.9答案111111(1)()()1111(1)1(1)(1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnanvnaIaDavviianvnvvv aivvaivaia a42等比年金kikiikkvkvvVnnn ,)11(1)1 ()1 ()0(1(1)(1)( )(1)(0)nnnikV niVik1)1 (nk012n11+k43例0.10:n某期末付永久年金首付款额为5000元,

13、以后每期付款额是前一期的1.05倍,当利率为0.08时,计算该永久年金的现时值.44例0.10答案67.16666603. 0500005. 008. 0)08. 105. 1(15000lim)0(nnV45例0.11n我国城镇职工基本养老保险采取社会统筹与个人帐户相结合的方式n个人帐户以个人缴费工资的8记入n如果某职工从20岁参加个人帐户保险，当年工资为6000元n工资年增长率为2，个人帐户的累计利率为4n求他在60岁退休时个人帐户的积累值。46例0.11答案2239394040(0)6000 81 1.021.021.021 (1.02 )1.0213280.63(40)(0) 1.04

14、64720.78VvvvvvVV（）=4801-47分期偿还n常见分期偿还类型n等额分期偿还n不等额分期偿还n等额本金偿还n分期偿还五要素n时期 n每次还款额 n每次偿还利息n每次偿还本金n未偿还贷款余额48分期偿还表（等额贷款为例）时期每次还款额每次偿还利息每次偿还本金贷款余额0-11k1n10总计n-nanv1nv1na11knv1knvknav1vnannattB49例0.12n某借款人每月末还款一次，每次等额还款3171.52元，共分15年还清贷款。每年计息12次的年名义利率为5.04%。试计算n（1）第12次还款中本金部分和利息部分各为多少？n（2）若此人在第18次还款后一次性偿还剩

15、余贷款，问他需要一次性偿还多少钱？前18次共偿还了多少利息？50例0.12答案1818018 0.42%018018(2)18372172.9718()29260.33BPaIPBB第次 还 款 后 分 析1211180 11 0.42%180 111212(1)121609.631561.89IiBi PaPPvor PI第次还款利息与本金分析51例0.13n有一种还债方式称为等额本金偿还n假如原始金额为nR元，每年偿还本金R元n试构造分期偿还表52例0.13答案时期每次还款额每次偿还利息每次偿还本金 贷款余额0-1kn0nR()n k R(1)nRRRRinR(1)i nkR(1)in R1(1)i nkR(1) i RiR53收益率的概念n使得投资返回净现时值等于零时的利率称为收益率。0)(0tnttRviP54再投资率例0.14：有两个投资方案可供我们选择nA方案：实质利率为10%，为期5年nB方案：实质利率为8%，为期10年我们应该