85直线与圆锥曲线的位置关系（第2课时）

1、第八章第八章 圆锥曲线方程圆锥曲线方程第 讲（第二课时）（第二课时）题型题型3 圆锥曲线中的定值问题圆锥曲线中的定值问题1. 如图，倾斜角为如图，倾斜角为的直线经过抛物线的直线经过抛物线y2=8x 的焦点的焦点F，且与抛物线交，且与抛物线交于于A、B两点两点. (1)求抛物线的焦点求抛物线的焦点F的坐标及准线的坐标及准线l的方程；的方程； (2)若若为锐角，作线段为锐角，作线段AB的垂直平分线的垂直平分线m交交x轴于点轴于点P，证明，证明|FP|-|FP|cos2为定值，为定值，并求此定值并求此定值. 解：解：(1)设抛物线的标准方程为设抛物线的标准方程为y2=2px，则则2p=8，从而，从而

2、p=4.因此焦点因此焦点F( ,0)的坐标为的坐标为(2，0).又准线方程的一般式为又准线方程的一般式为x=- .从而所求准线从而所求准线l的方程为的方程为x=-2.2p2p (2)解法解法1:如图如图,作作ACl, BDl,垂足分别为垂足分别为C、D， 则由抛物线的定义知则由抛物线的定义知 |FA|=|AC|,|FB|=|BD|. 记记A、B的横坐标分别为的横坐标分别为xA、xB， 则则 解得解得| |2| cos| cos4,22ApFAACxppFAFA4|.1-cosFA类似地类似地,有有|FB|=4-|FB|cos,解得解得记直线记直线m与与AB的交点为的交点为E，则则所以所以故故

3、为定值为定值.4|.1 cosFB2| |-| |-211444cos(|-|)(-).22 1-cos1 cossinFAFBFEFAAEFAFAFB2|4|.cossinFEFP22244 2sin|-|cos2(1-cos2 )8sinsinFPFP解法解法2：设设A(xA,yA)，B(xB,yB)，直线直线AB的斜率为的斜率为k=tan，则直线则直线AB的方程为的方程为y=k(x-2).将上式代入将上式代入y2=8x,得得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0，故故记直线记直线m与与AB的交点为的交点为E(xE,yE)，则则故直线故直线m的方程为的方程为224(2).ABkxxk222

4、(2)4,(-2),2ABEEExxkxyk xkk224124- ( -).kyxkkk令令y=0,得得P的横坐标的横坐标故故从而从而 为定值为定值.点评：点评：探求有关定值问题，一是可以探求有关定值问题，一是可以转转化为求值问题来解，二是可以考虑特化为求值问题来解，二是可以考虑特殊殊情况时的解情况时的解.22244,Pkxk2224(1)4|-2.sinPkFPxk22244 2sin|-|cos2(1-cos2 )8sinsinFPFP 如图如图,已知点已知点 F(1,0),直线直线l:x=-1，P为平面为平面 上的动点，过上的动点，过P作直线作直线l的垂的垂 线线,垂足为垂足为Q,且且

5、 (1)求动点求动点P的轨迹的轨迹C的方程；的方程； (2)过点过点F的直线交轨迹的直线交轨迹C于于A、B两点，两点，交直线交直线l于点于点M,已知已知 试推断试推断1+2是否为定值，并说明理由是否为定值，并说明理由.QP QFFP FQ 12,MAAF MBBF 解解:(1)设点设点P(x,y), 则则Q(1，y).由由得得(x+1,0)(2,-y)=(x-1,y)(-2,y),化简化简y2=4x.所以动点所以动点P的轨迹的轨迹C的方程为的方程为y2=4x.(2)设直线设直线AB的方程为的方程为x=my+1(m0). 设设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又，又M(-1，- ).,QP Q

6、FFP FQ 2m联立方程组联立方程组 消去消去x得得y2=4my+4，则则=(-4m)2+160,故故由由得得整理得整理得所以所以 为定值为定值.24,1yxxmy12124.-4yymy y12,MAAF MBBF 11122222-,-,yyyymm121222-1-,-1-,mymy121212122 112-2-()-2-2 4-2-0,-4yym yymy ymm2. 已知直线已知直线x-2y+2=0经过椭圆经过椭圆C: (ab0)的左顶点的左顶点A和上顶和上顶 点点D，椭圆，椭圆C的右顶点为的右顶点为B， 点点S和椭圆和椭圆C上位于上位于x轴上方的动点，直线轴上方的动点，直线AS

7、,BS与直线与直线l:x= 分别交于分别交于M,N 两点两点. (1)求椭圆的方程；求椭圆的方程； (2)求线段求线段MN的长度的最小值；的长度的最小值； 题型题型4 圆锥曲线中的最值与范围问题圆锥曲线中的最值与范围问题10322221xyab(3)当线段当线段MN的长度最小时，在椭圆的长度最小时，在椭圆C上是否上是否存在这样的点存在这样的点T，使得，使得TSB的面积为的面积为 ？若？若存在，确定点存在，确定点T的个数；若不存在，说明理由的个数；若不存在，说明理由. 解：解：(1)由已知得，椭圆由已知得，椭圆C的左顶点为的左顶点为A(-2,0)，上顶点为上顶点为D(0,1),所以所以a=2,b

8、=1, 故椭圆故椭圆C的方程为的方程为 (2)直线直线AS的斜率的斜率k显然存在，且显然存在，且k0， 故可设直线故可设直线AS的方程为的方程为y=k(x+2),从而从而15221.4xy10 16(,).33kM由由 得得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,设设S(x1,y1),则则 得得从而从而 即即又又B(2,0)，故直线，故直线BS的方程为的方程为由由 得得 所以所以 故故22(2),14yk xxy21216-4(-2),1 4kxk2122-8,1 4kxk124,14kyk2222-84(,),1 41 4kkSkk1-( -2).4yxk1-( -2)4,103y

9、xkx103,1-3xyk101(,-),33Nk161| |.33kMNk又又k0，所以，所以当且仅当当且仅当 即即 时等号成立时等号成立.所以所以 时，线段时，线段MN的长度取最小值的长度取最小值 .(3)由由(2)可知，当可知，当MN取最小值时，取最小值时， ,此时此时BS的方程为的方程为x+y-2=0, 所以所以要使椭圆要使椭圆C上存在点上存在点T，使得，使得TSB的面积等的面积等于于 ，只须，只须T到直线到直线BS的距离等于的距离等于 ， 1611618|2,33333kkMNkk161,33kk14k 14k 8314k 6 4(,),5 5S4 2|.5BS 1524所以所以T在

10、平行于在平行于BS且与且与BS距离等于距离等于 的直线的直线l上上.设直线设直线l:x+y+t=0,则由则由 解得解得 或或当当 时，由时，由 得得5x2-12x+5=0.由于由于=440,故直线故直线l与椭圆与椭圆C有两个不同的交点有两个不同的交点;当当 时，由时，由 得得5x2-20 x+21=0.24|2|2,42t3-2t 5-.2t 3-2t 2214,3-02xyxy5-.2t 2214,5-02xyxy由于由于=-20b0)的右焦点的右焦点F，作斜率，作斜率为为1的直线的直线l交椭圆于交椭圆于A、B两点，两点，O为原点为原点.已知已知 与向量与向量a=(3，-1)共线共线. (1

11、)求椭圆的离心率；求椭圆的离心率； (2)设设M为椭圆上任意一点为椭圆上任意一点,且且 (,R),证明：证明：2+2为定值为定值. 解：解：(1)设点设点F(c,0),则直线则直线l的方程为的方程为y=x-c.代入椭圆方程代入椭圆方程,整理得整理得(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0.22221xyabOAOB OMOAOB 设点设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则则因为因为 与与a(3，-1)共线，共线，所以所以3(y1+y2)+(x1+x2)=0，即即3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=0.所以所以 于是于是 解得解得a2=3b2.所以所以 (2)因为因为a2=

12、3b2,所以椭圆方程可化为所以椭圆方程可化为x2+3y2=3b2.22222121 222222-,.a ca ca bxxx xabab123,2cxx22223,2a ccab2261-.3cbeaaOAOB 由题设由题设 =(x1+x2，y1+y2). 因为点因为点M在椭圆上，在椭圆上，所以所以(x1+x2)2+3(y1+y2)2=3b2，即即2(x12+3y12)+2(x22+3y22)+2(x1x2+3y1y2)=3b2.因为因为A、B两点在椭圆上，两点在椭圆上，所以所以x12+3y12=3b2，x22+3y22=3b2. 又又x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-c)(x2-c

13、) =4x1x2-3(x1+x2)c+3c2OM 所以所以23b2+23b2=3b2,即即2+2=1,为定值为定值. 222222222222222222222222222-64-3-4332-4 3320.a ca ba ccababa ca bb cabbbbbbbab2.学校科技小组在计学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返算机上模拟航天器变轨返回实验，设计方案如右图回实验，设计方案如右图.航天器运行航天器运行(按顺时针方向按顺时针方向)的轨迹方程为的轨迹方程为变轨变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以后返回的轨迹是以y轴为对称轴，轴为对

14、称轴，M(0， )为为顶点的抛物线的实线部分，降落点为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8，0)，观测点观测点A(4，0)，B(6，0)同时跟踪航天器同时跟踪航天器.647221,10025xy (1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；线方程； (2)试问：航天器在试问：航天器在x轴上方时，观测点轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？天器发出变轨指令？ 解解: (1)设抛物线方程为设抛物线方程为 易得易得 所以曲线的方程为所以曲线的方程为 (2)设变轨点为设变轨点为C(x，y)

15、.根据题意可知根据题意可知 ，264,7yax1-.7a 2164-.77yx222110025164-77xyyx易得易得4y2-7y-36=0，解得解得y=4或或y=- (不合题意不合题意,舍去舍去),所以所以y=4,所以得所以得x=6或或x=-6(不合题意，舍去不合题意，舍去). 所以点所以点C的坐标为的坐标为(6,4),则则|AC|= ,|BC|=4.所以，当观测点所以，当观测点A、B测得离航天器的距离测得离航天器的距离分别为分别为 、时，应向航天器发出变轨指令、时，应向航天器发出变轨指令.942 52 51. 对于圆锥曲线中的定点、定值问题对于圆锥曲线中的定点、定值问题,一一般利用方程思想转化为求值问题来解决般利用方程思想转化为求值问题来解决.2. 对于求曲线方程中参数的取值范围问题，对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域函数，转化为函数的值域.3. 对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑