现代数学与中学数学

1、现代数学与中学数学西南大学 张廷艳专题1： 图形1.图形的定义及分类2.图形的一般性质3.图形的组合问题4.中学欧拉定理及推广5.图及应用：回路和一笔画问题 一.图形的定义及分类1.什么是图形？ 1 1）点、线、面、体这些可帮助人们有效的刻画错综复杂的世界，它们都称为几何图形（geometric figure）。从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。有些几何图形的各部分不在同一平面内，叫做立体图形（solid figure）。有些几何图形的各部分都在同一平面内，叫做平面图形(Plane figure) 2 2） 几何体的概念：几何体的概念：几何体简称体，像正方体、球体、棱椎体等都是几何体。包

2、围着体的是面，面有平面和曲面两种，面与面相交的地方形成线，线与线相交的地方叫做点。3 3）用运动的观点来理解点，线，面，体。点动成线，线动成面，面动成体。 一.图形的定义及分类2.图形的分类几何图形一般分为立体图形和平面图形1 1）立体几何图形）立体几何图形可以分为以下几类：第一类：柱体；包括：圆柱和棱柱，棱柱又可分为直棱柱和斜棱柱，棱柱体按底面边数的多少又可分为三棱柱、四棱柱、N棱柱；第二类：锥体；包括：圆锥体和棱锥体，棱锥分为三棱锥、四棱锥以及N棱锥；第三类：旋转体：包括：圆柱；圆台；圆锥；球；球冠；弓环；圆环；堤环；扇环；枣核形；第四类：截面体：包括：棱台；圆台；斜截圆柱；斜截棱柱；斜截

3、圆锥；球缺等一.图形的定义及分类2.图形的分类2 2）平面几何图形也可分为四类：）平面几何图形也可分为四类：1.圆形（包括正圆，椭圆）2.多边形：三角形（分为一般三角形，直角三角形，等腰三角形，等边三角形）、四边形（分为不规则四边形，梯形【分为直角梯形和等腰梯形】，平行四边形，平行四边形又分：矩形，菱形，正方形）、五边形、六注：正方形既是矩形也是特殊的菱形。3.弓形（由直线和圆弧构成的图形，包括优弧弓，劣弧弓，抛物线弓等）。4.多弧形（包括月牙形，谷粒形，太极形葫芦形等）二.图形的一般性质1.图形的性质：在平面几何中，一个长方形G 具有以下性质：p1对角线相等，四角相等(皆为直角)；p2对边平

4、行，对角相等，对角线互相平分；p3边界为首尾相连的四条线段；p4边界封闭；p5单连通(中间没有“洞”)p6维数为2二.图形的一般性质2.图形的变换不变性：现对图形G 进行下列变换，看它的性质有何变化：(1)运动(平移、旋转和对称)，性质p1p6都不改变，故这些性质都是运动不变性(2)仿射变换(平行投影到另一平面)，性质p2p6仍然保持，性质p1不再保持(3)射影变换(中心投影到另一平面)，性质p3p6仍然保持，而性质p1、p2不再保持(4)设想这个长方形画在一张橡皮薄膜上，橡皮膜不仅可以任意弯曲，而且可以在任意方向上伸缩如果拉动像皮膜(只要不撕破)作为一种变换(橡皮变换)，那么，不仅p1、p2

5、不再保持，p3也不能保持，但是p4p6却仍然不变 二.图形的一般性质2.图形的变换不变性：总之，长方形G 的性质p1p6是运动不变性(或欧氏几何性质)，p2p6是仿射不变性(或仿射性质)，p3p6是射影不变性(或射影性质) ，p4p6是拓扑不变性(或拓扑性质)因此，所谓图形的拓扑性质，就是图形经过拓扑变换(如上述拉动橡皮膜)而不改变的性质图形边界的封闭性、内部连通性、维数等，都是图形的拓扑性质图形的拓扑性质，是其最一般的本质属性故拓扑学又叫“橡皮几何学” 三.图形的组合问题1.组合论和组合几何组合论的研究对象是有限集及其子集，其基本问题主要有三个：(1)存在问题有限集M 中具有某种性质p 的子

6、集或元素是否存在？(2)计数问题具有某种性质p 的子集(或元素)如果存在，有多少个？或最多(少)有多少个？(3)优化问题在存在的子集中，找出符合某种附加条件(优化条件)的子集(或元素)关于图形的组合问题，通常称为组合几何问题，它经常出现在中学生数学竞赛和其他数学活动中，如凸集与凸包，覆盖与剖分，图形计数与集装，地图染色等三.图形的组合问题2凸集与凸包凸集：假设对任意两点A，BM，都有 ，则这样的平面或空间点集M 称为凸集，通常所说的平面凸多边形、空间凸多面体，都是凸集，其他如半平面、半空间等也是凸集凸包：一个平面有限点集M，包含M 中所有点的最小的多边形，称为M利用凸包可以解决一些组合几何问题

7、三.图形的组合问题例1 平面上任意四点，若无三点共线，则在两两连线段中，至少有一条线段被另两点所决定的直线交于内点 界上，也只能在某一边上因此可设D 点不在AB、AC 上，那么AD 所决定的直线一定交BC 于内点三.图形的组合问题例2 平面上任给五点，无三点共线以它们为顶点的三角形(顶点三角形)中，至少有三个非锐角三角形 B 和C，则 ABC、BCD 为钝角(非锐角)三角形又在四边形ACDE 中至少有一个内角为非锐角，例如D，则CDE 为非锐角三角形总共至少有三个非锐角三角形 四边形ABCD 的内角中至少有一个非锐角，决定一个非锐角顶点三角形AEB、BEC、CED 和DEA 中至少有一个非锐角

8、，又决定一个非锐角顶点三角形，最后，AEC 和BED 中至少有一个是非锐角，再决定一个非锐角顶点三角形 ADC、ADE 与CDE 中至少有两个非锐角，决定两个非锐角顶点三角形 在AEB 与BEC 中至少有一个非锐角，又决定一个非锐角顶点三角形 三.图形的组合问题3.图形的优化组合将有限集元素按某种要求或状态安排的问题，是存在性问题的特例；往往要具体给出一种安排(构造)合理安排又与优化问题相关：从满足一般状态的安排中，找出符合某种附加条件的优化组合例3 在半径为2 的圆内，不重叠地放置边长为1 的正方形，问最多能放几个？ 解 ：如图621，叠放8 个单位正方形，证明它们能包含在一个半径为2 的圆

9、内作四边形(梯形)ABCD 的外接圆，O 为圆心，证明OEOA=OD2设OH=x，则OG=3-x，从而四.中学欧拉定理及推广1.中学欧拉定理： 任意凸多面体的顶点数V、棱数E 和面数F，满足(欧拉公式) V-EF=2 (1)（ 数）事实上，欧拉公式不仅对凸多面体成立，对如图610(a)、(b)这样的非凸多面体也成立因此，欧拉公式的适用范围可以扩大 四.中学欧拉定理及推广欧拉公式只涉及多面体表面顶点、棱和面的数目，而与多面体内部无关，因此，可以就多面体的表面闭多面形，来讨论欧拉公式的推广一个闭多面形K，是指由有限个平面多边形(凸的或非凸的)拼合成的图形，满足：(1)每两个顶点，由一条棱或一条由棱

10、组成的折线连接；(2)每两个面，或者有一个公共棱，或者有一个公共顶点，或者没有公共顶点；(3)每条棱是两个面的公共边；(4)每个顶点都是锥形顶点 四.中学欧拉定理及推广2. =2是不是所有的多面形的示性数都是2 呢？ 如图 图611(a)的示性数为0，图(b)的示性数为-23.欧拉定理推广 每个能“绷”到带n 个把的球面Pn上的闭多面形K的示性数是2-2n，即(n=0，1，2，)4.欧拉定理推广 每个能“绷”在带n 个“交叉帽”的球面Qn(n=1，2，)上的闭多面形的示性数为2-n综上，任意闭多面形的示性数不超过2，示性数是闭多面形的分类标志五.图及应用：回路和一笔画问题1什么是图由若干个点及

11、连接其中某些点对的线(可以是直线，也可以是曲线)组成的有限图形，叫做图，其中点称为顶点，线称为边图可以是平面的，也可以是空间的一个立方体，若只着眼于它的顶点和边的话，它就是一个图三维空间的图，如图623(a)，假如它的边是橡皮筋做的，拉开一个面，再将它压到底面上，就得到一个平面的图，如图623(b)五.图及应用：回路和一笔画问题2图的应用：哥尼斯堡七桥问题例4 (七桥问题)帕瑞格河从哥尼斯堡(现属俄罗斯)城中流过， 河中有两个岛A、C，河上共有七座桥(如图624 所示)现问：一个人能否一次走过七座桥，而每座桥只走一次？如果能够办到，那么他能否仍旧回到原来的出发地？问题转化：这个图能否一笔画成，

12、 而每条线只画一次？如能一笔画成，终点能否与起点重合？五.图及应用：回路和一笔画问题3图的应用：回路和一笔画设图G=(V，E)的一部分顶点和边组成图G=(V，E)，图G=(V，E)中共有一个顶点的边，称为邻边，同一边的两个顶路，或链若一条链的起点和终点重合，则称为回路特别地，若回路G=G，则称G 为欧拉回路；若链G=G，则称G 为欧拉链欧拉图判定准则 ：一个连通图是欧拉链的充要条件是，它的奇顶点的个数为2 或0；当且仅当奇顶点的个数为0(即没有奇顶点)时，它是欧拉回路 ？五.图及应用：回路和一笔画问题由此得到一笔画的准则：由此得到一笔画的准则：凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以

13、把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。) ？五.图及应用：回路和一笔画问题思考题：思考题： 在圆周上有n 个点(n2)，每两点连成一条线段，能否一笔画出所有线段？ ？专题2：数列中学数列的常见问题：中学数列的常见问题：1.对任意写出的k 个实数值a1，a2，ak，是否都存在通项公式f(n)，使对前k 项，恰好有f(n)an(n=1，2，k)？其次，如果该数列有通项公式存在，通项公式是否唯一？2.求线性递归数列的通项

14、3.数列的差分与简单的差分方程 ？一、数列及通项公式在中学课本里，为了培养学生的观察能力和归纳能力，常给出数列的前几项，要求学生观察出数列的通项公式但是，数列有无穷多项，仅仅知道它的前若干项的值是不能唯一确定一个数列的所谓用观察法求数列的通项公式，指的是由数列的前有限项所揭示的某些比较浅显的规律，去猜测它的一个通项公式例： 已知数列an的前3 项为2，4，6，试写出该数列的通项公式 ？二、线性递归数列1一阶线性非齐次递归数列：若数列an满足递归方程an+1panb (p0，b0，nN) (6)则称an为一阶线性非齐次方程方程(6)可写成 an+1-=p(an-) 数列an是公比为p 的等比数列，故有an(a1-)pn-1 ？二、线性递归数列二、线性递归数列2二阶线性齐次递归数列：若数列an满足递归方程an2=p1an1p2an， nN (8)(其中p1，p2是常数，p20)，则称an为二阶线性(齐次)递归数列当已知它的第一项a1与第二项a2时，可以求出它的通项公式二次方程r2p1rp2称为线性递归方程(8)的