[理学]常微分方程 第五讲：全微分方程ppt课件

1、西南科技大学理学院1第五讲第五讲 全微分方程与积分因子全微分方程与积分因子三、积分因子法一、全微分方程与原函数二、全微分方程断定定理与不定积分法四、小结西南科技大学理学院2 定义定义: :即即( , )( , )( , )du x yM x y dx N x y dy( , )( , )0(1)M x y dxN x y dy若若例如例如, 0 ydyxdx221( , )(),2u x yxy全微分方程全微分方程或恰当方程或恰当方程( , ),du x yxdxydy使使得得是全微分方程，是全微分方程，一、全微分方程与原函数的左端恰好是某个二元函数的全微分，的左端恰好是某个二元函数的全微分，

2、则称（则称（1）为全微分方程或恰当方程，）为全微分方程或恰当方程， 称为（称为（1）的一个原函数。）的一个原函数。 ( , )u x y( , )u x y是方程的一个原函数。是方程的一个原函数。西南科技大学理学院3 容易证明，如果容易证明，如果 是微分方程是微分方程（1）的一个原函数，则（）的一个原函数，则（1）的通积分为）的通积分为( , )u x y( , ),u x yC其中其中C为任意常数。为任意常数。 于是，求解全微分方程的关键在于求出于是，求解全微分方程的关键在于求出它它的一个原函数。的一个原函数。220;xdxydyxyC11积为22的通分例如例如0;xdyydxxyC积为的通

3、分220arctan.ydxxdyxCyxy积为的通分西南科技大学理学院4222()0.xydxxydy例例1 1求求解解微微分分方方程程 我们通过观察寻找方程的一个原函数。我们通过观察寻找方程的一个原函数。222222323211()()().33xydxx dyy dyydxx dyy dyd x ydyd x yy左左端端2313x yyC积为。原方程的通分 对于一个一般的方程，怎样判断它是否是对于一个一般的方程，怎样判断它是否是全微分方程呢？假设是，又怎样求原函数？全微分方程呢？假设是，又怎样求原函数？西南科技大学理学院5西南科技大学理学院6二、全微分方程断定定理与不定积分法 定理：设

4、函数定理：设函数 Mx,y、Nx,y 在在 xoy 平面上的单连通区域平面上的单连通区域 D 内连续可微，那么方程内连续可微，那么方程1是全微分方程的充要条件是在是全微分方程的充要条件是在 D 内恒成内恒成立立.MNyx演示证明演示证明。222222 (1-)-0,2 (1-), - .-,-xxy dxxydyMxxyNxyMxNyxxy例如： 对对于于方方程程 从从而而西南科技大学理学院7即即方方程程为为全全微微分分方方程程。现现在在，我我们们来来求求方方程程的的一一个个原原函函数数。 222 (1-),(*)- .)( , )(*uMxxyxuNxyyu x y ，设设是是方方程程的的一

5、一个个原原函函数数则则有有23222( , )2 (1-)( )2()( ).3*u x yxxy dxyxxyxyy先先就就（ ）两两端端对对 积积分分（视视 为为常常数数）有有西南科技大学理学院8( , )( , )0M x y dxN x y dy一般地，若一般地，若 为全为全微分方程，则它的通积分为微分方程，则它的通积分为 1222()( ),*( )0(*).xyyxxyyyC ， 再再利利用用（）（视视 为为常常数数）有有即于是 从而求得一个原函数从而求得一个原函数32222( , )() .3u x yxxy000( , )( , )(, )xyxyu x yP x y dxQ

6、xy dy000( , )( ,).yxyxQ x y dyP x y dx西南科技大学理学院9.0)3()3(2323的的通通解解求求方方程程 dyyxydxxyx解解6,MNxyyx 是全微分方程是全微分方程, yxdyyxdxyxyxu03023)3(),(.42344224Cyyxx 原方程的通解为原方程的通解为,42344224yyxx 例例2 2 西南科技大学理学院10西南科技大学理学院11.0324223的的通通解解求求方方程程 dyyxydxyx解解46,MxNyyx 是全微分方程是全微分方程,将左端重新组合将左端重新组合)32(14232dyyxdxyxdyy )()1(32

7、yxdyd .132Cyxy 原方程的通解为原方程的通解为),1(32yxyd 例例3西南科技大学理学院12西南科技大学理学院13定义定义: :问题问题: 如何求方程的积分因子如何求方程的积分因子?3、积分因子法 前面我们讨论了全微分方程的求解问题，而对前面我们讨论了全微分方程的求解问题，而对于给定微分方程未必都是全微分方程，但其于给定微分方程未必都是全微分方程，但其中有些那么可利用积分因子化为全微分方程。中有些那么可利用积分因子化为全微分方程。显显然然，若若( (x x, ,y y) ) 0 0, ,则则（1 1）与与（2 2）同同解解。西南科技大学理学院14我们用反推的方法来求积分因子我们

8、用反推的方法来求积分因子()(),MNyxMNMNyyxxMNNMxyyx（） 为了求出积分因子，必须求解上式，不容易。但为了求出积分因子，必须求解上式，不容易。但对于某些特殊情况，上式可求解。对于某些特殊情况，上式可求解。;.有关时有关时只与只与当当xa , 0 y ,dxdx 2为全微分方程为全微分方程西南科技大学理学院15;.有有关关时时只只与与当当yb 11()dMNdxNyx)(xf .)()( dxxfex , 0 x ,dydy ln1()dNMdyMxy)(yg .)()( dyygey 西南科技大学理学院16( )1()1()( )( )f x dxxxxfMNNyxMNNy

9、xxex 。 。事事实实上上，我我们们有有只只与与 有有关关只只是是 的的函函数数因因此此，对对于于方方程程（1 1）虽虽不不是是全全微微分分方方程程，但但只只是是 的的函函数数（设设为为），则则方方程程（1 1）有有积积分分因因子子注：( )1()( )g y dyNMMxyye。 类类似似地地，若若只只与与y y有有关关（设设为为g g( (y y) )）, ,则则方方程程（1 1）有有积积分分因因子子以上求积分因子的方法称为公式法。以上求积分因子的方法称为公式法。西南科技大学理学院17例例1: 求解微分方程：求解微分方程：0ydxxdy121.,MNNyxx 解解郁郁无无关关22ln21

10、2. ( );dxxxxeex002103.1,0:1.yxyyxydxdyCCxx西南科技大学理学院18考虑与练习：考虑与练习：试求一阶线性方程和Bernoulli方程的积分因子2322(32)()0.x yxyy dxxydy例例1: 求解微分方程：求解微分方程：3222(1)0.xy dxx ydy例例2: 求解微分方程：求解微分方程：西南科技大学理学院19.0)()3(22的通解的通解求微分方程求微分方程 dyxyxdxyxy例例3解解11(),MNNyxx dxxex1)( .x 那么原方程化那么原方程化为为, 0)()3(2322 dyyxxdxxyyx)(332xdyydxxyd

11、yxydxx )(21(23xyyxd , 0 可积组合法可积组合法西南科技大学理学院20原方程的通解为原方程的通解为.)(2123Cxyyx (公式法公式法)观察法观察法: : 凭观察凑微分得到凭观察凑微分得到),(yx 常见的全微分表达式常见的全微分表达式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xydyxydxxdyarctan22 xydxyydxxdyln )ln(212222yxdyxydyxdx yxyxdyxydxxdyln2122西南科技大学理学院21受上述结论的启发通常我们经常可受上述结论的启发通常我们经常可以选用的积分因子有：以选用的积分因子有：.,1,1,1,

12、12222222等等xyyxyxyxxyx 这种方法给我们又提供了一种求解微分方程这种方法给我们又提供了一种求解微分方程的方法的方法-可积微组合法，请看下面的例子：可积微组合法，请看下面的例子：西南科技大学理学院22.0)1(222的通解的通解 dyyxdxyxx解解将方程左端重新组合将方程左端重新组合,有有例例4 求微分方程求微分方程, 02222 dyyxdxyxxxdx, 0)()(2222 dyyxxdyxxd, 0)()(222 yxdyxxd原方程的通解为原方程的通解为.)(322322Cyxx 西南科技大学理学院23.0)1(ln2222的通解的通解 dyyyxydxxy解解将方

13、程左端重新组合将方程左端重新组合,有有, 01)ln2222 dyyydyxydxxy（,1),(yyx 易知易知, 01)ln2(22 dyyydyyxydxx则则. 0)1(31)ln(2322 ydyxd即即原方程的通解为原方程的通解为.)1(31ln2322Cyyx 可积组合法可积组合法例例5 求微分方程求微分方程西南科技大学理学院24.132的的通通解解求求微微分分方方程程xyxxdxdy 解解1整理得整理得,112xyxdxdy A A 常数变易法常数变易法: :B B 公式法公式法: :.4343Cxxxyy 通解为通解为.1xCy 对对应应齐齐方方通通解解.1)(xxCy 设设

14、.43)(43CxxxC ,11211Cdxexeydxxdxx 例例6一题多解：西南科技大学理学院25解解2 2整理得整理得, 0)1()(32 dyxdxyxx,1xQyP .是全微分方程是全微分方程A A 用公式用公式: :,)(),(0032 yxdydxyxxyxuB B 凑微分法凑微分法: :, 0)(32 dxxdxxydxxdydy，043)(43 xdxdxyddy. 0)43(43 xxxyyd西南科技大学理学院26C C 不定积分法不定积分法: :,32yxxxu dxyxx)(32),(4343yCxyxx ),(yCxyu ,1xyu 又又,1)(xyCx , 1)(

15、 yC,)(yyC 原方程的通解为原方程的通解为.4343Cxxxyy 西南科技大学理学院27作业：P38 T1135 , T2, T5拓展思维训练题：22()( , )0(),()(). M xy dxN x y dyxyxyxy试导出微分方程，有形如，的积分因子的充要条件西南科技大学理学院28 假设能从假设能从1解出解出 y 的一阶导数，那么会得的一阶导数，那么会得到一个或几个显式方程，用前面的方法求解。到一个或几个显式方程，用前面的方法求解。 前面讨论的方程都是可解出一阶导数的前面讨论的方程都是可解出一阶导数的微分方程，即显式方程（微分方程，即显式方程（ ）/( , )yf x y一阶隐

16、式微分方程是指一阶隐式微分方程是指/( , ,)0(1)F x y y第六讲第六讲 一阶隐式方程的解法一阶隐式方程的解法2(3) 30.yxy yxy例例1: 试求解微分方程：试求解微分方程：西南科技大学理学院29 本节主要介绍三种类型隐式微分方程本节主要介绍三种类型隐式微分方程的求解方法。的求解方法。 1不含不含 y 或或 x的方程的方程 2可解出可解出 x 的方程的方程 3可解出可解出 y 的方程的方程 假设不能从假设不能从1解出解出 y 的一阶导数，或者即使的一阶导数，或者即使能解出，但很难求解，那么需要借助于其它方法进能解出，但很难求解，那么需要借助于其它方法进展讨论。展讨论。西南科技

17、大学理学院30 1、若方程（、若方程（1）不含）不含y，即，即 /( ,)0.F x y/( )( )xttyt,( 为)为参数参数若原方程可表示形式( )( ).ytt dtC/从从而而/( ),( )( )( ),dxt dtdyt dxtt dt那么西南科技大学理学院31( )( )( )xttytt dtC/参.( 为参)数数故得原方程形式的解222) (1)0yxx求方程求方程( (的通解.的通解.例例1 1/cos ,cot ,xtyt 设解： 代入原方程西南科技大学理学院32sin( ),cos( )sin.,dxt dtdyt dtytC从那么而 cos( )sin( )xtt

18、yt dtC参数.( 为参数)故得原方程形式的解/cos( )cot.( )xtyt 为参数原方程可表示形式22()1.xyC参数积上式消去得通 分西南科技大学理学院333330.xyxy求方程的通解例例2 2： 若方程（若方程（1）不含）不含 x，即，即 则完全类似求解。则完全类似求解。/( ,)0,F y y53-( ) -( ) 50.yyyy解方程例例3 3：22(1-)(2) .yyy求解方程例例4 4：西南科技大学理学院34 2、假设可从方程、假设可从方程1解出解出 x，即，即 /( ,).(4)xf y y 解法：解法： /( , ).xf y pypyp引入参数, 于是（4）等

19、价于引入参数, 于是（4）等价于/( , )1( , )( , ).ypdpfy pfy pxf ydypyp对关于 求导，得对关于 求导，得 这个方程可化为显式形式，用前面类这个方程可化为显式形式，用前面类似的方法能求出似的方法能求出1的解。的解。 西南科技大学理学院35/(ln)1yxy求求方方程程的的通通解解. .例例5 5/1ln.1ln.xyydypxpdxpx由原方程解出 得：即有解解 令, 令, .1dppdyp得得整理2111,dpdppdyp dypy 两两端端关关于于 求求导导得得西南科技大学理学院361lnlnxpppyppC.( 为参数)参数则则原方程有形式的通解ln,

20、yppC变用分离量法求解上式得西南科技大学理学院37 3、假设可从方程、假设可从方程1解出解出 y，即，即 /( ,).(2)yf x y 解法：解法： /( , ).yf x pypyp引入参数, 于是（2）等价于引入参数, 于是（2）等价于/( , )( , ).( ,xpyf x pxdppfx pfx pdx对对关关于于 求求导导，得得西南科技大学理学院38( ,),( , ( ,).pp x Cyf xdpdxp x C从上式解出,若能求得解从上式解出,若能求得解则（2）有通解则（2）有通解这/ 里p = p(x,C)只能代入y = f(x,p),不能代入y= p.西南科技大学理学院

21、39( , ,)0,( , )( , ,)0Gp x Cyf x pGpdxxpdCp， 若只能从关于的方程求得通积分若只能从关于的方程求得通积分则可通过联立方程则可通过联立方程再消去 ，得到原方程的通积分。再消去 ，得到原方程的通积分。( ,),( ,)( ( ,), )xp Cxp Cyfdp Cppdx参数.(p为参数) 若只能从关于的方程求得解若只能从关于的方程求得解则则原方程有形式的通解西南科技大学理学院40求方程的通解.求方程的通解.222()2xyxyy例例6 6解令,原方程写为解令,原方程写为2/22( ) .2ypxyxpp(12)0,dppxdx（）化简得化简得1.2dppxdx 或者222,dpdpppxxpdxdxx两端关于 求导得两端关于 求导得西南科技大学理学院41