数学建模-个人住房抵押贷款问题

1、个人住房抵押贷款问题 个人住房抵押贷款的客户在银行会看到一张贷款（万元）还款表，上面给出的是根据借款年限和利率而得到的月还款数额，下表来自1998年12月上海商业银行公布的个人住房抵押贷款还款表，这里仅列出了5年的数据：(1)这张表是如何制定的，即怎样得出月还款额？(2)讨论还款周期对本息总额的影响 贷款期年12345月1224364860月还款额到期一次还本付息444.356 0305.989 6237.264 9196.411 8本息总额10 612.0010 664.5411 015.6311 388.7111 784.71应用背景 数学在人们生活中的应用越来越普遍，金融问题中的数学应用

2、是相当典型的例子. 相关知识点知识点一：建立简单实际问题的函数关系知识点二：差分方程知识点三：两个重要极限解题方法 建立住房贷款问题的数学模型，得到差分方程，利用等比数列和的公式求出差分方程的解，导出贷款期、利率与每期还款额的关系解题过程第一步 数学模型(差分方程) 由于贷款是逐月等额归还的，就有必要考察每个月欠款余额的情况. 设贷款后第 个月时欠款余数为 元,月还款为 元，则由 变化到 ，除了还款因素外，还有就是利息. 但时间仅过了一个月，当然应该用月利率，设其为 , 从而得到 或者 ， (1) kkAmkA1kAr1,kkkAArAmmArAkk)1 (1, 2, 1 , 0k解题过程连同

3、开始的贷款数 (2) 这就是问题的数学模型.其中月利率采用将年利率 的平均，即 (3)若 是已知的，则由式(1)可以依次求出 中的每一项，我们称(1)为差分方程. 010 000,A 55062. 0R0.062 550.005 212 5.12r mkA解题过程第二步 ：月还款额 以二年期为例来求月还款额。二年期的贷款在第24个月时还清,即 (4)为求 的值, 令 ， (5)利用式(1)易有 于是导出 的表达式 ， (6)240.A m1kkkAAB, 2, 1k1(1).kkBr B11)1 (kkrBB, 2, 1kkB解题过程由式(5)和(6), 可知 kkBBBAA210)1 ()1

4、 (1 11krrB1)1 ()(01rrAAk00(1)1(1).krr AmAr解题过程从而得到差分方程(1)的解 ， (7)将 、 、 的值和 代入，就有 (元).与还款表中的数额完全一致,这样我们就了解了还款额的确定方法. 1)1()1 (0kkkrrmrAA, 2, 1 , 0k24A0Ar24k0356.444m解题过程第三步 还款周期的讨论 个人住房贷款通常是采取逐月归还的方法,那么如果采取逐年归还的方法,情况将如何呢? 仍以二年期贷款为例,显然,只要对公式(7)中的利率 代之以年利率 , 那么由 ,则可求出年还款额应为 (元),这样本息总额将为 (元),远远超出逐月还款的本息总

5、额 (元).考虑到人们的收入一般均以月薪方式获得,因此逐月归还法对于贷款者是合适的.rR55062. 0, 2k, 02A100000A3867.4735m73.947102m54.66410解题过程 然而既然逐月还款比逐年还款的本息总额数少，人们自然关心进一步缩短还款周期的结果，仍以二年其为例，假定采用逐周还款的方式，则公式(7)中的利率 应代之以周利率r0.062550.0012088.5252Rr 解题过程由 ，可得周还款额为 (元),本息总额为 (元)仅比逐月还款的总额少了16.76元，为此这两年却需增加还款80次，显然对贷款者和银行都不是合算的。,104k, 0104A100000A3825.102m10410647.78m 解题过程第四步 本息总额的下界事实上，如果二年期贷款的还款周期为 年，那么每个周期的利率为 ，于是 ，由公式(7)得到 ，从而每周期末的还款额为 ，本息总额为 .1nnRnk2 1)1()1 (0220nnnRRmnnRA 1)1()1 (220nnRnnRnRAm 1)1()1 (22220nnRnnRRAnm解题过程不难证明上式右端关于 是