第04章--测量装置的基本特性

1、机械工程测试技术机械工程测试技术 第四章第四章 第一节、线性系统及特性第一节、线性系统及特性第二节、一阶系统特性及响应第二节、一阶系统特性及响应第四节、测试仪器不失真条件第四节、测试仪器不失真条件第三节、二阶系统特性及响应第三节、二阶系统特性及响应 第四章第四章 测量仪器动特性及误差测量仪器动特性及误差第五节、测试装置动特性参数测试方法第五节、测试装置动特性参数测试方法第四章第四章 测量仪器动特性及误差测量仪器动特性及误差 测试测试是具有实验性质的测量。可以理解为测量是具有实验性质的测量。可以理解为测量和试验的结合，是从客观事物中取得有关信息的过和试验的结合，是从客观事物中取得有关信息的过程。

2、在这一过程中，借助于测试装置，通过科学、程。在这一过程中，借助于测试装置，通过科学、合理的实验方法和数学处理的方法，求得所要研究合理的实验方法和数学处理的方法，求得所要研究的对象的有关信息。的对象的有关信息。 本章主要讨论测试装置的特性及其与输入输出本章主要讨论测试装置的特性及其与输入输出的关系。的关系。 第一节第一节 线性系统及特性线性系统及特性 我们在前面已经介绍了典型的测试装置的构成。我们在前面已经介绍了典型的测试装置的构成。在这里，测试装置是一个广义的概念，有时是指由众在这里，测试装置是一个广义的概念，有时是指由众多环节组成的复杂的测试装置，有时是指测试装置中多环节组成的复杂的测试装置

3、，有时是指测试装置中的各组成环节，在此不加以细分。的各组成环节，在此不加以细分。一、一、 线性系统特性线性系统特性 任任一一测试系统的输入、输出与系统的关系可用下图表示测试系统的输入、输出与系统的关系可用下图表示系统系统 h(t) H(s)输入输入输出输出x(t)X(s)Y(s)y(t)系系统统输输出出输输入入)()()(thtytx 测试内容测试内容 q 输入输入x(t) 、输出输出y(t)可测（已知），则通过输入、输出可测（已知），则通过输入、输出 估计系统的传输特性估计系统的传输特性h(t)； q 系统特性系统特性h(t)已知，输出已知，输出y(t)可测，估计系统的输入可测，估计系统的输

4、入x(t) q 输入输入x(t)及系统特性及系统特性h(t)已知，估计系统的输出已知，估计系统的输出y(t) 。 理想的测试装置应该是具有理想的测试装置应该是具有单值的、确定的输入单值的、确定的输入输出关系输出关系。其中以输入。其中以输入输出关系为输出关系为线性线性最佳。事实上，最佳。事实上，大多数测试装置都无法在较大工作范围内均呈线性。而只大多数测试装置都无法在较大工作范围内均呈线性。而只能在一定的范围内，一定的误差范围内满足这项要求。所能在一定的范围内，一定的误差范围内满足这项要求。所以必须了解系统的特性，以便能正确选择仪器。以必须了解系统的特性，以便能正确选择仪器。例例： 用地磅测量体重

5、；用地磅测量体重； 用米尺测量头发丝直径；用米尺测量头发丝直径； 用加速度计直接（不加积分器）测量位移等都是不正确用加速度计直接（不加积分器）测量位移等都是不正确的。的。测试系统及其主要性质测试系统及其主要性质 1、测试系统、测试系统 测试系统指由相关器件、仪器和测试装置有机组合而成的测试系统指由相关器件、仪器和测试装置有机组合而成的具有获取某种信息之功能的整体；具有获取某种信息之功能的整体； 测试装置是指测试过程中所必需的功能单元；测试装置是指测试过程中所必需的功能单元； 测试装置与测试系统的概念常常同等看待，不加以区分。测试装置与测试系统的概念常常同等看待，不加以区分。q 在测试工作中，常

6、把研究对象和测试装置作为一在测试工作中，常把研究对象和测试装置作为一个系统进行考察，因为测试装置会对被测对象产生反个系统进行考察，因为测试装置会对被测对象产生反作用，从而影响输出。因此只有首先知道测试装置的作用，从而影响输出。因此只有首先知道测试装置的特性，才能从测试结果中正确评价所研究对象的特性。特性，才能从测试结果中正确评价所研究对象的特性。q 如果所研究的对象就是测试装置本身，此时即是如果所研究的对象就是测试装置本身，此时即是它的定度（标定）问题。理想的测试装置：输入、输它的定度（标定）问题。理想的测试装置：输入、输出存在单值确定的对应关系，其中线性关系为最佳。出存在单值确定的对应关系，

7、其中线性关系为最佳。 2、线性系统及其主要性质、线性系统及其主要性质 时不变（定常）线性系统时不变（定常）线性系统 )()()()()()()()(0111101111txbdttdxbdttxdbdttxdbtyadttdyadttydadttydammnmmnnnnnnn n m)()()()()()()()(0111101111txbdttdxbdttxdbdttxdbtyadttdyadttydadttydammnmmnnnnnnn 如果如果 ai (i=0,1,n)、bj (j=0,1,m) 均为常数，则均为常数，则该方程为常系数微分方程，所描述的系统该方程为常系数微分方程，所描述的

8、系统为时不变线性为时不变线性系统系统，也称为，也称为线性定常系统线性定常系统。时不变线性系统输出与输。时不变线性系统输出与输入加入的时间无关。入加入的时间无关。 n m 由于由于非非线性系统理论还不成熟，所以很多系统虽然线性系统理论还不成熟，所以很多系统虽然具有非线性，但是如果非线性不是很严重的话，常做为具有非线性，但是如果非线性不是很严重的话，常做为线性系统来处理。对于时不变线性系统，它的主要性质线性系统来处理。对于时不变线性系统，它的主要性质有如下几个方面：有如下几个方面：q 叠加性：若叠加性：若x1(t)y1(t)，x2(t)y2(t)， 则：则： x1(t) x2(t)y1(t) y2

9、(t) q 比例性：若比例性：若x(t)y(t)， 为常数，则：为常数，则： x(t) y(t) 叠加性和比例性可统一表示为：叠加性和比例性可统一表示为： x1(t) x2(t) y1(t) y2(t) q 微分特性：若微分特性：若x(t)y(t)，则：则： dx(t)/dtdy(t)/dt q 积分特性：若系统的初始状态为积分特性：若系统的初始状态为0，则：，则： 0000)()(ttdttydttxq 频率保持特性：若系统输入为简谐信号，频率保持特性：若系统输入为简谐信号， 则其稳态输则其稳态输 出也为同频简谐信号。即：出也为同频简谐信号。即： 若若tjeXtx 0)( )(00)( tj

10、eAXty，则，则设设 为已知频率，则根据线性系统的比例特性和微分特性，为已知频率，则根据线性系统的比例特性和微分特性，有有 )()(22tytx 2222)()(dttyddttxd由线性系统的叠加原理由线性系统的叠加原理 )()()()(222222tydttydtxdttxd 设输入信号设输入信号 为单一频率为单一频率 的简谐信号，即的简谐信号，即)(tx tjeXtxo )(则有则有 )()()(2222txtjeXjdttxdo 0)()(222 txdttxd 相应的输出也应为相应的输出也应为 0)()(222 tydttyd 即即于是输出于是输出y(t)的唯一的可能解只能是的唯一

11、的可能解只能是)()(otjoeyty v 若系统输入是简谐信号，而输出却包含其它频率成分，若系统输入是简谐信号，而输出却包含其它频率成分， 则可以断定这些成分是由外界干扰、系统内部噪声、则可以断定这些成分是由外界干扰、系统内部噪声、 非线性环节或是输入太大使系统进入非线性区域所引非线性环节或是输入太大使系统进入非线性区域所引 起。起。 v 设备故障诊断中，我们只能设备故障诊断中，我们只能检测到故障信号检测到故障信号，而输入，而输入 （故障）未知，这时利用频率保持特性就可以知道输入（故障）未知，这时利用频率保持特性就可以知道输入 （故障）的频率成分，若能消除该频率成分，即消除了（故障）的频率成

12、分，若能消除该频率成分，即消除了 故障。故障。频率保持性的应用频率保持性的应用第二节第二节 测试装置的动态特性测试装置的动态特性 定定常常线性系统在时域用微分方程式来表达，线性系统在时域用微分方程式来表达，非常麻烦，使用起来也不便。本节讲解测试系统非常麻烦，使用起来也不便。本节讲解测试系统动态特性的三种描述方法，一是动态特性的三种描述方法，一是传递函数传递函数，一个，一个是是频率响应函数频率响应函数，另外一个是，另外一个是脉冲响应函数脉冲响应函数，三，三者既相互联系又各有其特点。者既相互联系又各有其特点。一、动态特性的数学描述一、动态特性的数学描述 h(t) H(s)H(j)输入输入输出输出x

13、(t)X(s)X(j)Y(s)Y(j)y(t)系统系统输出输出输入输入)()()(thtytx )()()()()()()()()(txthtyXHYsXsHsY 1 1、传递函数、传递函数 传递函数的概念传递函数的概念)()()()()()()()(0111101111txbdttdxbdttxdbdttxdbtyadttdyadttydadttydammmmmmnnnnnn 时时不变线性系统的微分方程为：不变线性系统的微分方程为：设设初始条件为零，对上式两边做拉氏变换：初始条件为零，对上式两边做拉氏变换：)()(01110111SXbsbsbsbSYasasasamnmnnnnn （n m

14、）定义定义：零初始条件下零初始条件下，定常线性系统输出量的拉氏变换，定常线性系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。由上述变换可得系统传递函数为：由上述变换可得系统传递函数为：)()()()(01110111mnasasasabsbsbsbsXsYsHnnnnmmmm )()(01110111SXbsbsbsbSYasasasamnmnnnnn （n m）01110111)()()(asasasabsbsbsbsXsYsHnnnnmmmm H(s)H(s)只反映系统传输特性，而和系统具体物理结构无关。只反映系统传输特性，而和系统具体物理结构无

15、关。即同一形式的传递函数可表征具有相同传输特性的不同物理系即同一形式的传递函数可表征具有相同传输特性的不同物理系统。统。 实际物理系统中，输入与输出间的量纲变换关系在传递函实际物理系统中，输入与输出间的量纲变换关系在传递函数中通过系数数中通过系数ai(iai(i=0, 1, =0, 1, , n), n)和和bjbj (j=0,1, (j=0,1,m),m)来反映。来反映。aiai和和bjbj的量纲由具体物理系统决定。的量纲由具体物理系统决定。 H(s)H(s)的分母取决于系统的结构，分子则和系统与外界之间的分母取决于系统的结构，分子则和系统与外界之间的关系，如输入（激励）点的位置、输入方式、

16、被测量及测点的关系，如输入（激励）点的位置、输入方式、被测量及测点布置情况有关。布置情况有关。 H(s)H(s)与输入与输入x(t)及系统的初始状态无关。如果及系统的初始状态无关。如果x(t)给定，则给定，则系统输出的特性完全由系统输出的特性完全由H(s) )决定，即传递函数表征了系统内在决定，即传递函数表征了系统内在的固有动态特性。的固有动态特性。 传递函数的特点传递函数的特点： 频率响应函数的概念频率响应函数的概念tjeXtx 0)( jsXsHsXsHsY 0)()()()( niiipsBXjsBX1000 设定常线性系统的输入为谐波信号：设定常线性系统的输入为谐波信号：式中，式中，p

17、i为系统特征根，为系统特征根，B0，Bi为常数。为常数。则则： jsBXsY 00)()()(0 jHsHBjs 对于稳定的系统，其稳态响应分量为：对于稳定的系统，其稳态响应分量为：其中其中， 2 2、频率响应函数、频率响应函数 aseat 1 )(00)()()( jHtjtjeXjHeXjHty )()()(00 jHeXeXjHHtjtj 01110111)()()()()()(ajajajabjbjbjbnnnnmmmm 即即：因此，系统稳态输出与输入之比：因此，系统稳态输出与输入之比： H(H( ) )为为 的函数，反映了测试系统在各个频率正弦的函数，反映了测试系统在各个频率正弦信号

18、激励下的稳态响应特性，称之为频率响应函数。信号激励下的稳态响应特性，称之为频率响应函数。 tXtx sin)(0 )sin()(0 tYty 相频特性相频特性幅频特性幅频特性)()(00 XYA实验：实验： 频率特性频率特性 jssHH )()()()()()()( jeAjQPH )()()()(22 QPjHA )()(arctan)()( PQjH 为复数，可以表示为：为复数，可以表示为：其中其中， H( )的模的模A( )反映了定常线性系统在正弦信反映了定常线性系统在正弦信号激励下，其稳态输出信号与输入信号的幅值比，号激励下，其稳态输出信号与输入信号的幅值比，称为系统的称为系统的幅频特

19、性幅频特性； H( )的幅角的幅角 ( ( ) )反映了稳态输出信号与输入反映了稳态输出信号与输入信号的相位差，称为系统的信号的相位差，称为系统的相频特性相频特性。 幅频特性与相频特性统称系统的频率特性。因此幅频特性与相频特性统称系统的频率特性。因此，所谓频率特性即系统在正弦信号激励下，其，所谓频率特性即系统在正弦信号激励下，其稳态稳态输出输出对输入的幅值对输入的幅值比比及相位及相位差差随激励频率随激励频率 变化的特性。此变化的特性。此外，将外，将H( )的实部的实部P( ) )称为系统的实频特性，虚部称为系统的实频特性，虚部Q( )称为系统的虚频特性。称为系统的虚频特性。 )()()()()

20、( jeAjQPH )()()()(22 QPjHA )()()()( PQarctgjH 频率响应函数的求法频率响应函数的求法 jssHH )()(q 实验确定频率响应函数（系统初始条件全为实验确定频率响应函数（系统初始条件全为0 0） 依次用不同频率依次用不同频率 i i的正弦信号激励被测系统，同时测的正弦信号激励被测系统，同时测量激励和系统稳态输出的幅值量激励和系统稳态输出的幅值Xi、Yi和相位差和相位差 i。则：则：q 令传递函数中令传递函数中 的求取；的求取；q 根据系统的频率求取；根据系统的频率求取； )()()( XYH js )()( ii )()()( iiiXYA 傅里叶傅

21、里叶变换变换注意注意：系统频率特性适用于任何复杂的输入信号。：系统频率特性适用于任何复杂的输入信号。这时，幅频、相频特性分别表征系统对输入信号中各这时，幅频、相频特性分别表征系统对输入信号中各个频率分量个频率分量幅值的缩放能力幅值的缩放能力和和相位角前后移动相位角前后移动的能力。的能力。 幅、相频率特性的图象描述幅、相频率特性的图象描述 )()(极极坐坐标标图图图图实实频频特特性性与与虚虚频频特特性性图图对对数数频频率率特特性性图图图图幅幅频频特特性性与与相相频频特特性性图图NyquistBode常用这四种曲线常用这四种曲线q 幅频特性及相频特性曲线幅频特性及相频特性曲线 幅频特性曲线幅频特性

22、曲线：A( ) 相频特性曲线相频特性曲线： ( ) )()()()()( jeAjQPH )()()()(22 QPjHA )()(arctan)()( PQjH )( A0)( 0对数幅频特性曲线：对数幅频特性曲线：20logA( ) (dB)log 对数相频特性曲线：对数相频特性曲线： ( ) log Bode DiagramFrequency (rad/sec)Phase (deg)Magnitude (dB)-200-150-100-5005010-210-1100101102103-270-225-180-135-90q 图图Bode图（对数频率特性图）图（对数频率特性图） 程序：程

23、序：num=1 1;den=1 3 5 2 0;w=logspace(-2,3,100);bode(num,den,w);grid on传递函数（开环）：传递函数（开环）：) 253(123 sssss分贝的来历：分贝的来历： 来自于电信技术，表示信号功率的衰减程度。若两个信号来自于电信技术，表示信号功率的衰减程度。若两个信号功率分别为功率分别为N1和和N2Decibel分贝分贝)(lg20)(dBNdBn 1lg102122 pp 当当lg(N1/N2)=1，则称则称N2比比N1差差1B(贝贝)，即，即N2是是N1的的10倍。因倍。因为为B的单位太大，故常用的单位太大，故常用dB(分贝分贝)

24、，1B=10dB，即，若即，若N1和和N21满满足等式足等式10 lg(N1/N2)=1 ，则称则称N2比比N1差差1dB(即即N2是是N1的的1.26倍倍)。 后来，其他技术领域也采用后来，其他技术领域也采用dB为单位，并将其原来的意义推为单位，并将其原来的意义推广：当两数值广：当两数值p1和和p2满足等式满足等式20lg(p2/p1)=1 ，实质是：实质是： 因为若因为若p1和和p2表示电流、电压、速度等时，表示电流、电压、速度等时，则则 与功率成正比，则称与功率成正比，则称p1 比比p2差差1dB 。推广到控制学科领推广到控制学科领域，任何一个数域，任何一个数N都可用分贝值都可用分贝值n

25、表示，定义为表示，定义为2221, ppq 实频特性及虚频特性曲线实频特性及虚频特性曲线 实频特性曲线实频特性曲线：P( ) 虚频特性曲线虚频特性曲线：Q( ) )()()()()( jeAjQPH )( P0 )( Q00)( Q)( Pq Nyquist图图（奈奎斯特图、极坐标图奈奎斯特图、极坐标图） Q( ) P( )3 3、脉冲响应函数、脉冲响应函数 若系统输入若系统输入x(t) = (t)，则则X(s) = 1，相应输出为：相应输出为： )()()()(sHsXsHsY )()()()(11thsHLsYLty h(t) 称为系统的称为系统的脉冲响应函数或权函数脉冲响应函数或权函数。

26、脉冲响应函。脉冲响应函数是对系统动态响应特性的一种时域描述。当初始条件为数是对系统动态响应特性的一种时域描述。当初始条件为 0 0 时，给测试系统施加一单位脉冲信号，如果测试系统是时，给测试系统施加一单位脉冲信号，如果测试系统是稳定的，则经过一段时间后，系统将渐渐恢复到原来的平稳定的，则经过一段时间后，系统将渐渐恢复到原来的平衡位置。衡位置。4 4、环节的串联与并联、环节的串联与并联 串联串联 )()()()()()()(21sHsHsZsYsXsZsH)(sX)(sY)(1sH)(2sH)(sH)(sZ)(sX)(sY)(1sH)(2sH)(sH)(sHn niinsHsHsHsHsH121

27、)()()()()(两个两个环节环节相串联相串联多个环节多个环节相串联相串联频率响应函数：频率响应函数： niiHH1)()( niiAA1)()( nii1)()( 幅频特性：幅频特性： 相频特性：相频特性： 注意上式条件：当串联联接的环节间无能量交换。注意上式条件：当串联联接的环节间无能量交换。 niinsHsHsHsHsH121)()()()()(并联并联)(sY)(2sH+ +)(sX)(sY)(1sH)(sH)(1sY)(2sY两个两个环节相并联环节相并联)()()()()()()()(2121sHsHsXsYsYsXsYsH多个环节相并联多个环节相并联 niinsHsHsHsHsX

28、sYsH121)()()()()()()(+ +.)(sX)(sY)(1sH)(2sH)(sH)(sHn niinsHsHsHsHsXsYsH121)()()()()()()( niiHH1)()( 频率响应函数为：频率响应函数为：并联时：并联时：01110111)(asasasabsbsbsbsHnnnnmmmm rkkkkqjjmiisspszsK12211)2()()( rkkkkkkqjjjsscsbpsa12212 nrqabKnm2其中其中，高高阶阶系系统统的的分分解解一阶一阶极点极点二阶极点二阶极点 上上式式表明，任何的高阶系统都可以看成若干个一阶环节和二表明，任何的高阶系统都可

29、以看成若干个一阶环节和二阶环节的串联或并联。因此必须深刻理解一阶系统和二阶系统的阶环节的串联或并联。因此必须深刻理解一阶系统和二阶系统的传输性质，它是高阶系统分析的基础。传输性质，它是高阶系统分析的基础。 一阶系统一阶系统 具有一阶特性的测量装置有很多，如直流放大器、具有一阶特性的测量装置有很多，如直流放大器、 RC低通滤波器、低通滤波器、液柱温度计、无质量的弹簧液柱温度计、无质量的弹簧阻阻尼机械测量装置。尼机械测量装置。 例例：简单的：简单的RC低通滤波装置。低通滤波装置。 idtCtytyiRtx1)()()()()()(tydttdyRCtx 第二节一阶特性及响应第二节一阶特性及响应 )

30、(ti)(tx)(ty两边做拉氏变换：两边做拉氏变换：)()1()(sYRCssX sRCssXsYsH 1111)()()(RC jH 11)(时间常数时间常数)(ti)(tx)(ty例例：液柱温度计。：液柱温度计。)(tx)(ty温度计的输入信号就是被测温度温度计的输入信号就是被测温度 温度计的输入信号就是测温度计示值温度计的输入信号就是测温度计示值 由由热力学关系可以列写下列微分方程：热力学关系可以列写下列微分方程：dttdyCRtytx)()()( )()()(txtydttdyRC 温度计温包热容温度计温包热容温度计温包热阻温度计温包热阻CR两边做拉氏变换：两边做拉氏变换：RC 时间

31、常数时间常数)(tx)(ty)()1()(sYRCssX sRCssXsYsH 1111)()()( jH 11)( jH 11)(例例：右图所示的：右图所示的m-K-C(弹簧弹簧-质量质量-阻阻尼系统尼系统)。当质量块的质量小至忽略不。当质量块的质量小至忽略不计时。计时。)()()(txtKydttdyc 两边做拉氏变换：两边做拉氏变换：)()()(sYKcssX sAsKcsKsXsYsH 11/11)()()(0Kc/ KA/10 时间常数时间常数静态增益静态增益)(txdttdyc)()(tKy)(txKc)(ty受力受力分析分析m忽略忽略 jAH 1)(0Sq 传递函数传递函数： s

32、sH 11)(q 频率特性：频率特性： arctan2)(1111)(jejH q 实频特性：实频特性： 2)(11)( Pq 虚频特性：虚频特性： 2)(1)( Q 上面所讲的三个例子都是典型的一阶系统的实上面所讲的三个例子都是典型的一阶系统的实例。所有一阶系统都具有相同的特性。例。所有一阶系统都具有相同的特性。（做归一化处理）（做归一化处理）幅频特性幅频特性 相频特性相频特性 q 幅频特性：幅频特性： 2)(11)( Aq 相频特性：相频特性： arctan)( 1 1 arctan2)(1111)(jejH 参考：参考：q 对数幅频特性：对数幅频特性： q 对数相频特性：对数相频特性：2

33、)(1log20)( L arctan)( 幅频特性：幅频特性： 2)(11)( A相频特性：相频特性： arctan)( 由上两式可知系统的对数幅频特性与由上两式可知系统的对数幅频特性与对数相频特性分别为：对数相频特性分别为：低频渐近线为低频渐近线为 ： 0dB 高频渐近线为：高频渐近线为： -20dB/dec其其Bode图见下页。图见下页。0.1-40-20020L( )(dB) 1/ ( )( )一阶系统的一阶系统的BodeBode图图-20dB/dec-90-45 1 101 0.11/ 1 101 0 一阶系统的一阶系统的脉冲脉冲响应函数响应函数h(t)1/ 0t teth 1)(

34、1368. 0q 脉冲响应函数脉冲响应函数：0,1)( tetht 斜率斜率21 ssH 11)( /1/1)( ssHq 实频特性：实频特性： 2)(11)( Pq 虚频特性：虚频特性： 2)(1)( Q一阶系统的奈氏图一阶系统的奈氏图0ReIm =0 = 45 =1/ 1/21Nyquist 曲线曲线可以证明它是一个半圆可以证明它是一个半圆圆心：圆心：（ ）半径：半径：0 ,2121q 一阶系统的特点一阶系统的特点 v 当激励频率当激励频率 远小于远小于1/1/ 时（约时（约 1时，时，H( ) ，即：即： 51 j1 tdttxty0)(1)( 一阶系统适用于测量缓变或低频被测量。一阶系

35、统适用于测量缓变或低频被测量。 此时，系统相当于一个积分器。其中此时，系统相当于一个积分器。其中A A( ( ) ) 几乎与激励频率成反比，相位滞后近几乎与激励频率成反比，相位滞后近9090 。 jH 11)( arctan2)(1111)(jejH 0.1-40-20020L( )(dB) 1/ ( )( )一阶系统的一阶系统的BodeBode图图-20dB/dec-90-45 1 101 0.11/ 1 101 0 0.21 v 时间常数时间常数 决定了一阶系统适用的频率范围，在决定了一阶系统适用的频率范围，在 =1/=1/ 处，处，A( )= =0.707 (-3dB)，相角滞后相角滞后

36、 4545 。此时的。此时的 常称为系常称为系统的统的截止（转折）频率截止（转折）频率。 v 一阶系统一阶系统Bode图可用渐近折线近似描述：图可用渐近折线近似描述： 在在 1/ 段，为段，为-20dB/dec斜率的直线。斜率的直线。 近似折线与实际曲线的最大误差在转折频率近似折线与实际曲线的最大误差在转折频率1/ 处，为处，为 -3dB。 %100111%100)(200 AAA一阶一阶系统的幅值误差：系统的幅值误差：)(tFdttdyc)()(tKy受力受力分析分析m第三节第三节 二阶系统特性及响应二阶系统特性及响应 例：例： 弹簧弹簧-质量质量-阻尼器（阻尼器（m、k、c)组成的机械位移

37、系统。组成的机械位移系统。解解：质量块质量块m其进行受力分析。其进行受力分析。m质量块质量；质量块质量； k 弹簧刚度；弹簧刚度； c阻尼系数；阻尼系数；22)()()()(dttydmtKydttdyCtF 即：即： 对上式两边做拉氏变换：对上式两边做拉氏变换： 令：令： kAkmcmkn1,2,02 22)()()()(dttydmtKydttdyCtF )()()()(22tFtKydttdyCdttydm mksmcsmkkkcsmssFsYsG 2211)()()()()()(2sFsYkcsms 则则22202)()()(nnnssAsFsYsG 22202)()()(nnnssA

38、sFsYsG 解：解：根据基尔霍夫定律，有：根据基尔霍夫定律，有： 系统系统的微分方程的微分方程为为：例：例：RC网络。网络。rcuudttdiLtiR )()( dttiCuc)(1rcccuudtduRCdtudLC 22 对对上式上式两边做拉氏变换：两边做拉氏变换： )()(12SUSURCSLCSrc 11)()()(2 RCSLCSSUSUSGrcLCrucuRi(t)R 、 L 、 C串联电路串联电路2222)()()(nnnrcsssUsUsG CLRLCn212 2222)()()(nnnrcsssUsUsG q 传递函数传递函数： q 频率特性：频率特性： 2222)(nnn

39、sssH 其中，其中，n为系统固有频率为系统固有频率， 为系统阻尼比。为系统阻尼比。 nnnnnjjjH 211)(2)()(2222 q 幅频特性：幅频特性： q 相频特性：相频特性： 222211)()( nnHA 212arctan)( nn 10, 0,1sin1)(22 ttethntnnq 脉冲响应函数脉冲响应函数( (欠阻尼欠阻尼) )： 二阶系统的波德图二阶系统的波德图0.1110-40-30-20-1001020 =0.05 =0.1 =0.2 =0.3 =0.5渐近线渐近线L( )(dB) / n-18000.1110-90 ( )( ) / n =0.7 =1.0 =0.

40、05 =0.1 =0.2 =0.3 =0.5 =0.7 =1.03 . 05 . 2二阶系统二阶系统（0 1）的奈氏图的奈氏图ReIm = =01 =0.80 =0.6 =0.4 = n 1 2 二阶二阶系统的脉冲响应函数系统的脉冲响应函数q 二阶系统的特点二阶系统的特点 v n时，时，H( )0。 v n和和的大小影响二阶系统的动态特性的大小影响二阶系统的动态特性，且在通常使且在通常使用的频率范围中，用的频率范围中， n的影响最为重要。的影响最为重要。 v = n时，时，A( )= = ， ( ) = 90 ，且在且在 = n附附近，系统发生共振。可利用此特性测量系统本身的参数。近，系统发生

41、共振。可利用此特性测量系统本身的参数。 21v 2 n 时，可用斜率为时，可用斜率为-40dB/dec 的直线近似；而的直线近似；而 = (0.5 2) n 时，因共振，近似线误差较大，在时，因共振，近似线误差较大，在 n 处处误差最大（误差大小与误差最大（误差大小与 有关）。有关）。 二阶系统的波德图二阶系统的波德图0.1110-40-30-20-1001020 =0.05 =0.1 =0.2 =0.3 =0.5渐近线渐近线L( )(dB) / n-18000.1110-90 ( )( ) / n =0.7 =1.0 =0.05 =0.1 =0.2 =0.3 =0.5 =0.7 =1.03

42、. 05 . 2n 1 0二阶系统的误差修正曲线二阶系统的误差修正曲线v n时，时， ( )-180 。 靠近靠近 n时，时， ( )变化剧烈，变化剧烈，且且 越小，变化越剧烈。越小，变化越剧烈。 v 二阶系统是振荡环节，对测试系统而言，为了减少二阶系统是振荡环节，对测试系统而言，为了减少 频率特性不理想所引起的误差，一般取频率特性不理想所引起的误差，一般取 (0.6 0.8) n， = 0.65 0.7。此时，此时， ( )与与 / n近似成近似成 线性关系，系统响应速度较快且误差较小。线性关系，系统响应速度较快且误差较小。 最佳阻尼比：最佳阻尼比： = 0.707 工程实际中一般要求工程实

43、际中一般要求 = 0.4 0.8二阶系统的幅值误差：二阶系统的幅值误差： %1001211%100)(22200 nnAAA 第四节第四节 测试装置对任意输入的响应测试装置对任意输入的响应 q 系统对任意输入的响应系统对任意输入的响应 任何输入信号任何输入信号x(t)都可用众多相邻接的、持续时间为都可用众多相邻接的、持续时间为的矩形波信号来逼近。若的矩形波信号来逼近。若足够小（比测量系统任意时间足够小（比测量系统任意时间常数，任意振荡周期都小），则该矩形波信号可以视为强常数，任意振荡周期都小），则该矩形波信号可以视为强度为度为x( )的脉冲信号，所有脉冲的和记为：的脉冲信号，所有脉冲的和记为：

44、 0)()(kktkx 系统的响应系统的响应y(t)即为这些脉冲依次作用的结果。即为这些脉冲依次作用的结果。 若系统脉冲响应函数若系统脉冲响应函数h(t)已知，则在上述一系列脉冲作已知，则在上述一系列脉冲作用下，系统在用下，系统在 t 时刻的响应可表示为：时刻的响应可表示为： 00)()()()()(kKkkthkxkthkxty 式中，式中，K=t，tk时，时，h(t - k)=0。当当0时，时， 0)()()( dthxty若若t0时，时，x(t)=0，则：则： )()()()()(thtxdthxty 上式表明，上式表明，从时域看，系统的输出为输入与系统脉冲响应函从时域看，系统的输出为输

45、入与系统脉冲响应函数之卷积。数之卷积。 但实际计算系统输出时，由于卷积计算量巨大，通但实际计算系统输出时，由于卷积计算量巨大，通常利用拉氏变换或傅氏变换将其转变到复数域或频域进常利用拉氏变换或傅氏变换将其转变到复数域或频域进行运算。即：行运算。即： 系统对单位阶跃输入的响应系统对单位阶跃输入的响应 单位阶跃信号单位阶跃信号ssX0 t 0t tx1)(10)( )()()( XHY )()()(sXsHsY 一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应 /1)() 1(1)()()(tetysssXsHsY q 一阶系统单位阶跃响应的特点一阶系统单位阶跃响应的特点 y(t)指数增大，且无振荡；

46、指数增大，且无振荡； y( )=1，无稳态误差。无稳态误差。 y y( ( )=0.632)=0.632，即经过时间即经过时间 ，系统响应达到其稳，系统响应达到其稳 态输出的态输出的63.2% 1)(0 tdttdy 11 02 3 4 5 y(t)t斜率斜率=1/ /1)(tety 0.632A63.2%B86.5%95%98.2%99.3%99.8%6 一阶系统单位阶跃响应曲线一阶系统单位阶跃响应曲线v 时间常数时间常数 反映系统响应的快慢。工程中，当响应反映系统响应的快慢。工程中，当响应曲线达到并保持在稳态值的曲线达到并保持在稳态值的95%98%时，认为系统响应时，认为系统响应过程基本结

47、束，从而一阶系统的过渡过程时间为过程基本结束，从而一阶系统的过渡过程时间为3 3 4 4 。显然，显然，对于测试系统而言，对于测试系统而言， 越小越好。越小越好。 一阶系统的时间常数越小越好。一阶系统的时间常数越小越好。10)sin(11)(2 tetydtn 221arctan,1 nd其中其中： q 二阶系统单位阶跃响应的特点二阶系统单位阶跃响应的特点 y(y( )=1)=1，稳态误差为稳态误差为0 0。v 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应系统的系统的有有阻尼固有频率阻尼固有频率 =0.2 =0.4 =0.6 =0.85101500.20.40.60.811.21.41.61.

48、82tpy(t)欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线t =121 tne21 nd 振幅衰减的快慢由振幅衰减的快慢由 和和 n决定，振荡幅值随决定，振荡幅值随 减小而加减小而加大，大， = = 0 0时，系统振幅超调量为时，系统振幅超调量为 100% ，且持续不断作，且持续不断作等幅振荡，达不到稳态。等幅振荡，达不到稳态。10)sin(11)(2 tetydtn二阶系统（二阶系统（0 1时，系统退化为两个一阶系统的串联，时，系统退化为两个一阶系统的串联，此时输出此时输出无振荡，但需较长时间才能到达稳态。无振荡，但需较长时间才能到达稳态。 =0.60.8时，时，系统可以以

49、较短时间（大约系统可以以较短时间（大约(57)/ n ）进入偏离稳态不进入偏离稳态不到到2% 5%的范围内，且系统超调量小于的范围内，且系统超调量小于 10%。因此，。因此，二阶测试系统的阻尼比通常选择为：二阶测试系统的阻尼比通常选择为： =0.60.8。 21 nd = = 0.7070.707为最佳阻尼比。为最佳阻尼比。21 tne第五节第五节 测试仪器不失真条件测试仪器不失真条件不失真测试的条件不失真测试的条件 信号不失真测试指系统的响应信号不失真测试指系统的响应y(t)的波形和输入的波形和输入x(t)的波的波形完全形完全相似相似，从而保留原信号的特征和全部信息。即：，从而保留原信号的特

50、征和全部信息。即：)()(00ttxAty 其中，其中，A0、t0为常数。上式表明，若输入与输出间仅幅为常数。上式表明，若输入与输出间仅幅值不同和存在时间滞后，则表明系统实现了不失真测试。值不同和存在时间滞后，则表明系统实现了不失真测试。 所说的不失真测试指输出信号所说的不失真测试指输出信号“再现再现”了原来的输入了原来的输入信号，但二者有两个方面的不同：信号，但二者有两个方面的不同：v 幅值放大（或缩小）了幅值放大（或缩小）了A0倍；倍；v 时间上延迟了时间上延迟了t0波形不失真复现波形不失真复现)()(0txAty )(ty)(txt0)()(00ttxAty 0t)(tx)()(00tt

51、xAty 00)()()(tjeAXYH 系统初态为系统初态为0 0时，对上式进行傅氏变换，可得不失真测试装时，对上式进行傅氏变换，可得不失真测试装置的频率响应函数为：置的频率响应函数为：因此不失真测试系统应具备两个条件：因此不失真测试系统应具备两个条件：q 幅频特性幅频特性A( )在在x(t)的频谱范围内为常数；的频谱范围内为常数；q 相频特性相频特性 ( )与与 成线性关系，为一经过原点的直线。成线性关系，为一经过原点的直线。)()(00ttxAty 0)()(0tjeXAY 00)()(tAA 即即不失真测试系统的频率特性图不失真测试系统的频率特性图 A( ), ( )A0A( ) =

52、A0 ( ) = -t0 - c c0实现不失真测试的条件实现不失真测试的条件 00)()(tAA 不失真测试系统的频率特性图不失真测试系统的频率特性图 A(f), (f)A0A(f) = A0f (f) = -2p pft0-fcf c0实现不失真测试的条件实现不失真测试的条件 002)()(tffAfAp p 注意：注意： q 上述不失真测试条件只适用于一般的测试目的。对于用于上述不失真测试条件只适用于一般的测试目的。对于用于反馈反馈控制系统控制系统中的测试装置，时间滞后可能造成系统不稳定，因根据中的测试装置，时间滞后可能造成系统不稳定，因根据具体要求，尽量减少时间滞后。具体要求，尽量减少

53、时间滞后。 q 实际测量中，绝对的不失真测试是不可能实现的，只能把失真实际测量中，绝对的不失真测试是不可能实现的，只能把失真的程度控制在允许范围内。的程度控制在允许范围内。 两个概念：两个概念： 幅值失真：幅值失真：A( )不等于常数时引起的失真。不等于常数时引起的失真。 相位失真：相位失真： ( )与与 间的非线性引起的失真。间的非线性引起的失真。 实际的测试装置，即使在某一频段内工作，也难以完全理想地实际的测试装置，即使在某一频段内工作，也难以完全理想地实现不失真测试，而只能将波形失真限制在一定的误差范围内。实现不失真测试，而只能将波形失真限制在一定的误差范围内。0.1-40-20020L

54、( )(dB) 1/ ( )( )一阶系统的一阶系统的BodeBode图图-20dB/dec-90-45 1 101 0.11/ 1 101 0 0.21 一阶系统的时间常数一阶系统的时间常数 越小越好。越小越好。不失真测试的频率上限不失真测试的频率上限fmax是由误差要求决定的。是由误差要求决定的。 %1001211%100)(2max00 p p fAAA二阶系统的波德图二阶系统的波德图0.1110-40-30-20-1001020 =0.05 =0.1 =0.2 =0.3 =0.5渐近线渐近线L( )(dB) / n-18000.1110-90 ( )( ) / n =0.7 =1.0

55、=0.05 =0.1 =0.2 =0.3 =0.5 =0.7 =1.03 . 05 . 2 0.3 n，A( )较为平直，较为平直，近于直线，基本满足不近于直线，基本满足不失真测试条件，幅值误差小；失真测试条件，幅值误差小； 2.53 n，AA较小，但关系基本保持在较小，但关系基本保持在-180-180，可可将测试信号反相将测试信号反相-反相器反相器( (幅值输出小要加以放大幅值输出小要加以放大) )； 0.3 n2.5 n ， AA 与与受受 的影响大，做动态特的影响大，做动态特性参数测试。性参数测试。 0.6 0.8时，可以获得较为合适的综合特性，在幅值时，可以获得较为合适的综合特性，在幅

56、值误差误差 5%时，不失真测试的频段为时，不失真测试的频段为0 00.58 n 一般对于单频率成分的信号，只要其幅值处于系统的线一般对于单频率成分的信号，只要其幅值处于系统的线性区，输出信号无所谓失真问题；性区，输出信号无所谓失真问题； 对于含有多种频率成分的信号，既存在幅值失真，也存对于含有多种频率成分的信号，既存在幅值失真，也存在相位失真。在相位失真。信号中不同频率成分通过测试装置后的输出信号中不同频率成分通过测试装置后的输出思考：思考：一阶装置允许一阶装置允许fmax=1000Hz正弦波：正弦波： f fmax方方 波：波： f 0.10.1fmax 10倍频倍频三角波：三角波： f 0

57、.20.2fmax 5倍频倍频一般的非正弦波：一般的非正弦波： f 0.1 0.1 0.20.2fmax 4A p p4A 3p p4A 5p p0 A( ) 03 05 0方波幅值谱方波幅值谱4A p p24A 9p p2 4A 25p p20 03 05 0 A 2三角波幅频谱三角波幅频谱 减少失真的措施减少失真的措施 根据测试信号的频带选择合适的测试装置；根据测试信号的频带选择合适的测试装置； 信号预处理，如消除处于测试系统共振区的噪声；信号预处理，如消除处于测试系统共振区的噪声； 一阶系统：时间常数一阶系统：时间常数 越小，响应越快，近于满足不失越小，响应越快，近于满足不失 真测试条件

58、的通频带越宽。真测试条件的通频带越宽。 二阶系统二阶系统 q (2.53) n段，段， ( ( ) )接近接近180180 ，且随，且随 变化很小，若在变化很小，若在实际测试电路或在数据处理中减去固定的相位差；或对测试实际测试电路或在数据处理中减去固定的相位差；或对测试信号反相，则相位失真很小，但此时信号反相，则相位失真很小，但此时A( )过小，输出幅值衰过小，输出幅值衰 减太大；减太大； 注意：注意： 幅值失真与相位失真的影响应权衡考虑，如在振动测试中，幅值失真与相位失真的影响应权衡考虑，如在振动测试中，有时仅关心振动的频率成分及其强度，则可以允许有相位失真。有时仅关心振动的频率成分及其强度

59、，则可以允许有相位失真。而如若需要测量特定波形的延迟时间，则需要满足相位不失真而如若需要测量特定波形的延迟时间，则需要满足相位不失真条件。甚至，在某些测试情形下，可能并不关心幅值失真问题，条件。甚至，在某些测试情形下，可能并不关心幅值失真问题， 如两个输入信号间相位差的测量。如两个输入信号间相位差的测量。 原则上构成一个测试系统的每个环节都应当基本满足不失原则上构成一个测试系统的每个环节都应当基本满足不失真测试条件。真测试条件。 q =(0.32.5) n段，装置频率特性受段，装置频率特性受 影响很大。影响很大。 q 分析表明：分析表明： 当当 = 0.60.8时，可以获得较为合适的综合特性。

60、当时，可以获得较为合适的综合特性。当 =0.7=0.7时，在时，在 =(00.58) n的频段内，的频段内，A( )变化小于变化小于5%，而，而 ( ( ) )也也接近直线，接近直线，产生的相位失真也很小。产生的相位失真也很小。 第六节第六节 测试装置的动态特性的测定测试装置的动态特性的测定 v 作输入作输入- -输出特性曲线输出特性曲线 将标准量在满量程范围内均匀地等分成将标准量在满量程范围内均匀地等分成n个输入点，个输入点， 按正反按正反行程进行相同的行程进行相同的 m 次测量（一次测量包括一个正行程和一个反次测量（一次测量包括一个正行程和一个反行程），得到行程），得到2 2m条输入、输出