材料物理性能08级01

1、1.1电子的波粒两象性电子的波粒两象性光的波粒两象性光的波粒两象性关于光的产生和转化的一个启发性的观点关于光的产生和转化的一个启发性的观点1905年年3月。月。kp人类对光的本质的认识又前进了一步人类对光的本质的认识又前进了一步 光具有波粒两象性！光具有波粒两象性！1.1电子的波粒两象性电子的波粒两象性1924年一个年轻的法国亲王（德布罗意）在其年一个年轻的法国亲王（德布罗意）在其博士论文中提出：既然原来最具典型波动特征博士论文中提出：既然原来最具典型波动特征的光具有粒子性，那么同样原来认为是粒子的的光具有粒子性，那么同样原来认为是粒子的电子也应该具有波动性！电子也应该具有波动性！即：波粒两象

2、性不局限为光！而应该是普适的，即：波粒两象性不局限为光！而应该是普适的，一切微观粒子也都具有波动性！一切微观粒子也都具有波动性！kpE1.1电子的波粒两象性电子的波粒两象性F1927年美国的年美国的戴维孙和革末戴维孙和革末实验证实了实物粒子波动性实验证实了实物粒子波动性探测器探测器镍单晶镍单晶F同年，小汤姆逊的电子束穿过同年，小汤姆逊的电子束穿过多晶薄膜后的衍射实验，得到了多晶薄膜后的衍射实验，得到了与与x射线实验极其相似的衍射图样射线实验极其相似的衍射图样根据实验资料的分析，德国物理学家玻恩在根据实验资料的分析，德国物理学家玻恩在 1927 年提出了物质波的统计解释：年提出了物质波的统计解释

3、：物质波在空间某处的物质波在空间某处的强度强度与粒子在该处出现的与粒子在该处出现的几率几率成正成正比，即与比，即与位置的几率位置的几率成正比。即物质波是一种几率波。成正比。即物质波是一种几率波。 这样，在某一时刻这样，在某一时刻t，在空间的不同位置（，在空间的不同位置（x,y,z）粒子）粒子出现的几率是不同的，出现的几率是不同的，这样几率波就应当是空间位置（这样几率波就应当是空间位置（x,y,z）和时间）和时间t的函数，的函数，t , rt , z , y, x或这个函数写成并称为并称为波函数波函数*2根据波恩的统计解释，微观粒子出现在位置根据波恩的统计解释，微观粒子出现在位置r处的几率正比于

4、波的强度处的几率正比于波的强度,那么在那么在t时刻，在时刻，在r附近的小体积元附近的小体积元 内发现粒子的几率就是内发现粒子的几率就是d2,trtrW tfrt , r定态波函数定态波函数Ekp3、电子的运动状态由、电子的运动状态由波函数波函数来描述来描述4、在某时刻空间某处、在某时刻空间某处波的强度波的强度与电子出现的与电子出现的几率成正比几率成正比人类对固体中电子的认识发展：人类对固体中电子的认识发展：1）经典自由电子学说：）经典自由电子学说： 金属中的电子是完全的自由电子，象理想气体分金属中的电子是完全的自由电子，象理想气体分子一样，服从玻耳兹曼统计规律！子一样，服从玻耳兹曼统计规律！

5、该理论成功地计算出金属电导率以及电导率和热该理论成功地计算出金属电导率以及电导率和热导率的关系。导率的关系。2）量子自由电子学说：）量子自由电子学说： 用量子力学的一些理论来修正经典自由电子学说。用量子力学的一些理论来修正经典自由电子学说。FS理论中也把金属的电子看作是自由电子！理论中也把金属的电子看作是自由电子！量子理论中，自由电子的波函数是平面波的波量子理论中，自由电子的波函数是平面波的波的波函数！的波函数！tkxiEtpxiAeAet , xtrkiEtrpiAeAet ,r ikxAex rk iAer定态波函数定态波函数晶体具有周期性，其中的电子波函数也应具有周期性，晶体具有周期性，

6、其中的电子波函数也应具有周期性， Lxx1ikLexpLnk2根据波粒两象性，电子的能量为根据波粒两象性，电子的能量为222222222mLhnmkmpE22222zyxkkkmExxxLnk2yyyLnk2zzzLnk2 zkykxkizyxAer引入波矢量 ，其方向是波传播的方向，其绝对值是波数，即 ，波矢量在正交坐标中的投影是 ，zyxkkk,k/2 kk建立一个直角坐标系的建立一个直角坐标系的K空间，空间， 分别取值 ，每组（ ）对应一个波函数，标志一个能量状态，在k空间中对应一个点。 取值间隔相同，所以k空间中标志电子状态的点的密度是均匀的，每一个点占有的体积为zyxkkk,zyxi

7、LLLiii,6,4,2zyxkkk,zyxkkk,VLLLLLLzyxzyx3322222在k空间中标志电子状态的点的密度 32V dEdNEN能量范围内总的状态数为能量从dEEEdN能态密度进一步的含义是：单位能量范围内所能态密度进一步的含义是：单位能量范围内所能容纳的电子数。能容纳的电子数。22222222zyxkkkmmkEkjizyxkkkk上式表明，当上式表明，当E确定时，满足上式的点组成了一确定时，满足上式的点组成了一个个K空间的空间的等能面等能面。等能面上能量相同。对于。等能面上能量相同。对于自由电子来说，等能面是一个球面自由电子来说，等能面是一个球面 dEdNEN能量范围内总

8、的状态数为能量从dEEEdN的点的数目！状件所允许的）代表电子空间中包含的（边界条的两个等能面之间的和应该是能量为dEEEdNdkkVdN2342dkkxkyk空间的等能面示意图mkE222222mEk EdEmdk22dEEmVdN/21232224 21232222/EmVEN如前所述，金属中电子可以有不同的状态，不同的如前所述，金属中电子可以有不同的状态，不同的运动状态，能量不同，能量是量子化的。运动状态，能量不同，能量是量子化的。描述电子运动状态的波函数的波矢量的三个分量在描述电子运动状态的波函数的波矢量的三个分量在K空间确定了一系列等间距的点，每一个点，代表空间确定了一系列等间距的点

9、，每一个点，代表了一种运动状态。了一种运动状态。电子处于某点所代表的状态，可以看成是电子电子处于某点所代表的状态，可以看成是电子占据占据了该点！也可以说是占据了该点所代表的能级！了该点！也可以说是占据了该点所代表的能级！注意注意：原来讨论时没有说金属中有几个电子，得到的状态（能原来讨论时没有说金属中有几个电子，得到的状态（能级）只是说金属中电子可能的状态。级）只是说金属中电子可能的状态。那么，如果确定了金属中的电子数目，这些电子到底占那么，如果确定了金属中的电子数目，这些电子到底占据那些状态？据那些状态？绝对零度（绝对零度（OK）时）时，固体中的固体中的N N个电子处于基态个电子处于基态( (

10、能量能量最低最低的状态的状态) )。是按照是按照泡利原理泡利原理由低到高填充能量尽可能低的由低到高填充能量尽可能低的N N个量子个量子态。态。自由电子近似中， ，则N个电子在k空间填充半径为kF的球，球内包含的状态数恰好等于N，即 mkkE222NkVF3334223/13/13/13/1832832nVNkF3/22208322nmhmkEFF是是0K时的费米能。金属中电子密时的费米能。金属中电子密度一般在度一般在1010232310102222cmcm-3-3量级量级 ；那；那么么eVEF155 . 10EF10.5f(E)费米分布函数E一般情况下，温度不为零时，能量为一般情况下，温度不为

11、零时，能量为E的状态的状态被电子占据的几率，由费米狄拉克分布函被电子占据的几率，由费米狄拉克分布函数决定！数决定！ 1exp1TkEEEfBFEF0 KT K费米面和热激发费米能级EF可以由系统中电子总数N决定！温度不为零时，在能量E+dE区间，可能的状态数为Z(E)dE，每个状态是否填充电子的几率为f(E)，那么在能量E+dE区间，电子数目为Z(E) f(E) dE，那么能量从零到无穷大所有电子总数是 0dEEfEZN对于自由电子近似情况 2132324/EhmVEZ02/132/31124dEeEhmVNkTEEF2020121FBFFETkEE一般为百分几电子伏特电子热运动的能量,TkB

12、意味着，温度不为零时，参与热激发的电子仅意味着，温度不为零时，参与热激发的电子仅仅是费米面附近的少数电子被激发，这就解释仅是费米面附近的少数电子被激发，这就解释了为什么金属电子比热很小，只有特鲁德理论了为什么金属电子比热很小，只有特鲁德理论的百分之一！的百分之一！温度不为零时，电子的平均动能为温度不为零时，电子的平均动能为 NdEEfEENE020201251FBETkE2.1 周期势场中的传导电子周期势场中的传导电子晶体中的一个电子受到所有原子核和其他电子晶体中的一个电子受到所有原子核和其他电子的共同作用，严格来说，要了解这个电子的运的共同作用，严格来说，要了解这个电子的运动状态，就要求解关

13、于这个电子的薛定鄂方程动状态，就要求解关于这个电子的薛定鄂方程精确求解是不可能的！精确求解是不可能的！近似求解！近似求解！2.1 周期势场中的传导电子周期势场中的传导电子量子自由电子理论自由电子近似量子自由电子理论自由电子近似能带理论也是一种近似理论能带理论也是一种近似理论是目前较好的处理固体中电子运动问题的近是目前较好的处理固体中电子运动问题的近似理论，是研究半导体材料的理论基础。似理论，是研究半导体材料的理论基础。能带理论的出发点：能带理论的出发点：认为所有离子势场和其认为所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场。它电子的平均场是周期性势场。周期场近似。周期场近似。 ErVm222 nR

14、rVrV2.1 周期势场中的传导电子周期势场中的传导电子2.1 周期势场中的传导电子周期势场中的传导电子1234E(k)k0/a2/a3/a-/a-2/a-3/a近自由电子近似的 E(k)图和能带E(k)0/a2/a3/a-/a-2/a-3/a自由电子近似的EK曲线一维情况一维情况2.1 周期势场中的传导电子周期势场中的传导电子近自由电子近似下，对于一般的近自由电子近似下，对于一般的K所代表所代表的状态与自由电子相同。的状态与自由电子相同。.anK带若干能量带，允带和禁准连续变化的能谱分成出现能隙，将原来时，在准连续的能谱上在允带之间的能量间隔（禁带宽度）与周期场的允带之间的能量间隔（禁带宽度

15、）与周期场的变化幅度有关！变化幅度有关！2.2 K空间的等能线与等能面空间的等能线与等能面情况如何呢？处发生分裂，那么三维在能谱维情况下使电子准连续周期性势场的作用在一anK布里渊区布里渊区在倒易点阵（倒易空间）中，选一个倒格点作原点，向在倒易点阵（倒易空间）中，选一个倒格点作原点，向其他格点连线，其他格点连线，然后作这些线段的垂直平分面（线），这些垂直平分面然后作这些线段的垂直平分面（线），这些垂直平分面（线）将倒易空间分割称一系列以原点为对称中心的区（线）将倒易空间分割称一系列以原点为对称中心的区域。域。这些区域称为布里渊区。距离原点最近的区域为第一布这些区域称为布里渊区。距离原点最近的区

16、域为第一布里渊区，次近的称第二布里渊区，依此类推。里渊区，次近的称第二布里渊区，依此类推。2.2 K空间的等能线与等能面空间的等能线与等能面222233333333 简单立方晶格k空间的二维布里渊区示意图2.2 K空间的等能线与等能面空间的等能线与等能面anama,a界面位置）分面的位置（布里渊区，上述的垂直平，倒易格点的坐标为间距对应的倒易空间格点距为设一维正空间中格点间22渊区界面发生分裂！处发生分裂，即在布里在能谱维情况下使电子准连续周期性势场的作用在一anK三维情况也同样，周期性势场的作用使原来准三维情况也同样，周期性势场的作用使原来准连续的能谱在布里渊区界面发生分裂！连续的能谱在布里

17、渊区界面发生分裂！2.2 K空间的等能线与等能面空间的等能线与等能面2.2 K空间的等能线与等能面空间的等能线与等能面EK EdSVEZk34E(k)0/a2/a3/a-/a-2/a-3/a近自由电子近似的 E(k)图和能带N(E)EEF自由电子的状态密度曲线近自由电子的状态密度曲线EN(E)N(E)N(E)EE不交叠能带的状态态密度曲线交叠能带的状态密度曲线1）满带电子不导电）满带电子不导电在一个完全为电子充满的能带中，尽管就每一个电子来讲，都荷带一定的电流qV，但状态 的电子电流正好相抵消，所以总的电流等于0。 kk和kE(k)FAA充满能带中的电子运动当有外电场当有外电场E时，每个电子都

18、受到时，每个电子都受到相同的力相同的力EqFdtkd在布里渊区边界A和A处，由于A和A实际代表同一状态，所以从A点移动出去的电子实际上同时就从A点移进来，保持整个能带处于填满的状况，并不产生电流。 部分填充的能带和满带不同，在外电场作用下，可以部分填充的能带和满带不同，在外电场作用下，可以产生电流。产生电流。 kE(k)部分充满的能带导体满带带隙非导体导体和非导体的能带模型假设满带上只有一个状态 没有电子。设 表示在这种情况下整个近满带的总电流。k kI keV keVkI近满带总电流就如同一个带正电荷近满带总电流就如同一个带正电荷e的粒子，它的速度为的粒子，它的速度为空状态空状态 的电子速度的电子速度 。 k kV但是放入这个电子后，能带被完全填满，因此，总的电流为零，从而得到k假设在 态在放入一