数字信号处理ppt

1、第2章时域离散信号和系统的频域分析第第2章时域离散信号和系统的频域分析章时域离散信号和系统的频域分析2.1引言引言 2.2时域离散信号的傅里叶变换的定义及性质 2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 2.4时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号 傅里叶变换之间的关系 2.5序列的Z变换 2.6利用Z变换分析信号和系统的频响特性 习题与上机题第2章时域离散信号和系统的频域分析2.1引言引言我们知道，信号和系统的分析方法有两种，即时域分析方法和频域分析方法。在模拟领域中，信号一般用连续变量时间的函数表示，系统则用微分方程描述。在频率域，则用信号的傅里叶变换(Fourier Transform

2、)或拉普拉斯变换表示。而在时域离散信号和系统中，信号用时域离散信号（序列）表示，系统则用差分方程描述。在频率域，则用信号的傅里叶变换或Z变换表示。本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换分析系统和信号频域特性。该章内容是本书也是数字信号处理的理论基础。第2章时域离散信号和系统的频域分析2.2时域离散信号的傅里叶变换时域离散信号的傅里叶变换的定义及性质的定义及性质时域离散信号不同于模拟信号，因此它们的傅里叶变换不相同，但都是线性变换，一些性质是相同的。2.2.1时域离散信号傅里叶变换的定义时域离散信号傅里叶变换的定义序列x(n)的傅里叶变换定义为（2.2.1） nnnxnxXjje )(

3、)(FT)e (第2章时域离散信号和系统的频域分析p(t)tTTfs1( )()p ttnT( )ax t ( )ax t理想抽样( )( )( )aax tp tx t第2章时域离散信号和系统的频域分析( )ax tp(t)第2章时域离散信号和系统的频域分析( )()p ttnT ( )( )( )aax tx tp t( )()j tanx ttnT edt ( ) ()j tanx ttnT edt ()jn Tanx nT e2/2sssffnTnTfff ( )jnanx n e()( )jjnnX ex n eDTFTijr=1P34 式（2.2.5）P46 图（2.4.1）P24

4、 图（1.5.3）c)()( )j taaXjx t edt 第2章时域离散信号和系统的频域分析预滤A/DC数字信号处理D/AC平滑滤波ya(t)xa(t)f 22ssfff 2/2sssffTfff 数字频率0,1/2sff归一化频率Fs=1000Hz, 则100Hz对应0.2Fs=2000Hz, 则100Hz对应0.1第2章时域离散信号和系统的频域分析FT为Fourier Transform的缩写。FTx(n)存在的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：（2.2.2） X(ej)的傅里叶反变换为（2.2.3） | ( )|nx n j1( )(e )ed2j nx nX

5、离散时间傅里叶变换()( )jjnnX ex n e正变换为DTFT离散频率傅里叶变换DFFT?第2章时域离散信号和系统的频域分析【例例2.2.1】设x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里叶变换。解解 （2.2.4） 当N=4时，其幅度与相位随频率的变化曲线如图2.2.1所示。 1jjj0jj/2j/2j/2jj /2j /2j /2(1)j2(e )( )ee1ee(ee) 1ee(ee)sin(/ 2) esin(/ 2)NnNnnNNNNNxRnN第2章时域离散信号和系统的频域分析图2.2.1R4(n)的幅度与相位曲线 第2章时域离散信号和系统的频域分析2.2.2时域离散信号傅里叶变换的

6、性质时域离散信号傅里叶变换的性质1 FT的周期性的周期性在定义（2.2.1）式中，n取整数，因此下式成立：(2.2.5) 观察上式，得到傅里叶变换是频率的周期函数，周期是2。这一特点不同于模拟信号的傅里叶变换。)e (e )(e )()e ()2j()2j(jjMnnMnnXnxnxX为整数第2章时域离散信号和系统的频域分析图2.2.2cosm 的波形第2章时域离散信号和系统的频域分析2 线性线性设X1(ej)=FTx1(n), X2(ej)=FTx2(n), 那么(2.2.6) 式中, a，b是常数。 jj1212FT( )( )(e )(e )ax nbx naXbX第2章时域离散信号和系

7、统的频域分析3时移与频移时移与频移设X(ej)=FTx(n), 那么(2.2.7) (2.2.8) 0jj0FT ()e(e )mx nnX 00jj()FTe( )(e)nx nX第2章时域离散信号和系统的频域分析4 FT的对称性的对称性在学习FT的对称性以前，先介绍什么是共轭对称与共轭反对称，以及它的性质。设序列xe(n)满足下式：（2.2.9） 则称xe(n)为共轭对称序列。为研究共轭对称序列具有什么性质，将xe(n)用其实部与虚部表示： *ee( )()x nxneerei( )( )j( )x nxnxne-eveno-oddr-reali-image第2章时域离散信号和系统的频域分

8、析将上式两边n用n代替，并取共轭，得到：对比上面两公式，因左边相等，因此得到： （2.2.10） （2.2.11） *eerei()()j()xnxnxnerer( )()xnxneiei( )()xnxn 第2章时域离散信号和系统的频域分析上面两式表明共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。类似地，可定义满足下式的共轭反对称序列： （2.2.12） 将xo(n)表示成实部与虚部，如下式：*oo( )()x nxn ooroi( )( )j( )x nxnxnoror( )()xnxn oioi( )()xnxn即共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。 第2章时域离散信号和系统的频

9、域分析 5 时域卷积定理时域卷积定理设 y(n)=x(n)*h(n)则 Y(ej)=X(ej)H(ej) （2.2.31）证明证明( )( ) ()my nx m h nmjj(e )FT ( )( ) ()ennmYy nx m h nm 第2章时域离散信号和系统的频域分析令k=nm，则jjj(e)( ) ( )eeknkmYh k x m jj( )e( )eknkmh kx mjj(e )(e )HX第2章时域离散信号和系统的频域分析6 频域卷积定理频域卷积定理设y(n)=x(n)h(n) 则(2.2.32) 证明证明 (2.2.33) jjjjj()11(e)(e)(e)(e )(e)

10、d22YXHXH jj(e )( ) ( )ennYx n h njj1( )(e )ed2nh nHjjj1( )(e )ede2nnnx nH第2章时域离散信号和系统的频域分析交换积分与求和的次序，得到：(2.2.34) 该定理表明，在时域两序列相乘，转移到频域时服从卷积关系。 jjj()1(e )(e )( )ed2nnYHx n jj()1(e )(e)d2HX jj1(e)(e)2XH第2章时域离散信号和系统的频域分析7 帕斯维尔（帕斯维尔（Parseval）定理）定理（2.2.35） 22j1( )(e) d2nx nx证明证明 2*jj1( )( )( )( )(e)ed2nnn

11、nx nx n x nx nXjjj1(e)(e)( )ed2nnXXx n2jjj11(e)(e)d(e) d22XXX第2章时域离散信号和系统的频域分析表2.2.1序列傅里叶变换的性质定理 第2章时域离散信号和系统的频域分析)(jXas2s0s)( jXah()aXj()aXjtDFTT第2章时域离散信号和系统的频域分析例2 设计一如图数字低通滤波器求单位冲击响应 1( )()2jjnh nH eedc1cnjnjeeH)n(h)()jdHecc112ccjnedsin()cnnn 第2章时域离散信号和系统的频域分析00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-600-400

12、-2000Normalized Frequency ( rad/sample)Phase (degrees)00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-100-50050Normalized Frequency ( rad/sample)Magnitude (dB)n=1100.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1500-1000-5000Normalized Frequency ( rad/sample)Phase (degrees)00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-150-100-50050Normalized Frequenc

13、y ( rad/sample)Magnitude (dB)n=3100.10.20.30.40.50.60.70.80.91-2000-1500-1000-5000Normalized Frequency ( rad/sample)Phase (degrees)00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-100-50050Normalized Frequency ( rad/sample)Magnitude (dB)n=5100.10.20.30.40.50.60.70.80.91-4000-3000-2000-10000Normalized Frequency ( rad/s

14、ample)Phase (degrees)00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-100-50050Normalized Frequency ( rad/sample)Magnitude (dB)n=101设fs=2000Hz则截止频率fc=?第2章时域离散信号和系统的频域分析傅氏变换一.连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换dtetxjXtj)()(:正dejXtxtj)(21)(:反0)( jX0t)(tx()( )jjnnX ex n e1( )()2jj nx nX eedT 第2章时域离散信号和系统的频域分析离散时间离散时间傅里叶变换傅里叶变换DTFTDTFTnj

15、njenxeX,)()(1.正变换:2.反变换:ktjkejkXtx0)()(:0反2/2/00)(1)(:正ppTTtjkpdtetxTjkX离散频率离散频率傅里叶变换傅里叶变换DFFTDFFT0tpT)(tx-0)(0jkXpT2002-()jX epT20( )x n0()( )jjnnX ex n e1( )()2jj nx nX eed第2章时域离散信号和系统的频域分析1( )()2jj nx nX eed( )()FTx tX j( )()DTFTjx nX e( )( )DFSx nX k时域离散化频域离散化22dkNN1012Nk2()jkNX e2jknNe2N2101( )

16、NjknNkX k eN()jX e一个周期内抽样N个点扩展到整个频域2101( )( )NjknNkx nX k eN21j0( )( )eNknNnX kx nk P75 式3.1.1-2P40 式2.3.1P41 式2.3.3第2章时域离散信号和系统的频域分析DTFTDFSDFT共轭/周期特性 FFT分析系统周期离散理解方式1理解方式2第2章时域离散信号和系统的频域分析002( )x tT2( )ssp tT采样间隔T0sT0信号的周期0信号的角频率Ts采样间隔时域s频谱的周期0采样间隔频域0sTTN0 sNd sffN频率分辨率第2章时域离散信号和系统的频域分析2( )ssp tT0,

17、1,.,N-1含义0 sN01N-12数字频率：采样频率：采样角频率：信号角频率：)(0jkX第2章时域离散信号和系统的频域分析2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式变换表示式因为周期序列不满足（2.2.2）式绝对可和的条件，因此它的FT并不存在，但由于是周期性的，可以展成离散傅里叶级数，引入奇异函数()，其FT可以用公式表示出来。第2章时域离散信号和系统的频域分析( )x n2.3.1周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数设是以N为周期的周期序列，可以展成离散傅里叶级数。如下:(2.3.1)为求系数ak，将上式两边乘以，并对n在一个周期N中

18、求和，即21j0( )eNknNkkx na2jemnN第2章时域离散信号和系统的频域分析式中(2.3.2) 222211111jjjj()00000( )eeeeNNNNNmnknmnk m nNNNNkknnkknx naa 21j()0 e0 Nk m nNnNkmkm2j()211ej()002j()Nj2 ()2122j()j()()j ()-j ()j2 ()j(1)j ()()2 ()-jje11 e1 e111 e1 ee(ee)sin()esie(ee) k mNNNqk m nnNnnk mNk mNNk mk mNNk mk mk mk mNNk mk mk mNNNqq

19、qqqqkm2 ()nkmN第2章时域离散信号和系统的频域分析(2.3.2)式的证明作为练习请读者自己证明。因此(2.3.3)式中，k和n均取整数。因为，l取整数,即是周期为N的周期函数，所以，系数ak也是周期序列，满足ak=ak+lN。21j01( )e0NkmNknax nkN 22j()jeek lN nknNN2jeknN第2章时域离散信号和系统的频域分析( )kX kNa令 , 并将(2.3.3)式代入， 得到: (2.3.4)式中， 也是以N为周期的周期序列, 称为 的离散傅里叶级数系数，用DFS(Discrete Fourier Series)表示。21j0( )( )eNknN

20、nX kx nk ( )X k( )X k第2章时域离散信号和系统的频域分析用 (2.3.5) 将（2.3.4）式和（2.3.5）式重写如下： (2.3.6) (2.3.7) 21j01( )( )eNknNkx nX kN21j0( )DFS ( )( )eNknNnX kx nx n21j01( )IDFS( )( )eNknNkx nX kX kN)(1kXN代替(2.3.1)式中的ak,得到第2章时域离散信号和系统的频域分析（2.3.6）式和（2.3.7）式称为一对DFS。（2.3.5）式表明将周期序列分解成N次谐波，第k个谐波频率为k=(2/N)k, k=0, 1, 2, , N1,

21、 幅度为。基波分量的频率是2/N，幅度是。一个周期序列可以用其DFS系数表示它的频谱分布规律。【例例2.3.1】设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期进行周期延拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列，周期为8，求DFS。解解按照（2.3.6）式, 有(1/)( )N X k(1/)(1)N X( )x k( )x n( )x n第2章时域离散信号和系统的频域分析其幅度特性如图2.3.1(b)所示。 273jj8400( )( )eeknknnnX kx nj44j41 e1 ekkjj22jj88j (ee)j2jj(ee)481 ee1 eekkkkkkk3j 8sin2esi

22、n8kkk( )X k第2章时域离散信号和系统的频域分析图2.3.1例2.3.1图 第2章时域离散信号和系统的频域分析2.3.2周期序列的傅里叶变换表示式周期序列的傅里叶变换表示式在模拟系统中，其傅里叶变换是在=0处的单位冲激函数，强度是2，即（2.3.8） 对于时域离散信号，2/0为有理数，暂时假定其FT的形式与（2.3.8）式一样，即是在0处的单位冲激函数，其强度为2。但由于n取整数，下式成立： 0ja( )etXt0j()aa(j)FT( )edtXx tt02 () 0j( )enx n0()012() jte12()j( )1t第2章时域离散信号和系统的频域分析r取整数因此 的FT为

23、 (2.3.9)(2.3.9)式表示复指数序列的FT是在0+2r处的单位冲激函数，强度为2，如图2.3.2所示。但这种假定如果成立，则要求按照（2.2.4）式的逆变换必须存在，且唯一等于 ，下面进行验证。按照逆变换定义，（2.2.4）式右边00jj(2 )eenr n0jen0jj0(e )FTe2 (2 )nrXr 0jen第2章时域离散信号和系统的频域分析观察图2.3.2，在区间，只包括一个单位冲激函数(0)，等式右边为，因此得到下式：证明了（2.3.9）式确实是的FT，前面的暂时假定是正确的。jjj011(e)ed2 (2 )ed22nnrXr 0jen00jjjj1e(e)edIFT(

24、e)2nnXX0jen第2章时域离散信号和系统的频域分析图2.3.2的FT 0jen第2章时域离散信号和系统的频域分析对于一般周期序列，按（2.3.6）式展成DFS，第k次谐波为，类似于复指数序列的FT，其FT为因此的FT如下式：( )x n2j( )/)eknNX kN2 ( )22rX kkrNN ( )x n1j02 ( )2(e )FT ( )2NkrX kXx nkrNN 第2章时域离散信号和系统的频域分析式中，k=0, 1, 2, , N1。如果让k在区间变化，上式可简化成（2.3.10）式中(2.3.10)式就是周期性序列的傅里叶变换表示式。需要说明的是，上面公式中的()表示单位

25、冲激函数，而(n)表示单位脉冲序列，由于括弧中的自变量不同, 因而不会引起混淆。表2.3.2中综合了一些基本序列的FT。j22(e)( )kXX kkNN 21j0( )( )eNknNnX kx n第2章时域离散信号和系统的频域分析表2.3.2基本序列的傅里叶变换 第2章时域离散信号和系统的频域分析表中u(n)序列的傅里叶变换推导如下：令(2.3.11)(2.3.12)对(2.3.12)式进行FT，得到: 1( )( )2x nu n1(1)(1)2x nu n( )(1)( )(1)( )x nx nu nu nnjj1(e )1 eX第2章时域离散信号和系统的频域分析对(2.3.11)式

26、进行FT，得到：【例例2.3.2】求例2.3.1中周期序列的FT。解解将例2.3.1中得到的代入（2.3.10）式中，得到：其幅频特性如图2.3.3所示。jj(e )(e )(2 )kXUk jj1(e )(2 )1 ekUk ( )X k3j j8sin( /2)(e )e4sin( /8)4kkkXkk 第2章时域离散信号和系统的频域分析图2.3.3例2.3.2图第2章时域离散信号和系统的频域分析对比图2.3.1，对于同一个周期信号，其DFS和FT分别取模的形状是一样的，不同的是FT用单位冲激函数表示（用带箭头的竖线表示）。因此周期序列的频谱分布用其DFS或者FT表示都可以，但画图时应注意

27、单位冲激函数的画法。【例例2.3.3】令为有理数，求其FT。解解将用欧拉公式展开：按照（2.3.9）式，其FT推导如下：00( )cos,2/x nn( )x n00jj1( )ee2nnx n第2章时域离散信号和系统的频域分析 （2.3.13） (2.3.13)式表明，cos0n的FT是在=0处的单位冲激函数，强度为，且以2为周期进行延拓，如图2.3.4所示。 j0(e)FTcosXn0012 (2 )(2 )2rrr 00 (2 )(2 )rrr 第2章时域离散信号和系统的频域分析 图2.3.4cos0n的FT 第2章时域离散信号和系统的频域分析2.4时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号时域

28、离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系傅里叶变换之间的关系时域离散信号与模拟信号是两种不同的信号，傅里叶变换也不同，如果时域离散信号是由某模拟信号采样得来，那么时域离散信号的傅里叶变换和该模拟信号的傅里叶变换之间有一定的关系。下面推导这一关系式。公式x(n)=xa(t)|t=nT=xa(nT)表示了由采样得到的时域离散信号和模拟信号的关系，而理想采样信号和模拟信号的关系用（1.5.2）式表示，重写如下:a ( )x taa ( )() ()nx tx nTtnT第2章时域离散信号和系统的频域分析对上式进行傅里叶变换, 得到:jaaja(j)( )ed() () edttnXx tt

29、x nTtnTtjaj a()()ed()e()dtnnTnx nTtnTtx nTtnTtja ()enTnx nT第2章时域离散信号和系统的频域分析令=T，且x(n)=xa(nT)，得到： （2.4.1） 或者写成： （2.4.2）式中(2.4.2)式也可以表示成（2.4.3） ja(e)(j)TXXjas1(e)(jj)TkXXkTss22FTja12(e)(j)kkXXTT第2章时域离散信号和系统的频域分析图2.4.1模拟频率与数字频率之间的定标关系第2章时域离散信号和系统的频域分析dtetxjXtj)()(:正dejXtxtj)(21)(:反( )p t()( )jjnnX ex n

30、 ej1( )(e )ed2j nx nX ( ) ()aanx tx nTtnT（DTFTFT( )( )x tp t( ) ( )( )stX sL x tx t edt拉氏变换能否 离散化?第2章时域离散信号和系统的频域分析dtetxjXtj)()(:正sj( )( )stH sh t edt()( )jjnnX ex n ejze( )( )nnX zx n z第2章时域离散信号和系统的频域分析 ( ) ()aanx tx nTtnT（( )( )( ) ()()()()()()staaastanstannTssTnaannXsL x tx t edtx nTtnT edtx nT e

31、tnT dtx nT ex nTe （拉氏变换( )( )stX sx t edtsTze( )( )nnX zx n z序列的Z变换sjsTzeTj Tjere TresjT jzre Z的模只与S的实部相对应, Z的相角只与S虚部相对。第2章时域离散信号和系统的频域分析 =0,即S平面的虚轴 r=1,即Z平面单位圆0,即S的左半平面 r0, 即S的右半平面 r1,即Z的单位圆外0)(TerDTFTTresjT jzre第2章时域离散信号和系统的频域分析= 0，S平面的实轴， = 0，Z平面正实轴；=0(常数)，S:平行实轴的直线， = 0T,Z:始于 原点的射线； S:宽 的水平条带， 单

32、位圆内.0jImZReZT(2).与的关系（=T）2(,),T TT (, ) jTT第2章时域离散信号和系统的频域分析2.5序列的序列的Z变换变换在模拟信号系统中，用傅里叶变换进行频域分析，拉普拉斯变换可作为傅里叶变换的推广，对信号进行复频域分析。在时域离散信号和系统中，用序列的傅里叶变换进行频域分析，Z变换则是其推广，用以对序列进行复频域分析。因此Z变换在数字信号处理中同样起着很重要的作用。第2章时域离散信号和系统的频域分析2.5.1Z变换的定义变换的定义序列x(n)的Z变换定义为 （2.5.1）式中z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。注意在定义中，对n求和是在、之间求和，可以称为双

33、边Z变换。还有一种称为单边Z变换的定义，如下式： （2.5.2）( )( )nnX zx n zdef0( )( )nnX zx n zdef第2章时域离散信号和系统的频域分析这种单边Z变换的求和限是从零到无限大，因此对于因果序列，用两种Z变换定义计算的结果是一样的。本书中如不另外说明，均用双边Z变换对信号进行分析和变换。（2.5.1）式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即 （2.5.3）使（2.5.3）式成立，Z变量取值的域称为收敛域。一般收敛域为环状域，即( )nnx n z |xxRzR第2章时域离散信号和系统的频域分析令z=rej，代入上式得到RxrRx，收敛域是分

34、别以Rx和Rx为收敛半径的两个圆形成的环状域(如图 2.5.1 中所示的斜线部分)。 当然，Rx可以小到零，Rx可以大到无穷大。收敛域的示意图如图2.5.1所示。图2.5.1变换的收敛域z=rej第2章时域离散信号和系统的频域分析常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示：分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。 对比序列的傅里叶变换定义（2.2.1）式，很容易得到傅里叶变换和Z变换（ZT）之间的关系，用下式表示：( )( )( )P zX zQ z第2章时域离散信号和系统的频

35、域分析（2.5.4） 式中, z=ej表示在z平面上r=1的圆，该圆称为单位圆。（2.5.4）式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。如果已知序列的Z变换，就可用（2.5.4）式很方便地求出序列的傅里叶变换，条件是收敛域中包含单位圆。【例例2.5.1】x(n)=u(n), 求其Z变换。解解jje(e )( )|zXX z0( )( )nnnnX zu n zz第2章时域离散信号和系统的频域分析X(z)存在的条件是|z1|1, 因此X(z)表达式表明，极点是z=1，单位圆上的Z变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆，因此其傅里叶变换不存在，更不能用（2.5.4）式求傅里叶变换。该序列的傅里叶变

36、换不存在，但如果引进奇异函数()，其傅里叶变换则可以表示出来（见表2.3.2）。该例同时说明一个序列的傅里叶变换不存在，但在一定收敛域内Z变换是可以存在的。11( )| 11X zzz第2章时域离散信号和系统的频域分析2.5.2序列特性对收敛域的影响序列特性对收敛域的影响序列的特性决定其Z变换收敛域，了解序列特性与收敛域的一般关系，对使用Z变换是很有帮助的。1 有限长序列有限长序列如序列x(n)满足下式：即序列x(n)从n1到n2的序列值不全为零，此范围之外序列值为零，这样的序列称为有限长序列。其Z变换为12( )( )0 x nnnnx n其它第2章时域离散信号和系统的频域分析设x(n)为有

37、界序列，由于是有限项求和，除0与两点是否收敛与n1、n2取值情况有关外，整个z平面均收敛。如果n10，则收敛域不包括z=0点；如果是因果序列，收敛域包括z=点。具体有限长序列的收敛域表示如下：n10, n20时，0|z|n10时，0|z|0时，0|z|21( )( )nnn nX zx n z第2章时域离散信号和系统的频域分析【例例2.5.2】求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域。解解 这是一个因果的有限长序列，因此收敛域为0z。但由结果的分母可以看出，似乎z=1是X(z)的极点，但同时分子多项式在z=1时也有一个零点，极、零点对消，X(z)在单位圆上仍存在，求RN(n)的傅里叶变换，可将

38、z=ej代入X(z)得到，其结果和例题2.2.1中的结果（2.2.5）式是相同的。1101( )( )1NNnnNnnzX zRn zzz第2章时域离散信号和系统的频域分析2 右序列右序列右序列是指在nn1时，序列值不全为零，而在nn1时，序列值全为零的序列。 右序列的Z变换表示为第一项为有限长序列，设n11，其收敛域为0|z|。第二项为因果序列，其收敛域为Rx|z|，Rx是第二项最小的收敛半径。将两收敛域相与，其收敛域为Rx|z|。如果是因果序列，收敛域为Rx|z|。 110( )( )( )nnnn nn nnXx n zx n zx n z1( z) =第2章时域离散信号和系统的频域分析

39、()( )jtaaXjx t edt FT拉氏变换( )( )staaXsx t edt( )()( )( )( )( ) ()naaanP ttnTx tx tP tx ttnT( )( )( ) ()()()()()()staaastanstannTssTnaannXsL x tx t edtx nTtnT edtx nT etnT dtx nT ex nTe （( )( )nnX zx n zZ变换sTze()( )()j taanXjx ttnT edt ()jn Tanx nT edt()( )jjnnX ex n eDTFT( )jnanx n e nTnT ( ) ()aanx

40、tx nTtnT（第2章时域离散信号和系统的频域分析【例例2.5.3】求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域。解解 在收敛域中必须满足|az1|a|。101( )( )1nnnnnnX za u n za zaz10011 21( )( )()1()()nnnnnnnnnX za u n za zazazazaz 111111,111( )NqqzqazSqqazzazazaX z。为极点，在圆外，为解析函数，故收敛。第2章时域离散信号和系统的频域分析3 左序列左序列左序列是指在nn2时，序列值不全为零，而在nn2时，序列值全为零的序列。左序列的Z变换表示为如果n20, z=0点收敛，z=

41、点不收敛，其收敛域是在某一圆（半径为Rx+）的圆内，收敛域为0|z|Rx+。如果n20，则收敛域为0|z|Rx，则其收敛域为Rx|z|Rx+，是一个环状域；如果Rx+Rx，两个收敛域没有交集，X(z)则没有收敛域，因此X(z)不存在。12( )( )( )( )nnX zx n zXzXz111( )( )0 |nxnXzx n zzR20( )( ) |nxnXzx n zRz 第2章时域离散信号和系统的频域分析【例例2.5.5】x(n)=a|n|, a为实数，求x(n)的Z变换及其收敛域。解解第一部分收敛域为|az|1，得|z|a|1; 第二部分收敛域为|az1|a|。如果|a|1, 两部

42、分的公共收敛域为|a|z|a|1, 其Z变换如下式:如果|a|1，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。当0aa, 求其逆Z变换x(n)。解解为了用留数定理求解，先找出F(z)的极点。显然，F(z)的极点与n的取值有关。111c1( ) (1)dz2nx nazzj111( )1nF zzaznzza第2章时域离散信号和系统的频域分析极点有两个：z=a；当n0时，其中z=0的极点和n的取值有关。n0时，z=0不是极点；n0时，z=0是一个n阶极点。因此，分成n0和n0两种情况求x(n)。n0时，F(z)在c内只有1个极点：z1=a；n0时，F(z)在c内有2个极点：z1=a, a2=0（n阶）；

43、所以，应当分段计算x(n)。n0 时，( )Res( ), x nF z a()nz azzazana第2章时域离散信号和系统的频域分析图2.5.4例2.5.6中n|a1|，对应的x(n)是因果序列；（2） |z|a|，对应的x(n)是左序列；（3） |a|z|a1|:这种情况的原序列是因果的右序列，无须求n0时的x(n)。当n0时，F(z)在c内有两个极点：z=a和z=a1，因此2111( )(1)(1)naF zzazaz211()()naza za za第2章时域离散信号和系统的频域分析最后表示成：x(n)=(anan)u(n)。 1( )Res ( ), Res ( ),x nF z

44、aF z a12211(1)(1)()()()(1)()()nnz az aazazzazazaaza za zannaa第2章时域离散信号和系统的频域分析（2） 收敛域为|z|a|:这种情况原序列是左序列，无须计算n0情况。实际上，当n0时，围线积分c内没有极点，因此x(n)=0。n0时，c内只有一个极点z=0，且是n阶极点，改求c外极点留数之和。n0时, 1( )Res ( ), Res ( ),x nF z aF z a 122111(1)(1)()()()()()()nnz az aazazzazaa za zaa za za ()nnnnaaaa 第2章时域离散信号和系统的频域分析最

45、后将x(n)表示成封闭式：x(n)=(anan)u(n1)（3） 收敛域为|a|z|a1|:这种情况对应的x(n)是双边序列。根据被积函数F(z)，按n0和n0两种情况分别求x(n)。n0时，c内只有1个极点：z=a, x(n)=ResF(z), a=an第2章时域离散信号和系统的频域分析n0时，c内极点有2个，其中z=0是n阶极点，改求c外极点留数，c外极点只有z=a1， 因此x(n)=ResF(z), a1=an最后将x(n)表示为即x(n)=a|n|0( )0nnanx nan第2章时域离散信号和系统的频域分析2.2.部分分式法部分分式法 有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算所得

46、的式子。有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算所得的式子。 有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项式的商。有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。分子的次数低于分母时称为真分式。 部分分式：把部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式的一个实系数的真分式分解成几个分式 的和，使各分式具有的和，使各分式具有 或或 的形式的形式 ，其中，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约多项式，而且是实数范围内的不可约多项式，而且k k是正是正整数。这时称各分式为原分式的整数。这时称各分式为原分式的“部分分式部分分式”。()kaxA2()k

47、axbxAxB(1)1110(1)11111011( )11(1)MMMMNNNNMNN rrnkknknkkkib zbzb zbX za zaza zACB zz zz z第2章时域离散信号和系统的频域分析2 部分分式展开法部分分式展开法对于大多数单阶极点的序列，常常也用部分分式展开法求逆Z变换。设x(n)的Z变换X(z)是有理函数，分母多项式是N阶，分子多项式是M阶，将X(z)展成一些简单的常用的部分分式之和，通过查表（参考表2.5.1）求得各部分的逆变换，再相加便得到原序列x(n)。设X(z)只有N个一阶极点，可展成下式:（2.5.11） （2.5.12） 01( )NmmmA zX

48、zAzz01( )NmmmAAX zzzzz第2章时域离散信号和系统的频域分析1125( ),2|316zX zzzz【例例2.5.8】已知, 2|z|3，求逆Z变换。解解 212122( )555166(2)(3)23AAX zzzzzzzzzzz12( )( )Res,2(2)1zX zX zAzzz23( )( )Res, 3(3)1zX zX zAzzz ( )1123X zzzz1111( )123X zzzz第2章时域离散信号和系统的频域分析221111(1)111NnNnnnnnSqqqqSqqqq SqqSq 12111qNSqqqq 1211( )21 2qzAzX zAzz

49、121221(1222)21qznnAzzzz21(1)1NAAqqqq( )2nx nA1111( )123X zzzz第2章时域离散信号和系统的频域分析因为收敛域为2|z|2。第二部分极点是z=-3，收敛域应取|z|3。查表2.5.1，得到：x(n)=2nu(n)+(3)nu(n1)注意:在进行部分分式展开时，也用到求留数问题；求各部分分式对应的原序列时，还要确定它的收敛域在哪里，因此一般情况下不如直接用留数法求方便。一些常见的序列的Z变换可参考表2.5.1。 第2章时域离散信号和系统的频域分析表2.5.1常见序列的Z变换 第2章时域离散信号和系统的频域分析2.5.4Z变换的性质和定理变换

50、的性质和定理下面介绍Z变换重要的性质和定理。1 线性性质线性性质设m(n)=ax(n)+by(n)a, b为常数 X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+Y(z)=ZTy(n)Ry|z|Ry+则 M(z)=ZTm(n)=aX(z)+bY(z)Rm|z|RxRy+Ry时，则M(z)不存在。第2章时域离散信号和系统的频域分析2 序列的移位性质序列的移位性质设X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+则 （2.5.16）00ZT ()( ),|nxxx nnzX zRz R第2章时域离散信号和系统的频域分析3 序列乘以指数序列的性质序列乘以指数序列的性质设 X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+ y(n)

51、=anx(n)a为常数则 Y(z)=ZTanx(n)=X(a1z)|a|Rx|z|a|Rx+ 因为Rx|a1z|Rx+，得到|a|Rx|z|a|Rx+。11( )( )( )()()nnnnnY za x n zx n a zX a z证明证明（2.5.17）第2章时域离散信号和系统的频域分析4 序列乘以序列乘以n的的ZT设 X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+则 （2.5.18）证明证明d( )ZT( )|dxxX znx nzRzRz 第2章时域离散信号和系统的频域分析因此 d ( )dd( )( )dddnnnnX zx n zx nzzzz11( )( )nnnnnx n zznx

52、n z 1ZT( )znx n d ( )ZT( )X znx nzz 第2章时域离散信号和系统的频域分析5 复共轭序列的复共轭序列的ZT性质性质设 X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+则ZTx*(n)=X*(z*)Rx|z|Rx+ （2.5.19）证明证明*ZT( )( ) ( )()nnx nx n zx n zn*( )()()nnx n zXz第2章时域离散信号和系统的频域分析6 初值定理初值定理设x(n)是因果序列，X(z)=ZTx(n)， 则（2.5.20）证明证明 因此(0)lim( )zxX z120( )( )(0)(1)(2)nnX zx n zxxzxzlim( )(0

53、)zX zx第2章时域离散信号和系统的频域分析7 终值定理终值定理若x(n)是因果序列，其Z变换的极点，除可以有一个一阶极点在z=1上，其它极点均在单位圆内，则（2.5.21）证明证明因为x(n)是因果序列，x(n)=0, n0, 所以1lim ( )lim(1)( )nzx nzX z(1)( ) (1)( )nnzX zx nx n zsTze0s0lim ( )lim(s)tsx tsX1z第2章时域离散信号和系统的频域分析因为(z1)X(z)在单位圆上无极点，上式两端对z=1取极限：10(1)( )lim(1)( )nnmmnmmzX zx mzx m z110lim(1)( )lim

54、(1)( )nnznmmzX zx mx mlim (0)(1)(1)nxxx n(0)(1)(2)( )xxxx nlim (1)lim ( )nnx nx n第2章时域离散信号和系统的频域分析终值定理也可用X(z)在z=1点的留数表示，因为因此 x()=ResX(z), 1（2.5.22）如果在单位圆上X(z)无极点，则x()=0。1lim(1)( )Res( ),1zzX zX z第2章时域离散信号和系统的频域分析8 时域卷积定理时域卷积定理 设w(n)=x(n)*y(n)X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+Y(z)=ZTy(n)Rx|z|Ry+1则W(z)=ZTw(n)=X(z)Y(

55、z)Rw|z|Rw+（2.5.23）Rw+=minRx+, Ry+Rw=maxRx, Ry第2章时域离散信号和系统的频域分析证明证明W(z) 的收敛域就是X(z)和Y(z)的公共收敛域。( ) ( )( )W zZT x ny n()( ) ()( )()( )()( ) ( )nnmnmnmn Mmnx m y nm zx my nm zx m zy nm zX z Y z 第2章时域离散信号和系统的频域分析【例例2.5.9】已知网络的单位脉冲响应h(n)=anu(n)，|a|1, 网络输入序列x(n)=u(n)，求网络的输出序列y(n)。解解y(n)=h(n)*x(n)求y(n)可用两种方

56、法，一种直接求解线性卷积，另一种是Z变换法。（1） ( )( ) ()my nh m x nm010( ) ()1,01mmnnmma u m u nmaana第2章时域离散信号和系统的频域分析（2） ( )( )* ( )y nh nx n111( )( ) | |11( ) ( ) | 11nH zZT a u nzaazX zZT u nzz111( )( )( ) 1(1)(1)Y zH zX zzzaz11( )d2j(1)()nczy nzzzac第2章时域离散信号和系统的频域分析由收敛域判定 y(n)=0n0n0时，将y(n)表示为11( )Res ( ),1Res ( ), n

57、ny nY z zY z za1111111nnaaaaa11( )( )1nay nu na第2章时域离散信号和系统的频域分析9 复卷积定理复卷积定理如果ZTx(n)=X(z)Rx|z|Rx+ ZTy(n)=Y(z)Ry|z|Ry+w(n)=x(n)y(n)则（2.5.24） W(z)的收敛域为RxRy|z|Rx+Ry+(2.5.25)1d( )( ) ( )2jczW zX v Yc第2章时域离散信号和系统的频域分析（2.5.24）式中平面上，被积函数的收敛域为（2.5.26）证明证明 |max,| min,xxyyzzRRRR( )( ) ( )nnW zx n y n z11( )d(

58、 )2j1d( )( )2j1d( ) ( )2jnncnncncXy n zzXy nzXY ccc第2章时域离散信号和系统的频域分析由X(z)的收敛域和Y(z)的收敛域得到：因此 |xxRRyyzRR|max,| min,xyxyxxyyR RzR RzzRRRR第2章时域离散信号和系统的频域分析【例例2.5.10】已知x(n)=u(n)，y(n)=a|n|, 0|a|1若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZTw(n)。 解解 11( ) 1 |1X zzz 2111( )| | |(1)(1)aY zazaazaz211d( )( )2j111d 2j(1)(1)1cczW zYX

59、aaaacc第2章时域离散信号和系统的频域分析W(z)的收敛域为|a|z|；被积函数平面上的收敛域为max(|a|, 0)|min(|a1|, |z|)，平面上极点：a、a1和z，c内极点：z=a。 令11( )Res ( ), |1W zFaazaz ( )( )nna u n1( )( )zF zX v YvvxyxyRzRvRzR|,min|,max第2章时域离散信号和系统的频域分析10 帕斯维尔（帕斯维尔（Parseval）定理）定理设X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+Y(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+RxRy1那么（2.5.27） 111( )( )( )d2jcnx n y

60、 nXYc第2章时域离散信号和系统的频域分析平面上，c所在的收敛域为利用复卷积定理可以证明上面的重要的帕斯维尔定理。证明证明令w(n)=x(n)y*(n)按照（2.5.24）式得到：11max,| min,xxyyRRRR11( )ZT ( )( )d2jczW znXYc第2章时域离散信号和系统的频域分析按照（2.5.25）式，RxRy|z|Rx+Ry+; 按照假设，z=1在收敛域中，将z=1代入W(z)中，则有111(1)( )d2jcWXY*(1)( )( )( )( )1nnnWx n y n zx n y nzc第2章时域离散信号和系统的频域分析因此 如果x(n)和y(n)都满足绝对