第8章 时间序列分析和预测 (1)

1、第8章 时间序列分析和预测8.18.1 时间序列及其分解时间序列及其分解 8.2 8.2 平稳序列的平滑和预测平稳序列的平滑和预测8.3 8.3 有趋势序列的分析和预测有趋势序列的分析和预测8.4 8.4 复合型序列的分解复合型序列的分解学习目标1.1. 时间序列及其分解原理时间序列及其分解原理2.2. 平稳序列的平滑和预测方法平稳序列的平滑和预测方法3.3. 有趋势序列的分析和预测方法有趋势序列的分析和预测方法4.4. 复合型序列的综合分析复合型序列的综合分析8.1 时间序列及其分解1 时间序列的构成要素时间序列的构成要素2 时间序列的分解方法时间序列的分解方法时间序列(times seri

2、es)1. 同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的数列2. 形式上由现象所属的时间和现象在不同时间上的观察值两部分组成3. 排列的时间可以是年份、季度、月份或其他任何时间形式时间序列的分类平平稳稳序序列列有有趋趋势势序序列列复复合合型型序序列列非非平平稳稳序序列列时时间间序序列列时间序列的分类1.平稳序列(stationary series)基本上不存在趋势的序列，各观察值基本上在某个固定的水平上波动或虽有波动，但并不存在某种规律，而其波动可以看成是随机的 2.非平稳序列 (non-stationary series)有趋势的序列线性的，非线性的 有趋势、季节性和周期性的复合型序列 时间序

3、列的构成要素线线 性性 趋趋 势势非非 线线 性性 趋趋 势势趋趋 势势季季 节节 性性周周 期期 性性随随 机机 性性时时 间间 序序 列列 的的 构构 成成 要要 素素趋势、季节、周期、随机性1.趋势(trend)呈现出某种持续向上或持续下降的趋势或规律 2.季节性(seasonality)也称季节变动(Seasonal fluctuation)现象在一年内重复出现的周期性波动 3.周期性(cyclity) 也称循环波动(Cyclical fluctuation) 从低至高再从高至低的周而复始的变动 4.随机性(random) 也称不规则波动(Irregular variations) 偶

4、然性因素对时间序列产生影响时间序列的构成模型1.时间序列的构成要素分为四种，即趋势(T)、季节性或季节变动(S)、周期性或循环波动(C)、随机性或不规则波动(I)非平稳序列2.时间序列的分解模型乘法模型 Yi=TiSiCiIi加法模型 Yi=Ti+Si+Ci+Ii 8.2 时间序列的描述性分析1 图形描述图形描述2 水平分析水平分析3 速度分析速度分析图形描述图形描述图形描述(例题分析)图形描述(例题分析)（一）概念：（一）概念：时间序列中各项具体的指标数值。 字母表示字母表示: : a0,a1, a2 ,an-1, ,an 相关概念：相关概念： 最初水平最初水平：动态数列中的第一项指标数值

5、a0 最末水平最末水平：动态数列中最后一项指标数值 an 报告期水平报告期水平：要研究的那一时期的指标值 基期水平基期水平：作为对比的基础时期的指标值（二）意义：（二）意义：是计算其他水平指标和速度指标的基础。 （一）概念（一）概念 又称序时平均数序时平均数或动态平均数动态平均数，是将不同时期的发展水平加以平均得到的平均值。（二）序时平均数与一般平均数的区别（二）序时平均数与一般平均数的区别 1.1.计算依据不同计算依据不同:序时平均数序时平均数依据动态数列动态数列,一般平均一般平均数数依据变量数列。变量数列。 2.2.说明问题不同说明问题不同:序时平均数序时平均数从动态动态上说明现象在不同时

6、间上某一数值的一般水平,一般平均数一般平均数从静态静态上说明总体某个数量标志的一般水平。二、平均发展水平二、平均发展水平1.1.绝对数时间序列绝对数时间序列的序时平均数 （1 1）时期数列）时期数列的序时平均数（简单算术平均简单算术平均法）。 nanaaaan 21( (三三) )平均发展水平的计算平均发展水平的计算连续时点数列：逐日登记。连续时点数列：逐日登记。 未分组资料未分组资料: :逐日登记逐日登记, ,每日都有数据每日都有数据（简单算术平简单算术平均均法）。 分组资料分组资料: :逐日登记逐日登记, ,非每日都有数据非每日都有数据（加权算术平加权算术平均均法）。 其中，权数 f 代表

7、间隔日数。 fafffffafafaannn212211nanaaaan 21（2 2） 时点数列的序时平均数时点数列的序时平均数间断时点数列：间断时点数列：资料不是逐日记录逐日排列不是逐日记录逐日排列，而是有一定间隔的期初或期末的资料。 时间间隔相等时：首末折半法。时间间隔相等时：首末折半法。 时间间隔不等时：加权平均法。时间间隔不等时：加权平均法。 式中f1,f2,fn-1：相邻时点指标间隔的月（季）数。 1221321 naaaaaann ffaafaafaaannn11232121222（2 2） 时点数列的序时平均数时点数列的序时平均数 例例8-18-1根据表8-2计算4月下旬商店营

8、业员平均人数表8-2 某商店4月下旬营业员人数 单位：人 分析分析 属于连续时点数列且每日都有数据连续时点数列且每日都有数据, ,采用简单算简单算术平均法术平均法计算。 （人）80108278807976naa序时平均数计算示例序时平均数计算示例 例例8-28-2根据表8-3计算4月份钢材平均库存量。 表8-3 某企业4月份钢材库存量 单位:万吨 分析分析 属于连续时点数列连续时点数列, ,但非每日都有数据但非每日都有数据, ,应采用加权算术平均法加权算术平均法计算。 序时平均数计算示例序时平均数计算示例)(87.7730424104888561302150万吨fafa 例例8-38-3根据表

9、8-4资料计算企业上半年平均职工人数及平均固定资产额。 表8-4 某企业2005年上半年统计资料 序时平均数计算示例序时平均数计算示例 分析分析 属于时间间隔相等的间断时点数列时间间隔相等的间断时点数列, ,采用首末首末折半法折半法计算。 上半年平均职工人数为：例例8-38-3答案答案1251721241281261221241262124a)(641-72707064646160260万元b上半年平均固定资产额为： 例例8-48-4根据表计8-5算2011年的平均职工人数。 表8-5 某企业2011年职工人数资料 单位:人 分析分析 属于时间间隔不等时间间隔不等的间断时点数列间断时点数列,采

10、用加加权算术平均权算术平均法计算。序时平均数计算示例序时平均数计算示例)(568543526005804258056032560500人a 2.2.相对数时间序列的序时平均数相对数时间序列的序时平均数bac 相对数时间序列的序时平均数不能直接计算,而应根据分子数列的序时平均数除以分母数列的分子数列的序时平均数除以分母数列的序时平均数序时平均数计算，用公式表示为: 2.2.相对数时间序列的序时平均数相对数时间序列的序时平均数babac (1)(1)时期数列时期数列/ /时期数列时期数列形成的相对数时间序列。分子分母数列均简单平均分子分母数列均简单平均: 2.2.相对数时间序列的序时平均数相对数时

11、间序列的序时平均数2222110110nnnnbbbbaaaabac(2)(2)时点数列时点数列/时点数列时点数列形成的相对数时间序列。 在时间间隔相等时,分子分母均首末折半分子分母均首末折半:（一）概念（一）概念: :报告期水平与基期水平之差。（二）分类（二）分类 (1)(1)逐期增长量逐期增长量报告期水平前一期水平 a1-a0 ，a2-a1 ， ，an-an-1 (2)(2)累计增长量累计增长量报告期水平某固定基期水平 a1-a0 ，a2-a0 ， ，an-a0 * * *两者关系两者关系 （1）累计增长量各逐期增长量之和和 （2）逐期增长量相邻两个累计增长量之差差 1-时间序列项数累计增

12、长量平均增长量 逐期增长量个数逐期增长量之和平均增长量（一）概念（一）概念: :表明时间序列每期平均增长的情况。（二）公式（二）公式表5-6 我国19851990年电风扇产量 单位：万台年年 份份198519851986198619871987198819881989198919901990产产 量量逐期增长量逐期增长量累计增长量累计增长量31753175-35293529 354354 354 35436613661 132 132 486 48644964496 835 835 1321 132149924992 496 496 1817 181757995799 807 807 2624

13、 2624)(8 .524526245807496835132354万台平均增长量（一）概念（一）概念 发展速度是用报告期水平报告期水平与基期水平基期水平进行对比对比得到的动态相对数动态相对数。 （二）基本公式（二）基本公式%100基期水平报告期水平发展速度一、发一、发 展展 速速 度度( (三三) )分类分类 1.1.环比发展速度环比发展速度：报告期水平报告期水平与前一期水平之比。前一期水平之比。各期的环比发展速度如下： 2.2.定基发展速度：报告期水平定基发展速度：报告期水平与固定基期水平之比。固定基期水平之比。各期的定基发展速度如下：1231201;nnaaaaaaaa0030201;a

14、aaaaaaan一、发一、发 展展 速速 度度 1.1.环比发展速度的连乘积等于相应时期的环比发展速度的连乘积等于相应时期的定基发展速度定基发展速度。如： 2.2.相邻两个定基发展速度之商等于相应时相邻两个定基发展速度之商等于相应时期环比发展速度期环比发展速度。如： 01231201aaaaaaaaaannn 1010nnnnaaaaaa（四）环比和定基发展速度的关系（四）环比和定基发展速度的关系1.1.概念概念 平均发展速度是各环比发展速度的序时平均数。环比发展速度的序时平均数。2.2.计算方法（以水平法为例）计算方法（以水平法为例） 水平法水平法: :侧重考察最末一年所达到的水平,采用几几

15、何平均法何平均法计算。 （1 1）已知）已知各期环比发展速度环比发展速度时，其计算公式为： （五）平均发展速度（五）平均发展速度nnnxxxxxx321 （2）已知最初水平和最末水平时，公式为： （3）已知整个时期内的定基发展速度即总速度时，公式为： 水平法水平法nnaax0nRx （一）概念（一）概念 是反映社会经济现象增长程度的动态相对数，用增增长量除以基期水平长量除以基期水平计算。 （二）公式（二）公式 %100基期水平增长量增长速度1-发展速度增长速度二、增长速度二、增长速度( (三三) )分类分类 1.1.环比增长速度环比增长速度：逐期增长量逐期增长量与前一期水平之比，等前一期水平之

16、比，等于环比发展速度于环比发展速度-1-1。各期的环比增长速度如下： 2.2.定基增长速度：累计增长量定基增长速度：累计增长量与固定基期水平之比，固定基期水平之比，等于定基发展速度等于定基发展速度-1-1。各期的定基增长速度如下：00003002001;aaaaaaaaaaaan 11223112001; nnnaaaaaaaaaaaa二、增长二、增长 速速 度度0a1a2a3a4a5a年 份199519961997199819992000符 号钢产量(万吨)200240300340360378环比发展速度(%)-120125113.33 105.88105定基发展速度(%)-12015017

17、0180189环比增长速度(%)- 202513.33 5.88 5定基增长速度(%)- 2050 70 80 890a1a2a3a4a5a（一）概念（一）概念 是是时间序列中各期环比增长速度的序时平均数环比增长速度的序时平均数，反映现象在较长时间内平均每期增长的程度。 （二）公式（二）公式 * * *注意注意：不能直接根据各期环比增长速度计算平均增长速度。 1-平均发展速度平均增长速度 三、平均增长速度三、平均增长速度（一）概念（一）概念 是将时间序列的水平分析水平分析和速度分析结合速度分析结合的指标，反映速度每增长速度每增长1%1%增加的绝对数量增加的绝对数量。 （二）公式（二）公式 10

18、01001%环比发展速度报告期水平前期水平的绝对值增长四、增长四、增长1的绝对值的绝对值甲、乙两个企业的有关资料甲、乙两个企业的有关资料年年 份份甲甲 企企 业业乙乙 企企 业业利润额利润额(万元万元)增长率增长率(%)利润额利润额(万元万元)增长率增长率(%)1996500601997600208440平均增长率(例题分析 )增长率分析中应注意的问题1.当时间序列中的观察值出现0或负数时，不宜计算增长率2.例如：假定某企业连续五年的利润额分别为5、2、0、-3、2万元，对这一序列计算增长率，要么不符合数学公理，要么无法解释其实际意义。在这种情况下，适宜直接用绝对数进行分析3.在有些情况下，不

19、能单纯就增长率论增长率，要注意增长率与绝对水平的结合分析8.3 平稳序列的分析和预测1简单平均法简单平均法2移动平均法移动平均法3指数平滑法指数平滑法简单平均法简单平均法简单平均法 (simple average) 1.根据过去已有的t期观察值来预测下一期的数值 2.设时间序列已有的其观察值为 Y1、Y2、 、Yt，则t+1期的预测值Ft+1t+1为3.有了t+1的实际值，便可计算出的预测误差为 4. t+2期的预测值为 简单平均法(特点) 1.适合对较为平稳的时间序列进行预测，即当时间序列没有趋势时，用该方法比较好2.如果时间序列有趋势或有季节变动时，该方法的预测不够准确3.将远期的数值和近

20、期的数值看作对未来同等重要，从预测角度看，近期的数值要比远期的数值对为来有更大的作用。因此简单平均法预测的结果不够准确 移动平均法移动平均法移动平均法(moving average) 1.对简单平均法的一种改进方法2.通过对时间序列逐期递移求得一系列平均数作为趋势值或预测值3.有简单移动平均法和加权移动平均法两种简单移动平均法(simple moving average) 1.将最近k的其数据加以平均作为下一期的预测值 2.设移动间隔为 K(1kt)，则t期的移动平均值移动平均值为 3. t+1期的简单移动平均预测值预测值为4.预测误差用均方误差(MSE) 来衡量 简单移动平均法(特点) 1.

21、将每个观察值都给予相同的权数 2.只使用最近期的数据，在每次计算移动平均值时，移动的间隔都为k3.主要适合对较为平稳的时间序列进行预测4.应用时，关键是确定合理的移动间隔长对于同一个时间序列，采用不同的移动步长预测的准确性是不同的选择移动步长时，可通过试验的办法，选择一个使均方误差达到最小的移动步长。 简单移动平均法(例题分析) 【例【例】对居民消费价格指数数据，分别取移动间隔k=3和k=5，用Excel计算各期的居民消费价格指数的平滑值(预测值) ，计算出预测误差，并将原序列和预测后的序列绘制成图形进行比较 简单移动平均法(例题分析) 消费价格指数移动平均趋势消费价格指数移动平均趋势5080

22、11014019861988199019921994199619982000年份消费价格指数消费价格指数3 期移动平均预测5期移动平均预测指数平滑平均法指数平滑平均法指数平滑法(exponential smoothing)1.是加权平均的一种特殊形式2.对过去的观察值加权平均进行预测的一种方法3.观察值时间越远，其权数也跟着呈现指数的下降，因而称为指数平滑4.有一次指数平滑、二次指数平滑、三次指数平滑等 5.一次指数平滑法也可用于对时间序列进行修匀，以消除随机波动，找出序列的变化趋势 一次指数平滑(single exponential smoothing)1.只有一个平滑系数2.观察值离预测时

23、期越久远，权数变得越小 3.以一段时期的预测值与观察值的线性组合作为t+1的预测值，其预测模型为 一次指数平滑1.在开始计算时，没有第1个时期的预测值F1，通常可以设F1等于1期的实际观察值，即F1=Y12.第2期的预测值为3.第3期的预测值为一次指数平滑 (预测误差)1.预测精度，用误差均方来衡量2. Ft+1是t期的预测值Ft加上用调整的t期的预测误差(Yt-Ft)一次指数平滑 (的确定)1.不同的会对预测结果产生不同的影响2.一般而言，当时间序列有较大的随机波动时，宜选较大的 ，以便能很快跟上近期的变化3.当时间序列比较平稳时，宜选较小的 4.选择时，还应考虑预测误差误差均方来衡量预测误

24、差的大小确定时，可选择几个进行预测，然后找出预测误差最小的作为最后的值 一次指数平滑 (例题分析)用用ExcelExcel进行指数平滑预测进行指数平滑预测第第1步：步：选择“工具”下拉菜单第第2步：步：选择“数据分析”选项，并选择“指数平滑”，然后确定第第3步：步：当对话框出现时 在“输入区域”中输入数据区域 在“阻尼系数”（注意：阻尼系数=1- ）输入的值 选择“确定” 一次指数平滑 (例题分析)一次指数平滑 (例题分析)消费价格指数的指数平滑趋势消费价格指数的指数平滑趋势608010012014019861988199019921994199619982000年份消费价格指数消费价格指数平

25、滑系数0 . 5平滑系数0 . 7平滑系数0 . 9 8.4 有趋势序列的分析和预测1线性趋势分析和预测线性趋势分析和预测2非线性趋势分析和预测非线性趋势分析和预测线性趋势分析和预测线性趋势(linear trend)1.现象随着时间的推移而呈现出稳定增长或下降的线性变化规律2.由影响时间序列的基本因素作用形成3.测定方法主要有：移动平均法、指数平滑法、线性模型法等4.时间序列的主要构成要素线性模型法(线性趋势方程)线性方程的形式为线性模型法(a 和 b 的最小二乘估计) 1.趋势方程中的两个未知常数 a 和 b 按最小二乘法(Least-square Method）求得根据回归分析中的最小二

26、乘法原理使各实际观察值与趋势值的离差平方和为最小最小二乘法既可以配合趋势直线，也可用于配合趋势曲线2.根据趋势线计算出各个时期的趋势值线性模型法(a 和 b 的求解方程)线性模型法(例题分析)线性模型法(例题分析)线性模型法(例题分析)人口自然增长率的线性趋势人口自然增长率的线性趋势0510152019861988199019921994199619982000年份人口自然增长率人口自然增长率（）趋势值非线性趋势分析和预测1.现象的发展趋势为抛物线形态2.一般形式为3.根据最小二乘法求得 a、b、c标准方程二次曲线(second degree curve) 二次曲线(例题分析) 二次曲线(例题

27、分析)二次曲线(例题分析)能源总产量的二次曲线趋势能源总产量的二次曲线趋势500008000011000014000019861988199019921994199619982000年份能源总产量能源生产总量趋势值1.用于描述以几何级数递增或递减的现象2.一般形式为指数曲线(exponential curve) 指数曲线(a、b 的求解方法) 1.采取“线性化”手段将其化为对数直线形式2.根据最小二乘法，得到求解 lga、lgb 的标准方程为3.求出lga和lgb后，再取其反对数，即得算术形式的a和b 指数曲线(例题分析) 指数曲线 (例题分析) 指数曲线 (例题分析)人均G D P的 指 数

28、曲线趋势人均G D P的 指 数曲线趋势020004000600080001000019861988199019921994199619982000年份人均G D P人均G D P预测指数曲线与直线的比较8.5 复合型序列的分解一一. 季节性分析季节性分析2 趋势分析趋势分析3 周期性分析周期性分析季节性分析季节指数(seasonal index)1.刻画序列在一个年度内各月或季的典型季节特征2.以其平均数等于100%为条件而构成3.反映某一月份或季度的数值占全年平均数值的大小4.如果现象的发展没有季节变动，则各期的季节指数应等于100%5.季节变动的程度是根据各季节指数与其平均数(100%)

29、的偏差程度来测定如果某一月份或季度有明显的季节变化，则各期的季节指数应大于或小于100%季节指数(计算步骤)1.计算移动平均值(季度数据采用4项移动平均，月份数据采用12项移动平均)，并将其结果进行“中心化”处理将移动平均的结果再进行一次二项的移动平均，即得出“中心化移动平均值”(CMA)2.计算移动平均的比值，也成为季节比率即将序列的各观察值除以相应的中心化移动平均值，然后再计算出各比值的季度(或月份)平均值，即季节指数3.季节指数调整各季节指数的平均数应等于1或100%，若根据第二步计算的季节比率的平均值不等于1时，则需要进行调整具体方法是：将第二步计算的每个季节比率的平均值除以它们的总平均值 季节指数(例题分析)【例【例】下表是一家啤酒生产企业19972002年各季度的啤酒销售量数据。试计算各季的季节指数 季节指数(例题分析)季节指数(例题分析)季节指数(例题分析)啤酒销售量的季节变动啤酒销售量的季节变动0.500.801.10