《建筑力学》李前程第九章梁的应力

1、1建筑力学主讲单位： 力学教研室 （九）（九）2第九章第九章 梁的应力梁的应力第一节 平面弯曲的概念及实例第二节 梁的正应力第四节 梁的切应力第三节 常用截面的惯性矩、平行移轴公式第五节 梁的强度条件第六节 提高梁弯曲强度的主要途径3第一节 平面弯曲的概念及实例一、弯曲的概念 梁： 以弯曲变形为主的杆件。1. 弯曲变形 作用在通过杆件轴线的纵向平面内的一对等值、反向的力偶。受力特征：变形特征：杆件轴线由直线变形后成为曲线。2. 平面弯曲 受弯杆件的轴线为平面曲线时的弯曲称为平面弯曲。外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系。4第一节 平面弯曲的概念及实例2. 平面弯曲 梁的横截面通常采用对称形状,如

2、矩形、工字形、T 字形、圆形等。纵向对称面：包含梁横截面的一个对称轴及其梁轴线的平面称为纵向对称面。对称弯曲：作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内， 弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线， 这种弯曲称为对称弯曲。5第一节 平面弯曲的概念及实例2. 平面弯曲 横截面的对称轴横截面的对称轴梁的轴线梁的轴线纵向对称面纵向对称面变形后的轴线与外力变形后的轴线与外力在同一平面内在同一平面内6第一节 平面弯曲的概念及实例二、弯曲的实例l 伽利略（Galileo）历史回顾 2hbhFl )2(2bhM 7第一节 平面弯曲的概念及实例二、弯曲的实例楼板梁纵梁A8第一节 平面弯曲的概念及实例二、弯曲

3、的实例火车轮轴9第一节 平面弯曲的概念及实例桥式吊车梁二、弯曲的实例10mmFS第一节 平面弯曲的概念及实例三、弯曲的应力一般情况下，梁的横截面上既又弯矩 M ， 又有剪力 FS 。mmFSM mmM 只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素 才能合成弯矩才能合成弯矩只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素 才能合成才能合成剪力剪力所以，在梁的横截面上一般既有所以，在梁的横截面上一般既有 正应力正应力，又有又有 切应力切应力。11第二节 梁的正应力纯弯曲若梁在某段内各横截面上的 ，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲。非纯弯曲各截面不仅有弯矩,还有剪力的作用,产生

4、弯曲变形的同时, 伴随有剪切变形。这种变形形式称为非纯弯曲。FFaaCDABMeMeCD梁的CD 段纯弯曲。梁的AC、DB 段非纯弯曲。12第二节 梁的正应力梁的CD 段纯弯曲。13第二节 梁的正应力1、研究内容1 1、正应力的分布情况、正应力的分布情况2 2、正应力计算公式、正应力计算公式2、分析思路：（变形固体的力学分析方法）1 1、变形的几何关系、变形的几何关系2 2、力与变形的物理关系、力与变形的物理关系3 3、静力平衡条件、静力平衡条件14第二节 梁的正应力一、 实验现象的观察与分析梁由直变弯, 以某层（中性层）为界,一侧伸长, 一侧缩短;横截面仍为平面，只是相对旋转了一个角度;在弯

5、曲过程中梁的横截面始终与梁的轴线保持正交。 若假设各纵向纤维间无相互挤压,则各纵向纤维只产生单向拉伸或压缩。15第二节 梁的正应力 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短， 因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。中性层中性轴两个概念16第二节 梁的正应力二、 正应力公式推导推导公式时，要综合考虑 几何 ，物理 和 静力学 三方面 。取 一 纯弯曲 梁段来研究 。17O1O2第二节 梁的正应力二、 正应力公式推导变形后：12dK Ky d变形前：12dK Kx()dddyy 1. 几何方面K1K2y1K2KOd1O2O上式表达了梁横截面上任一点处的纵向线应变

6、 随该点的位置而变化的规律。18第二节 梁的正应力二、 正应力公式推导2. 物理方面式中：y 几何方程由假设的纵向纤维受单向拉伸或压缩,所以,当正应力不超过材料的比例极限时,由胡克定律可得：EyEE= 常量结论：（1）正应力 与距离y 成正比,即正应力 沿截面高度按直线规律变化；（2）中性轴上各点处的正应力等于零, 距中性轴最远的上、下边缘处的 正应力最大。19第二节 梁的正应力二、 正应力公式推导2. 物理方面式中：yEE是未知的常量M需要解决的问题：需要解决的问题：如何确定中性轴的位置 ？如何计算 1/ ?中性轴20第二节 梁的正应力3. 静力学方面 物理方程yENdAAF0 dd0AAE

7、EyAy Ad0Ay Ad0CAy AyA形心坐标0Cy说明中性轴必通过截面的形心。（1 1）如何确定中性轴的位置 ？21第二节 梁的正应力3. 静力学方面yEdAyAM2ddAAEyEyAyA2zdAyAI（2 2）如何计算1/ ？M弯曲刚度梁横截面上正应力计算公式截面对z轴的惯性矩22第二节 梁的正应力zMyI梁横截面上正应力计算公式截面对z轴的惯性矩为所求应力点到中性轴的距离为横截面上的弯矩23第二节 梁的正应力zMyI梁横截面上正应力计算公式说明:(1) 式中M 和 y 均以绝对值代入;(2)正应力是拉应力还是压应力可由观察梁的变形来判断;符号规定：以中性轴为界:靠凸边一侧受拉，靠凹边

8、一侧受压。正应力拉为正；压应力为负。(3) 公式适用于所有横截面形状对称于y 轴的梁,如工字形、T 字形、 圆形截面梁等;(4) 公式适用于非纯弯曲的情况。24第二节 梁的正应力zMyIMMyyCZCZ中性轴中性轴中性轴中性轴思考:截面上拉应力与压应力发生在何处？拉应力区压应力区拉应力区压应力区25第二节 梁的正应力zMyI思考:（1） 中性轴为截面对称轴时最大最小正应力的关系？ 梁横截面上最大、最小正应力绝对值相等！梁横截面上最大、最小正应力绝对值相等！maxmaxmaxctMyCZ中性轴中性轴拉应力区压应力区26第二节 梁的正应力zMyI思考:12yy（2） 中性轴为不对称轴时最大最小正应

9、力的关系？ 梁横截面上最大正应力应分别计算梁横截面上最大正应力应分别计算: :2m axz()MyI1maxz()MyIzyM2y1ymax()max()maxmax()()27第三节 常用截面梁的惯性矩、平行移轴公式一、 简单截面的惯性矩计算1.矩形截面对 y , z 轴的惯性矩bhzyC已知：矩形截面b h, C 点为形心求：Iy， Iz解：取平行于z 轴和 y 轴的微元面积ddAb y3222222dd12hhhhzbhIyAy b y同理,得:312yhbI 28第三节 常用截面梁的惯性矩、平行移轴公式一、 简单截面的惯性矩计算2.圆形截面对 y , z 轴的惯性矩已知：圆截面直径 d

10、求：Iy， Iz， IP4P232yIdI 2201d2dyzIIrA解：取圆环微元面积rrAd2d42201(2)d264ddrrr29第三节 常用截面梁的惯性矩、平行移轴公式二、 组合截面的惯性矩计算 1.组合截面由几个简单图形组成的截面称为组合截面。截面各组成部分对某一轴的惯性矩之代数和， 就等于该截面对于同一轴的惯性矩。z3z2z1zIIIIzzzz12330第三节 常用截面梁的惯性矩、平行移轴公式二、 组合截面的惯性矩计算2.平行移轴公式 截面对任一轴的惯性矩,等于它对平行该轴的形心轴的惯性矩,加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。21yAyIIb21AzzIIabhyCzz11332

11、2A( )1223zzbhhbhIIabh31第三节 常用截面梁的惯性矩、平行移轴公式三、 矩形截面的静矩bhyCzzdCASy AA yz00CSA ybh思考思考: :矩形截面对过形心矩形截面对过形心 的中性轴的静矩：的中性轴的静矩：梁横截面上距中性轴为 y 的横线以外部分的面积A*对中性轴的静矩yA*2*2z0()2()()2224hyhb hSAybyyydyCASz AA z图形对于 y 轴的静矩图形对于 z 轴的静矩C点是图形的形心,坐标为: xC ,yC32第三节 常用截面梁的惯性矩、平行移轴公式四、 组合截面的形心坐标AAyASyAzCdCyAzSAyAzSdAzAySdCzA

12、yS AAzASzAyCd 已知静矩可以确定图形的形心坐标 已知图形的形心坐标可以确定静矩C点是图形的形心,坐标为: xC ,yC（2）截面对形心轴的静矩等于零。讨论:（1）若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。33第三节 常用截面梁的惯性矩、平行移轴公式四、 组合截面的形心坐标截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，就等于该截面对于同一轴的静矩。对于组合截面 niCiiCnnCCyniCiiCnnCCzzAzAzAzASyAyAyAyAS12211122111111,nniCiiCiyiizCCnniiiiA yAzSSyzAAAA所以,组合截面的形心坐标计算公式为:34第三节 常用截

13、面梁的惯性矩、平行移轴公式补充例题:计算图示截面的形心C 位置。xy 取x 轴和y 轴分别与截面的底边和左边缘重合。将截面分为 1，2 两个矩形。解：12O101012080矩形 12110 1201200mmA 15mmcx160mmcy矩形 22210 70700mmA 2701045mm2cx25mmcy2cx2cy1cx1cymm2021221111AAxAxAAxAxccniiniciicmm40212211AAyAyAycccC (20,40)35第三节 常用截面梁的惯性矩、平行移轴公式例 91 由两个20a号工字钢和两块钢板组成的截面如图所示。 求组合截面对它的形心轴 z 的惯性

14、矩。解: 由型钢表查得每个20a 号工字钢 对 z 轴惯性矩为:484zm102370cm2370 I每块钢板分别对自己形心轴的惯性矩为:3364z1z20.4 0.042.13 10 m1212bhII利用平行移轴公式求每块钢板对 z 轴的惯性矩:2z1z21zIIIa Ah62442.13 10 +(0.1+0.02)0.04 0.4=2.325 10 m200cmh 组合截面对 z 轴的惯性矩:66zz1642()2 (23.7 10 +232.5 10 )=512.5 10 mzIII36第三节 常用截面梁的惯性矩、平行移轴公式教材 9-4(a): 求下列图形对 z 轴的惯性矩( z

15、轴通过形心)。解:444412z,a12()646464ddIdd33331 122z,b1 1221()121212bhb hIbhb h37第三节 常用截面梁的惯性矩、平行移轴公式补充例题 求C 截面 K 点正应力。 已知 F =1.5kN，a =2m，y=0.06m,b=0.12m， h=0.18m。解：yKbhzCakN.m325 . 1FaMC33540.12 0.185.832 10 m1212zbhI353 100.063.09MPa5.832 10CKKzMyIzCKMyI38第三节 常用截面梁的惯性矩、平行移轴公式例 9-2 图所示长为l 的T 形截面悬臂梁,自由端受集中力F

16、 作用。已知F = 15 kN, l = 1 m。试求截面A 上1,2,3 点的正应力(尺寸单位为mm)。解： (1)确定截面形心位置 取z 轴与截面的上底边重合。zy 形心一定在对称 轴 y 上。矩形 12120 1202400mmA 12010mm2y 矩形 22220 1202400mmA 21202080mm2y1 122122400 102400 80mm=45mm24002400CA yA yyAA0Cz z39第三节 常用截面梁的惯性矩、平行移轴公式例 9-2 图所示长为l 的T 形截面悬臂梁,自由端受集中力F 作用。已知F = 15 kN, l = 1 m。试求截面A 上1,2

17、,3 点的正应力(尺寸单位为mm)。解： (2)确定截面对z轴的惯性矩zy矩形 1324164120 2020 12045 10mm123.02 10 mmzI矩形 2z324116420 12020 1208045mm125.82 10 mmzIT 形截面对 z 轴的惯性矩为664641113.02 105.82 10mm8.84 10 mmzzzIII40第三节 常用截面梁的惯性矩、平行移轴公式例 9-2 图所示长为l 的T 形截面悬臂梁,自由端受集中力F 作用。已知F = 15 kN, l = 1 m。试求截面A 上1,2,3 点的正应力(尺寸单位为mm)。解：(3)计算截面A上1，2，

18、3点的正应力648.84 10 mmzI 15kN 1m15kN.mAMFl 截面A上的弯矩311615 100.04576.36MPa8.84 10AzMyI322615 100.0450.0242.4MPa8.84 10AzMyI332615 100.120.020.045161.2MPa8.84 10AzMyI（拉）（拉）（压）41第四节 梁的切应力 一、矩形截面梁的切应力 bzyC2h2hSzzF SI bSF横截面上的剪力zI整个截面对中性轴的惯性矩zS梁横截面上距中性轴为 y 的横线以外部分的面积A*对中性轴的静矩b所求切应力点的位置的梁截面的宽度。yA*22()24zb hSy矩

19、形截面梁切应力计算公式: 42第四节 梁的切应力 一、矩形截面梁的切应力 bzyC2h2hyA*矩形截面梁切应力计算公式: 1.在截面的两端，在截面的两端，y = h/202.在中性层（轴）在中性层（轴），y =022SsSmax33122482zFFhFhIbhbhSmax32Fbh讨论：43第四节 梁的切应力 二、工字形及 T 字形截面梁的切应力 1.工字形截面梁腹板上切应力计算公式: Szz 1F SI boyxb1zyFS下翼缘上翼缘腹板SF横截面上的剪力zI整个工字形截面对中性轴的惯性矩zS为所求应力点到截面边缘间的面积(阴影面积)对中性轴的静矩。1b腹板厚度44第四节 梁的切应力

20、二、工字形及 T 字形截面梁的切应力 1.工字形截面梁腹板上切应力计算公式: Szz 1F SI b1.在腹板的两端，切应力最小；min2.在中性轴上，y =0SmaxSmax11maxzzzzF SFbI bIS查表可得4.工字形截面梁剪力主要由腹板承担,而弯矩主要由翼缘承担。45第四节 梁的切应力 2. T 字形截面梁腹板上切应力计算公式: Szz 1F SI b1.在腹板的下端，02.在中性轴上，y =0Smaxmax1zzF SI bmaxzS是阴影面积对中性轴的静矩46第四节 梁的切应力 例 93 图示矩形截面简支梁,已知 l = 2 m, h = 150 mm ,b= 100 mm

21、, y1 = 50 mm,F = 10 kN。试求：(1) m - m 截面上K 点的切应力, (2)若采用22a 号工字钢,求最大切应力。解：(1)求m - m 截面上K 点的切应力kN5kN5S5kNKF3344z0.1 0.150.28 10 m1212bhI*33z00.1 0.025 0.06250.156 10 mSAy33SK45 100.156 10278.57kPa0.28 100.1zzF SI b或：22S36()4Fhybh1101()2=62.5mm2242hyyhhyy32236 5 100.15(0.05 )0.1 0.154 277.8kPa47第四节 梁的切应

22、力 例 93 图示矩形截面简支梁,已知 l = 2 m, h = 150 mm ,b= 100 mm, y1 = 50 mm,F = 10 kN。试求：(1) m - m 截面上K 点的切应力, (2)若采用22a 号工字钢,求最大切应力。解：(2)若采用22a 号工字钢, 求最大切应力。kN5kN5S5kNKFz18.9cmzIS3Smax5 103.53MPa0.189 0.0075zzF SI b查表得：10.75cmb 48第五节 梁的强度条件 在横向力的作用下,梁的横截面一般同时存在弯曲正应力和弯曲切应力。为了保证梁能安全地工作,必须使梁内的最大应力不超过材料的许用应力,因此,对上述

23、两种应力应分别建立相应的强度条件。一、正应力强度条件max S,max,maxmaxz zFSIb二、切应力强度条件 利用强度条件，可解决三种不同类型的工程问题。（1 1）强度校核；（）强度校核；（2 2）截面尺寸设计；（）截面尺寸设计；（3 3）确定许用载荷。）确定许用载荷。49第五节 梁的强度条件 一、正应力强度条件1. 中性轴为截面对称轴时 maxmaxmaxzMyIWz 称为弯曲截面系数梁的正应力强度条件为maxmaxzMIymaxzMWmaxzzIWy（1）强度校核（2）截面尺寸设计（3）确定许用载荷maxmax zMWmax zMWmax zMW等截面梁内的最大正应力发生在弯矩最大

24、的横截面且距中性轴最远的位置。50第五节 梁的强度条件 Wz 称为弯曲截面系数maxzzIWy对矩形截面： 321262zbhbhWh对圆形截面： 4364322zddWd51第五节 梁的强度条件 2. 中性轴为截面不对称轴时 比如铸铁等 脆性材料 制成的梁，由于材料的且梁横截面的 中性轴 一般也不是对称轴，所以梁的maxmax)()(梁上最大拉应力和最大压应力分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力。梁的正应力强度条件为：Mmax()max()思考：如不是脆性材料制成的梁，而是塑性材料的梁，需分别考虑吗？答：不需要。只需要求出正应力绝对值最大值 max即可。 ？52第五节 梁的强度条件 S,m

25、ax,maxmaxz zFSIb二、切应力强度条件等截面梁内的最大切应力发生在剪力最大的横截面的中性轴上。该最大切应力的值应满足梁的切应力强度条件53第五节 梁的强度条件 注意：(1)在进行梁的强度计算时,必须同时满足梁的正应力强度条件和切应力强度条件。但在一般情况下,正应力强度条件往往是起主导作用的。(2) 在选择梁的截面时,通常是先按正应力强度条件选择截面尺寸, 然后再进行切应力强度校核。(3)对于某些特殊情况,梁的切应力强度条件也可能起控制作用。例如,梁的跨度很小,或在支座附近有较大的集中力作用,这时梁可能出现弯矩较小,而剪力却很大的情况,这就必须注意切应力强度条件是否满足。又如,对木梁

26、,在木材顺纹方向的抗剪能力很差,也应注意在进行正应力强度较核的同时,进行切应力的强度校核。54第五节 梁的强度条件 等直梁的弯曲强度计算步骤 根据梁的约束性质，分析梁的受力，确定约束力。根据梁的约束性质，分析梁的受力，确定约束力。 画出梁的内力图；由此确定可能的危险截面画出梁的内力图；由此确定可能的危险截面( (最大内力处最大内力处) )。 根据应力分布，确定危险点根据应力分布，确定危险点( (最大应力处最大应力处) )。 应用强度条件进行强度计算。应用强度条件进行强度计算。55第五节 梁的强度条件 例 9 4 一矩形截面简支木梁,梁上作用均布荷载。已知l =4 m,b = 140 mm, h

27、 = 210 mm,q = 2 kN/m;弯曲时木材的许用拉应力=6 .4 MPa。试校核梁的强度并求梁能承受的最大荷载。解：（1）校核强度最大弯矩发生在跨中截面上,其值为kN.m442818122maxqlM弯曲截面系数为22230.14 0.210.103 10 m66zbhW最大正应力为3maxmax2max4 103.89MPa 0.103 10MW56第五节 梁的强度条件 例 9 4 一矩形截面简支木梁,梁上作用均布荷载。已知l =4 m,b = 140 mm, h = 210 mm,q = 2 kN/m;弯曲时木材的许用拉应力=6 .4 MPa。试校核梁的强度并求梁能承受的最大荷载

28、。解：（2）求最大荷载根据强度条件max zMW而所以得26228 8 0.103 106.4 103.29kN/m4zWql2max18Mql即梁能承受的最大荷载为3.29kN/mq 57第五节 梁的强度条件 例 9 5 一槽形截面外伸梁,梁上受均布荷载作用。已知 F =20 kN, q = 10 kN/m;材料的许用拉应力+=35 MPa，许用压应力-=140MPa 。试按正应力强度条件校核梁的强度。解：（1）作弯矩图形心位置是（过程略）mm140mm,6021yy按组合截面求截面对中性轴的惯性据：744 10 mmzI （2）确定截面几何性质量58第五节 梁的强度条件 例 9 5 一槽形

29、截面外伸梁,梁上受均布荷载作用。已知 F =20 kN, q = 10 kN/m;材料的许用拉应力+=35 MPa，许用压应力-=140MPa 。试按正应力强度条件校核梁的强度。解：（3）B 截面强度校核梁的上边缘受拉,下边缘受压。33max1720 1010604 1030MPaBzMyI1260mm140mmyy33max2720 10101404 1070MPaBzMyI59第五节 梁的强度条件 例 9 5 一槽形截面外伸梁,梁上受均布荷载作用。已知 F =20 kN, q = 10 kN/m;材料的许用拉应力+=35 MPa，许用压应力-=140MPa 。试按正应力强度条件校核梁的强度

30、。解：（4）D 截面强度校核梁的上边缘受压,下边缘受拉。33max2710 10101404 1035MPaDzMyI1260mm140mmyy33max1710 1010604 1015MPaDzMyI故梁的强度满足要求。60第五节 梁的强度条件 例 9 6 试为图示枕木选择矩形截面尺寸。已知截面尺寸的比例为 b h = 3 4,许用拉应力= 6 .4 MPa,许用切应力 = 2.5 MPa。解：（1）作剪力图和弯矩图（2）按正应力强度条件设计截面max98 0.219.6kN.mMFa333max619.6 103.06 10 m 6.4 10zMW2,3/ 46zbhbWh3213648

31、zhWh h333388 3.06 1024.48 10 mzhW 0.29mh 得: 33=0.29=0.22m44bh61第五节 梁的强度条件 例 9 6 试为图示枕木选择矩形截面尺寸。已知截面尺寸的比例为 b h = 3 4,许用拉应力= 6 .4 MPa,许用切应力 = 2.5 MPa。解：（2）切应力强度校核S,max98kNFF3Smax33 98 102.31MPa 22 0.22 0.29FA取：0.22m , =0.29mbh62第六节 提高梁弯曲强度的主要途径 梁的弯曲强度主要是由正应力强度条件控制的,所以,要提高梁的弯曲强度主要就是要提高梁的弯曲正应力强度。梁的弯曲正应力

32、强度条件：目的：降低梁的最大正应力！63第六节 提高梁弯曲强度的主要途径 梁的弯曲正应力强度条件：一、 选择合理的截面形状对于同种材料，若Wz 则可承受的 M梁的承载能力提高。提高用最少的材料获得最大弯曲截面系数。选择较大的截面AWz截面的合理形状,就是在截面面积相同的条件下。比较不同形状截面的Wz 值。64WzA=1.14cmWzA=0.84cmWzA=6.68cmzyb hh=2bzydNo20azyA=35.5cm2 A=35.5cm2 A=35.5cm2 第六节 提高梁弯曲强度的主要途径 工字形截面比矩形截面合理；矩形比圆形截面合理。65zyb h第六节 提高梁弯曲强度的主要途径 矩形

33、比正方形截面合理!矩形与正方形截面比较：zya221aAbhA2312,66zzbhaWW21321zzWbhhWaazyd正方形截面与圆形截面比较：323361.19132zzaWdW22234dAaA2ad正方形截面比圆形截面合理！66zyb h第六节 提高梁弯曲强度的主要途径 矩形竖放与平放比较：2212,66bhhbWW121WhWbzy h b矩形竖放合理！67第六节 提高梁弯曲强度的主要途径 从应力角度分析：Mzxy所以，在用料一定前提下，尽量减小中性轴附近的面积,而使更多的面积分布在离中性轴较远的位置。 薄腹梁68 maxmax()(）+第六节 提高梁弯曲强度的主要途径 69思考:(2)脆性材料的梁合理截面形状?y y1 1y y2 2y y1 1y y2 2max()max()maxmax()()第六节 提高梁弯曲强度的主要途径 +21yymax)(max()70（a）（b）（c）（d）（b）（d）FlxMFl第六节 提高梁弯曲强度的主要途径 71二、变截面梁Fxlzyb h(x)第六节 提高梁弯曲强度的主要途径 )()(maxxWxMz( )( ) zM xW x72(1) 若b不变，则按剪切强度要求进行修改设计：maxhFh1第六节 提高梁弯曲强度的主要途径 Fxl6( ) Fxh xb( )