激光原理第二章答案

1、资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢第二章开放式光腔与高斯光束101.证明如图2.1 所示傍轴光线进入平面介质界面的光线变换矩阵为0。12证明：设入射光线坐标参数为r1,1，出射光线坐标参数为r2 ,2 ，根据几何关系可知r2r1,1 sin12 sin2傍轴光线 sin则 1 122 ，写成矩阵形式r210r1得证0122111 d2. 证明光线通过图2.2所示厚度为 d 的平行平面介质的光线变换矩阵为2。01证明：设入射光线坐标参数为r1 , 1 ，出射光线坐标参数为r2 , 2 ，入射光线首先经界面1 折射，然后在介质 2 中自由传播横向距离d，最后经界面2 折射后出射。根据 1 题

2、的结论和自由传播的光线变换矩阵可得10r22 021101d010r1化简后r211 d r1得证。122120113试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢其往返矩阵为：AB101L101L22TD101101CR1R2由于是共焦腔，则有R1R2L将上式代入计算得往返矩阵10T10T nTr TLTr TLn1 n 1 0nnA B1 n 1 012C D0 10 1可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。于是

3、光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。4. 试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。0g1g21其中 g11L, g21L解：共轴球面腔稳定性条件1R2R1对平凹共轴球面镜腔有 R1, R2 0。则 g1 1, g2L1，再根据稳定性条件R2L1 R2L 。0 g1 g2 1可得 0 1R2对双凹共轴球面腔有， R10, R20 则 g11L , g2 1L ,根据稳定性条件R1R2LLR1L0R1L0 g1 g2 1 可得 0 111或0 R2L 。R2R2LR1R1R2L对凹凸共轴球面镜腔有，R10, R20 则 g11L , g21L0, 根据稳定性条件R1R2

4、0 g1 g2 1 可得 0 1L1L1R1L。R2R1R2R1L精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢5. 激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m 的凸面镜和曲率半径为2m 的凹面镜组成，工作物质长0.5m ，其折射率为1.52 ，求腔长 L 在什么范围内是稳定腔。解：设两腔镜M 1 和 M 2 的曲率半径分别为 R1 和 R2， R11m, R2 2m工作物质长 l0.5m ，折射率1.52当腔内放入工作物质时, 稳定性条件中的腔长应做等效, 设工作物质长为 l, 工作物质左右两边剩余的腔长分别为l1 和 l2 ，则 l1ll2L 。设此时的等效腔长为L ，则光在腔先经历自由传播横向

5、距离 l1 ，然后在工作物质左侧面折射，接着在工作物质中自由传播横向距离l ，再在工作物质右侧面折射，最后再自由传播横向距离l 2 ，则1 L1 l 21 0 1 l101 l1010100101101l2ll101ll所以等效腔长等于Ll2l1(Ll )再利用稳定性条件01LL(1)1121由(1) 解出则所以得到：2mL1m1LL0.5(1)L0.171.521.17m<L2.17m6.图 2.3 所示三镜环形腔，已知l ，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式 (2

6、.2.7)中的 F( R cos ) / 2 ，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，FR / (2cos) ，为光轴与球面镜法线的夹角。精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢平面镜llRlR图 2.1解：AB1l1012l1011CD011011FF14l4l 23l2l 2FF 2F2l 2212lF 2lF1AD13ll 22FF 2稳定条件1l 23l11F 2Fl 23l20F 2Fll左边有所以有21llF或210FFF对子午线：F子午R cos对弧矢线：F弧矢R2cos2对子午线和弧矢光线分别代入上述不等式得子午光线4 l2 l或 R4 l3R333弧矢光线l3 l 或

7、RR3l32任意光线需同时满足子午线与弧矢线的条件得43R34 3ll 或 Rl923精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢7.有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器，=30cmd2a0.12cm，=632.8nmL，方形孔边长，镜的反射率为 r1 1,r2 0.96 ，其他的损耗以每程0.003估计。此激光器能否作单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择TEM 00 模，小孔的边长应为多大？试根据图2.5.5作一个大略的估计。氦氖增益由公式eg0l13104ld估算（ l 为放电管长度，假设 lL ）解：TEM 01 模为第一高阶横模， 并且假定 TEM 00 和 TEM 01

8、 模的小信号增益系数相同，用 g0表示。要实现单模运转，必须同时满足下面两个关系式g0 lr1 r2(10.003)1Ie00g0 lr1 r2(10.003)1IIe01根据已知条件求出腔的菲涅耳数Na20.0621.9L30 632.8107由图 2.5.5 可查得 TEM 00和 TEM 01 模的单程衍射损耗为0 10 8.371 10 6氦氖增益由公式eg0 l1310 4Ld计算。代入已知条件有eg0l1.075 。将 eg 0l、00 、01 、 r1 和 r2的值代入 I 、 II式，两式的左端均近似等于 1.05 ，由此可见式II的条件不能满足，因此该激光器不能作单模运转。为

9、了获得基模振荡，在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来增加衍射损耗。若满足II 式的条件，则要求010.047根据图 2.5.5 可以查出对应于01 的腔菲涅耳数N '0.90由菲涅耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长2aLN '2300632.8 10 6 0.90.83mm同理利满足 I 式的条件可得 2a0.7mm精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢因此，只要选择小孔阑的边长满足0.7mm2a0.83mm 即可实现 TEM 00 模单模振荡。8试求出方形镜共焦腔面上TEM 30 模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？解：在厄米 - 高斯近似下，共焦腔面上的TEM 3

10、0模的场分布可以写成x2 y2v30(x, y) C H32 x e (L / )I30L令 X2/( L ) x，则 I 式可以写成x2y2v ( x, y) C30H3X e ( L / )30式中 H3X 为厄米多项式，其值为H3X8X 3 -12X由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，于是令H 3 X0 ，得X1 0; X23/ 2; X33/ 2考虑到0sL / ，于是可以得到镜面上的节点位置x10; x23320s ; x30s2所以， TEM 30 模在腔面上有三条节线，其x 坐标位置分别在 0 和3 0s / 2 处，节线之间位置是等间距分布的，其间距为30s / 2 ；而沿y

11、 方向没有节线分布。9. 求圆形镜共焦腔 TEM 20 和 TEM 02 模在镜面上光斑的节线位置。解：在拉盖尔高斯近似下，可以写成如下的形式m2r 22rn2r0smn r ,CmnLme220 s0 scosmsin m对于 TEM mn ，两个三角函数因子可以任意选择，但是当m为零时，只能选余弦，否则无意义2r22r2r 2对于 TEM 20 ： 20 r ,C20L020 s2e20 s0s2并且 L22r1 ，代入上式，得到020scos2sin 2精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢2r 22r220 r ,C20e 0 s0s取余弦项，根据题中所要求的结果，我们取co

12、s2，sin 220 r ,C202r2r 2，就能e0 s cos2020 s求出镜面上节线的位置。即cos201, 2344同理，对于 TEM 02 ，2r02r2r 22r2r 200s00 sr ,C02L2e2C02 L2e2020s220 s0s02r 214r 22r 4L2224，代入上式并使光波场为零，得到0 s0 s0s2r04r22r4r 20 sr ,C021e2002240s0 s0s02r 214r 22r 40 即满足上式显然，只要L22240 s0s0 s镜面上节线圆的半径分别为：r1120s, r2120s2210. 今有一球面腔， R11.5m ， R21m

13、 ， L80cm。试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。解：该球面腔的 g 参数为g11L7g2 1LR1151.8R2由此， g1g20.85 ，满足谐振腔的稳定性条件0g1g21，因此，该腔为稳定腔。由稳定腔与共焦腔等价条件精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢R1( z1f 2)z1R2(z2f 2 ) 和 0 1L1L1z2R1R2Lz2 z1可得两反射镜距离等效共焦腔中心O点的距离和等价共焦腔的焦距分别为z11.31mz20.51mf0.50m根据计算得到的数据，在下图中画出了等价共焦腔的具体位置。等价共焦腔R1R2z2z1OLff1

14、6某高斯光束腰斑大小为0 =1.14mm，=10.6 m。求与束腰相距30cm、 10m、1000m 远处的光斑半径及波前曲率半径R。解：入射高斯光束的共焦参数f20 0.385m根据2z(z)=01fR( z)zf 2z求得：z30cm10m1000m(z)1.45mm2.97cm2.96mR(z)0.79m10.0m1000m精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢17若已知某高斯光束之0 =0.3mm，=632.8nm 。求束腰处的 q 参数值，与束腰相距30cm 处的 q 参数值，以及在与束腰相距无限远处的q 值。解：入射高斯光束的共焦参数f20 44.7cm根据 q( z)

15、zq0 zif，可得束腰处的 q 参数为： q(0)44.7 icm与束腰相距 30cm 处的 q 参数为： q(30)(3044.7i )cm与束腰相距无穷远处的q 参数为： R e (q), I m ( q) 44.7cm21某高斯光束0=1.2mm=10.6m=2cm，。今用F的锗透镜来聚焦，当束腰与透镜的距离为10m、 1m、 10cm、 0 时，求焦斑的大小和位置，并分析所得的结果。解：入射高斯光束的共焦参数f200.427m设入射高斯光束的q 参数为 q1 ，像高斯光束的q 参数为 q2 ，根据 ABCD法则可知111q1q2F其中q1lifl和f 分别为入射高斯光束的焦斑位置和共

16、焦参数； q2lif2l 和f 分别为像高斯光束的焦斑位置和共焦参数。 f0f20Fq1利用以上关系可得q2q1Fl10m1m10cm0l2.00cm2.08cm2.01cm2.00cm02.40m22.5m55.3 m56.2 m从上面的结果可以看出，由于f 远大于 F，所以此时透镜一定具有一定的聚焦作用，并且不论入射光束的束腰在何处，出射光束的束腰都在透镜的焦平面上。22=10.6m0 =3mm=2cm'=20m0CO2激光器输出光的凸透镜距角， 求欲得到，用一 F及精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢2.5 m时透镜应放在什么位置。解：入射高斯光束的共焦参数f20 2

17、.67m设入射高斯光束的q 参数为 q1 ，像高斯光束的q 参数为 q2 ，根据 ABCD法则可知111q1q2F其中q1lifl和f 分别为入射高斯光束的焦斑位置和共焦参数； q2lif2l 和f 分别为像高斯光束的焦斑位置和共焦参数。 f0f20Fq1利用以上关系可得q2q1F0020m时， l1.39m ，即将透镜放在距束腰1.39m 处；2.5ml 23.87m，即将透镜放在距束腰23.87m 处 。时，23如图 2.6 光学系统，如射光=10.6 m，求"0 及 l3 。F1 2cmF2 5cm0 3mm'''00l1l 2 15cml 32cm图

18、2.2解：先求经过一个透镜的作用之后的束腰半径及位置由于 l1F1 ，所以l1F1 =2cm精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢0F22.49m0所以对第二个透镜，有l l 2l13cm24f01.499 10m已知 F20.05m ，根据111q1q2F其中 q1l ifl 和f 分别为入射高斯光束的焦斑位置和共焦参数； q2lif22l 和 f 分别为像高斯光束的焦斑位置和共焦参数。 f0f0得0 14.06m， l 3 8.12cm24某高斯光束0 =1.2mm，=10.6m。今用一望远镜将其准直。主镜用镀金反射镜R=1m，口径为 20cm；副镜为一锗透镜，F1 =2.5cm

19、，口径为1.5cm；高斯束腰与透镜相距l =1m，如图 2.7所示。求该望远系统对高斯光束的准直倍率。R1mF1 2.5cm0 1.2mml图 2.3解：入射高斯光束的共焦参数为f20 0.427m由于 F1 远远的小于 l ，所以高斯光束经过锗透镜后将聚焦于前焦面上，得到光斑的束腰半径为F10.028mm00(l F1 )2f 2精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢这样可以得到在主镜上面的光斑半径为(R)R6cm 10cm0即光斑尺寸并没有超过主镜的尺寸，不需要考虑主镜孔径的衍射效应。这个时候该望远系统对高斯光束的准直倍率为2RlM12F12 50.9025激光器的谐振腔有两个相

20、同的凹面镜组成，它出射波长为的基模高斯光束，今给定功率计，卷尺以及半径为a 的小孔光阑，试叙述测量该高斯光束公焦参数f 的实验原理及步骤。解：一、实验原理通过放在离光腰的距离为z的小孔 ( 半径为) 的基模光功率为a2 a2P(z)P0 (1e2 ( z) )(I)式中， P0 为总的光功率，P( z) 为通过小孔的光功率。记P1 P( z) ，则有2 ( z)2a2(II)P0)ln(P1P0注意到对基模高斯光束有2(z)22z, f0ff在(II)式的两端同时乘以/，则有z22 a2Pfln(0)fP0P1令2a2ln(P0)(III)AP0P1则z2Aff精品文档资料收集于网络如有侵权请

21、联系网站删除谢谢解此关于 f 的二次方程，得fA( A)2z2(IV)22因为 a 、P0、1 、 z 都可以通过实验测得，所以由(III) 及 (IV) 式就可以求得基模高斯光束P的共焦参数f 。二、实验步骤O2aBz功率计探头1如上图所示，在高斯光束的轴线上某一点B 处放入于光轴垂直的光阑( 其孔半径为a) ，用卷尺测量出 B到光腰 O(此题中即为谐振腔的中心) 的距离 z；2用激光功率计测出通过小孔光阑的光功率P1 ；3移走光阑，量出高斯光束的总功率P0 ；4将所得到的数据代入(III)及 (IV) 式即可求出f ( 根据实际情况决定(IV) 式根号前正负号的取舍 )。28.试用自变换公式的定义式 qc l clq0 （ 2.12.2），利用 q 参数来推导出自变换条件1 l 122式 F02l证明：