第4章杆件的变形和刚度

1、第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 4.1 拉压杆件的变形分析拉压杆件的变形分析第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 4.2 圆轴扭转时的变形与刚度计算圆轴扭转时的变形与刚度计算 4.3 梁的位移分析与刚度问题梁的位移分析与刚度问题 4.4 简单超静定问题简单超静定问题 4.1 拉压杆件的变形分析拉压杆件的变形分析第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 杆受轴向力作用时，沿杆轴线方向会产生伸长杆受轴向力作用时，沿杆轴线方向会产生伸长(或缩短或缩短)，称为称为纵向变形；同时，杆的横向尺寸将减小；同时，杆的横向尺寸将减小(或增大

2、或增大)，称为，称为横向变形。实验结果表明：在弹性范围内，杆的伸长量。实验结果表明：在弹性范围内，杆的伸长量l与杆所承受的轴向载荷成正比。即与杆所承受的轴向载荷成正比。即拉压杆件拉压杆件的变形分析的变形分析第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 这是描述弹性范围内杆件承这是描述弹性范围内杆件承受轴向载荷时力与变形的受轴向载荷时力与变形的虎虎克定律克定律。EAlFlN 纵向变形和纵向变形和虎克定律虎克定律其中，其中，FN 为作用在杆件上的轴力；为作用在杆件上的轴力；E 为杆材料的弹性模量（为杆材料的弹性模量（MPa)；EA 称为杆件的拉伸（或压缩）刚度；称为杆件的拉伸（或压缩）刚度； “”

3、号表示伸长变形；号表示伸长变形；“”号表示缩短变形。号表示缩短变形。 拉压杆件拉压杆件的变形分析的变形分析 纵向变形和纵向变形和虎克定律虎克定律第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 EAlFlN 当拉压杆有二个以上的外力作用时，需要先画出轴力当拉压杆有二个以上的外力作用时，需要先画出轴力图，然后按上式分段计算各段的变形，各段变形的代数和图，然后按上式分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总伸长量即为杆的总伸长量(或缩短量或缩短量)： iiiiEAlFlN拉压杆件拉压杆件的变形分析的变形分析 纵向变形和纵向变形和虎克定律虎克定律第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 当轴向内

4、力沿轴线分布不均匀时当轴向内力沿轴线分布不均匀时 ，可以研究杆件的微段伸，可以研究杆件的微段伸缩量，然后沿杆件长度积分后可得缩量，然后沿杆件长度积分后可得 lNEAdxxFl)( 对于杆件沿长度方向均匀变形的情形，其相对伸长对于杆件沿长度方向均匀变形的情形，其相对伸长量量 l/l 表示轴向变形的程度，是这种情形下杆件的正应表示轴向变形的程度，是这种情形下杆件的正应变，用变，用 x 表示。表示。 llx 相对变形和正应变相对变形和正应变 EAlFlN=拉压杆件拉压杆件的变形分析的变形分析第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 横向变形与泊松比横向变形与泊松比 杆件承受轴向载荷时，除轴向变形

5、外，还有杆件承受轴向载荷时，除轴向变形外，还有横向变形横向变形。实验结果表明，若在弹性范围内加载，轴向应变实验结果表明，若在弹性范围内加载，轴向应变 x与横向与横向应变应变 y之间存在下列关系：之间存在下列关系： xy 为材料的一个弹性常数，称为为材料的一个弹性常数，称为泊松比泊松比(Poisson ratio)。拉压杆件拉压杆件的变形分析的变形分析第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 【例例4-1】 变截面直杆，变截面直杆，ADE段为铜制，段为铜制，EBC段为钢制；段为钢制；在在A、D、B、C等等4处承受轴向载荷。已知：处承受轴向载荷。已知：ADEB段杆的段杆的横截面面积横截面面积A

6、AB10102 mm2，BC段杆的横截面面积段杆的横截面面积ABC5102 mm2；FP60 kN；铜的弹性模量；铜的弹性模量Ec100 GPa，钢的弹性模量钢的弹性模量Es210GPa；各段杆的长度如图中所示，单；各段杆的长度如图中所示，单位为位为mm。 试求：直杆的总变形量。试求：直杆的总变形量。 拉压杆件拉压杆件的变形分析的变形分析第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 【解解】 1 作轴力图作轴力图 应用截面法，可确定应用截面法，可确定AD、DE、EB、BC段杆段杆横截面上的轴力分别为：横截面上的轴力分别为：FNAD2FP120 kNFNDEFNEBFP60 kNFNBCFP60

7、 kN拉压杆件拉压杆件的变形分析的变形分析2分段分段计算总变形量计算总变形量 iiiiNEAlFlmm10657. 1m10657. 136+第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 已知已知300，杆长，杆长L2m，杆直径，杆直径d=25mm，材料的弹性模量材料的弹性模量E2.1105MPa，设在结点，设在结点A处悬挂一重处悬挂一重物物F100kN，试求结点，试求结点A的位移的位移A。， 0Fx0sinsin NABNACFF,0Fy0coscosFFFNABNAC cos2FFFNABNAC【解解】 1 求轴力求轴力 ACFB12AFNACFNAB拉压杆件拉压杆件的变形分析的变形分析【

8、例例4-2】第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 ACFB12AFNACFNABcosEA2FLLLACAB AACLABLAAAAcosLAC2cosEA2FL06265330cos1025410101 . 22210100mm3.12求变形求变形3. 求位移求位移A拉压杆件拉压杆件的变形分析的变形分析第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 DFBaL/2L/2L/2C 刚性横梁刚性横梁AB由斜杆由斜杆CD吊在水平位置上，杆吊在水平位置上，杆CD的抗拉刚度为的抗拉刚度为EA，B点处受点处受F作用，试求作用，试求B点的位移点的位移B。，0MA cos2FFNCD2CDNCDCDc

9、osEAFa2EALFLAB1CNCDF311BcosEAFa4CC2BB1CC cosCCcosLCDCDFLLF cos21拉压杆件拉压杆件的变形分析的变形分析【解解】【例例4-3】第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 1C 等直杆受自重及集中力等直杆受自重及集中力F作用。杆的长度为作用。杆的长度为l，横截面面积为横截面面积为A，材料的容重为，材料的容重为 ，弹性模量为，弹性模量为E，许用应力，许用应力为为 。试建立考虑杆的自。试建立考虑杆的自重时的强度条件，并求杆的伸长。重时的强度条件，并求杆的伸长。lFmmFxmmFN(x) Ax+F+ AlFFNmax=F+ Al强度条件为强

10、度条件为或或拉压杆件拉压杆件的变形分析的变形分析【解解】【例例4-4】lAFlFA第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 lFmmFxmmFN(x) AxFN(x)FN(x)+dFN(x)dx AdxFN(x)=F+ AxW= Al 为杆的自重为杆的自重拉压杆件拉压杆件的变形分析的变形分析dx)xAF(E1EAdx)x(FdlNEAl )2WF(E2EAFldx)xAF(E1ll2l0【解解】第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 讨论讨论若若 l=10m,钢钢 =7.644kN/m3，=170MPa 砖砖=1.764kN/m3，=1.2MPa拉压杆件拉压杆件的变形分析的变形分析第

11、第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 +l AF试计算试计算 的比值。的比值。 l %45. 0=钢l %15=砖l 通常通常 即可忽略自重对杆件强度的影响。即可忽略自重对杆件强度的影响。 %l 1第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 4.2 圆轴扭转时的变形与刚度计算圆轴扭转时的变形与刚度计算圆轴扭转时的圆轴扭转时的变形及刚度条件变形及刚度条件 受扭圆轴的相对扭转角受扭圆轴的相对扭转角 圆杆受扭矩作用时，圆杆受扭矩作用时，dx微段的两截面绕轴线相对转动微段的两截面绕轴线相对转动的角度称为相对扭转角的角度称为相对扭转角dxGIMdPx沿轴线方向积分，得到沿轴线方向积分，得到 lP

12、ldxGIMdx单位长度单位长度相对扭转角相对扭转角PxGIMdxd第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 受扭圆轴的刚度设计受扭圆轴的刚度设计 为了机械运动的稳定和工作精度，机械设计中要对受为了机械运动的稳定和工作精度，机械设计中要对受扭圆轴的变形加以限制，亦即进行扭圆轴的变形加以限制，亦即进行刚度设计刚度设计。扭转刚度设扭转刚度设计是将单位长度上的相对扭转角限制在允许的范围内，即计是将单位长度上的相对扭转角限制在允许的范围内，即必须使构件满足必须使构件满足刚度设计准则刚度设计准则或称或称刚度条件刚度条件： dxd 对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，刚度设计准对于两端承受集中扭矩的等截

13、面圆轴，刚度设计准则又可以写成：则又可以写成： PxGIM圆轴扭转时的圆轴扭转时的变形及刚度条件变形及刚度条件第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 其中其中: Mx为扭矩；为扭矩； GIp为抗扭刚度；为抗扭刚度； 为单位长度上的为单位长度上的许用相对扭转角许用相对扭转角，其数值需要根，其数值需要根据轴的工作要求而定。例如，用于精密机械的轴为据轴的工作要求而定。例如，用于精密机械的轴为 (0.250.5 )/m；一般传动轴为；一般传动轴为 (0.51.0 )/m；刚度要求；刚度要求不高的轴为不高的轴为 2 /m。 dxdPxGIM圆轴扭转时的圆轴扭转时的变形及刚度条件变形及刚度条件 受扭

14、圆轴的刚度设计受扭圆轴的刚度设计第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 需要注意的是需要注意的是，刚度设计中要注意单位的一致性。，刚度设计中要注意单位的一致性。 上式不等号左边的单位为上式不等号左边的单位为rad/m；而右边通常所用的；而右边通常所用的单位为单位为 /m。 因此，在实际设计中，若不等式两边均采用因此，在实际设计中，若不等式两边均采用rad/m，则必须在不等式右边乘以则必须在不等式右边乘以/180；若两边均采用；若两边均采用 /m，则必，则必须在左边乘以须在左边乘以180/。圆轴扭转时的圆轴扭转时的变形及刚度条件变形及刚度条件 受扭圆轴的刚度设计准则受扭圆轴的刚度设计准则

15、dxdPxGIM第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 钢制空心圆轴外径钢制空心圆轴外径D100 mm，内径，内径d50 mm。若要求轴在若要求轴在2m长度内的最大相对扭转角不超过长度内的最大相对扭转角不超过1.5 ，材料的，材料的剪切弹性模量剪切弹性模量G80.4 GPa。 求求:该轴所能承受的最大扭矩。该轴所能承受的最大扭矩。根据刚度设计准则，有根据刚度设计准则，有 PxGIM圆轴扭转时的圆轴扭转时的变形及刚度条件变形及刚度条件【例例4-5】【解解】第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 由已知条件，许用的单位长度上相对扭转角为由已知条件，许用的单位长度上相对扭转角为 mrad

16、m/18025 . 1=25 . 1=轴所能承受的最大扭矩为轴所能承受的最大扭矩为 圆轴扭转时的圆轴扭转时的变形及刚度条件变形及刚度条件【解解】第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 空心圆轴截面的极惯性矩空心圆轴截面的极惯性矩 ()DdDIP=,321=44()321/18025 . 1=44DGmradGIMpx321802)5 . 01 ()10100(104 .805 . 1=44392mkN688. 9mN10688. 93 钻探机杆外径钻探机杆外径D=60mm,内径内径d=50mm,功率功率P=7.35kW,转速转速n=180r/min，钻杆入土深度，钻杆入土深度L=40m，

17、G=80GPa，=40MPa。设土壤对钻杆的阻力沿长度均匀。设土壤对钻杆的阻力沿长度均匀分布。分布。试求：试求：(1)单位长度上土壤对钻杆的阻力矩单位长度上土壤对钻杆的阻力矩M；(2)对对钻杆进行强度校核；钻杆进行强度校核；(3)求求A、B两截面相对扭转角。两截面相对扭转角。MAlBAB)x(MxxxM圆轴扭转时的圆轴扭转时的变形及刚度条件变形及刚度条件【例例4-6】第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 dxGIlxMGIdxxMl0Pxl0PxAB2lGIMPxrad148.0圆轴扭转时的圆轴扭转时的变形及刚度条件变形及刚度条件【解解】外力矩外力矩mN390nP1055. 9M3x单

18、位长度阻力矩单位长度阻力矩mmN75. 9m40mN390LMMx校核强度校核强度 MPa7 .17WMtxmax求相对扭转角求相对扭转角xLM)x(Mxx第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 AB)x(MxxxM 4.3 梁的位移分析与刚度问题梁的位移分析与刚度问题第第4章杆件的变形和刚度章杆件的变形和刚度 梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 在平面弯曲的情形下，梁的轴线将弯曲成平面曲线。在平面弯曲的情形下，梁的轴线将弯曲成平面曲线。如果变形太大，也会影响构件正常工作。因此，对机器中如果变形太大，也会影响构件正常工作。因此，对机器中的零件或部件以及土木工程中的结构构件设计时

19、，除了满的零件或部件以及土木工程中的结构构件设计时，除了满足足强度要求强度要求外，还必须满足一定的外，还必须满足一定的刚度要求刚度要求，即将其变形，即将其变形限制在一定的范围内。为此，必须分析和计算梁的变形。限制在一定的范围内。为此，必须分析和计算梁的变形。 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 梁的位移分析与刚度问题梁的位移分析与刚度问题 另一方面，求解超静定梁，也必须考虑梁的变形以另一方面，求解超静定梁，也必须考虑梁的变形以建立补充方程。建立补充方程。 此外，本章变形的有关概念也是学习许多后继课程如此外，本章变形的有关概念也是学习许多后继课程如结构力学、结构动力学、土力学等的基础。

20、结构力学、结构动力学、土力学等的基础。 梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 梁的刚度问题梁的刚度问题 梁的挠度曲线微分方程及其积分梁的挠度曲线微分方程及其积分 梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 积分法求梁的变形积分法求梁的变形 平面弯曲时，梁上的平面弯曲时，梁上的任意两横截面绕中性轴相任意两横截面绕中性轴相互转过一角度，从而使梁互转过一角度，从而使梁的轴线弯曲成平面曲线，的轴线弯曲成平面曲线，这一曲线称为梁的这一曲线称为梁的挠曲挠曲线线（deflection curve）。）。挠曲线是

21、挠曲线是梁变形后各截面梁变形后各截面形心的连线。形心的连线。梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移 梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改变称为置的改变称为位移位移，梁的位移包括三部分：，梁的位移包括三部分：铅垂位移，称为铅垂位移，称为挠度挠度，用用 表示，规定表示，规定向下为正向下为正；变形前后横截面转过的变形前后横截面转过的角度，称为角度，称为转角转角，用，用 表表示，示，规定规定顺时针转为正顺时针转为正；轴向位移或水平位移通轴向位移或水平位

22、移通常忽略不计。常忽略不计。梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移 f(x)，称为，称为挠度方程挠度方程。 梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 在在Oxy坐标系中，挠度与转角存在下列关系：坐标系中，挠度与转角存在下列关系： tandxd 在小变形条件下，在小变形条件下， 很很小，有小，有tan。于是。于是dxd 挠度与转角的相互关系挠度与转角的相互关系 梁的挠曲线微分方程梁的挠曲线微分方程梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件

23、的变形和刚度杆件的变形和刚度 根据上一章所得根据上一章所得到的结果，弹性范围到的结果，弹性范围内的挠度曲线在一点内的挠度曲线在一点的曲率与这一点处横的曲率与这一点处横截面上的弯矩、弯曲截面上的弯矩、弯曲刚度之间存在下列关刚度之间存在下列关系：系： EIM1梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 梁的曲率与位移梁的曲率与位移 力学中的力学中的曲率公式曲率公式EIM1数学中的数学中的曲率公式曲率公式23222xdd1xdd1 弹性曲线的弹性曲线的小挠度小挠度微分方程微分方程，式中的正负，式中的正负号与号与y坐标取向有关。坐标取向有关。EIMxdd

24、22小挠度情形下小挠度情形下0 xdd梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 EI)x(Mxdd22axdyd220M,0 xdyd220a ,0 xdyd22MMxOyOxy梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 对于等截面梁，写出弯矩方程对于等截面梁，写出弯矩方程M(x)，代入上式后，分，代入上式后，分别对别对x作不定积分，得到包含积分常数的挠度与转角方程：作不定积分，得到包含积分常数的挠度与转角方程： 其中其中C、D为为积分常数。积分常数。 梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题

25、 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 EIMxdd22lCdxEI)x(MxddDxCdxdxEI)x(Ml 积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束条件是指约束对于挠度和转角的限制：条件是指约束对于挠度和转角的限制： 在固定铰支座和辊轴支座处，在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件约束条件为挠度等于为挠度等于零，零， =0；在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：；在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零： =0，0。 连续条件连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线，因此

26、，在集中力、集中力偶以及曲成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等： 1= 2，12等等。等等。 小挠度微分方程的积分与积分常数的确定小挠度微分方程的积分与积分常数的确定 梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 左端固定右端自左端固定右端自由的悬臂梁承受均布载荷。由的悬臂梁承受均布载荷。均布载荷集度为均布载荷集度为q ，梁的弯，梁的弯曲刚度为曲刚度为EI 、长度为、长度为l。q、EI 、l均已知。均已知。求：求：梁的挠度梁的挠度与转角方程，以及最大挠度与

27、转角方程，以及最大挠度和最大转角。和最大转角。 1建立建立Oxy坐标系坐标系Oxy2建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程21( )02M xq lxxl M(x)FQ(x)梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 【例例4-7】【解解】3 建立微分方程并积分建立微分方程并积分 将上述弯矩方程代入将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得小挠度微分方程，得 2)xl(q21M EI4. 利用约束条件确定积分常数利用约束条件确定积分常数梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 Oxy积分后，得到积分后，得到

28、C)xl(q61EIEI3DCx)xl(q241EI4固定端处的约束条件为：固定端处的约束条件为： 00,0 x；24qlD ,6qlC43解得：解得：6 确定最大挠度与最大转角确定最大挠度与最大转角 从挠度曲线可以看出，悬臂梁在自由端处，挠度和转角从挠度曲线可以看出，悬臂梁在自由端处，挠度和转角均最大值。于是，将均最大值。于是，将 x = l，分别代入挠度方程与转角方程，分别代入挠度方程与转角方程，得到：得到： 梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 5 确定挠度与转角方程确定挠度与转角方程336qlxlEI 434424qwlxl xlE

29、I3max6BqlEI4m ax8BqlwwEIBymax已知简支梁中已知简支梁中FP、EI、l。求：求：加力点加力点B的的挠度和支承挠度和支承A、C处转角。处转角。1 确定梁约束力确定梁约束力 2 分段建立梁的弯矩方程分段建立梁的弯矩方程梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 【例例4-8】【解解】y BAB段段 BC段段 ）（4lx0 xF43)x(MP1）（lx4l)4lx(FxF43)x(MPP23 将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分 其中，积分常数其中，积分常数C1、D1、C2、D2由约

30、束条件和连续条件确定。由约束条件和连续条件确定。 梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 ）（4lx0 xF43)x(MdxdEIP1212）（lx4l)4lx(FxF43)x(MdxdEIPP2222积分后，得积分后，得 12P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI113P181DxCxFEIwEI1223P3P246181DxClxFxFEIwEI24 利用约束条件和连续利用约束条件和连续条件确定积分常数条件确定积分常数 约束条件：约束条件：x0， 10 xl， 20 连续条件：连续条件：xl/4，12xl/4，1=22P

31、211287lFCCD1D2 =0梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 y B5. 确定转角方程和挠度方程以及指定横截面的挠度与转角确定转角方程和挠度方程以及指定横截面的挠度与转角 梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 BC段段 222P317824128FlxxxlEI xllxxEIFxw233P128746181 22P378128FxxlEIAB段段 xlxEIFxw23P128781y B于是于是2P7128AF lEI2P5128BF lEI EIlFwB3P2563B 确定

32、约束力确定约束力, ,判断是否需要分段以及分几段判断是否需要分段以及分几段 分段建立挠度微分方程分段建立挠度微分方程 微分方程的积分微分方程的积分 利用约束条件和连续条件确定积分常数利用约束条件和连续条件确定积分常数 确定确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角 积积 分分 法法 小小 结结 分段写出弯矩方程分段写出弯矩方程梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度

33、在很多的工程计算手册中，已将各种支承条件在很多的工程计算手册中，已将各种支承条件下的静定梁，在各种典型载荷作用下的挠度和转角下的静定梁，在各种典型载荷作用下的挠度和转角表达式一一列出，简称为表达式一一列出，简称为挠度表挠度表。基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线和位基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线和位移是杆件变形累加的结果这两个重要概念，以及在移是杆件变形累加的结果这两个重要概念，以及在小变形条件下的力的独立作用原理，采用小变形条件下的力的独立作用原理，采用叠加法叠加法(superposition method)由现有的挠度表可以得到在由现有的挠度表可以得到在很多复杂情形下梁的位移。很多复

34、杂情形下梁的位移。 叠叠 加加 法法 求求 梁梁 的的 位位 移移梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 简支梁受力如图示，简支梁受力如图示，q、l、EI 均为已知。均为已知。求：求：C截面的截面的挠度挠度 C ，B截面的转角截面的转角 B。1. .将梁上载荷变为将梁上载荷变为3种种简单情形。简单情形。梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 【例例4-9】【解解】 c1yy c3y c22. .由挠度表查得由挠度表查得3种情形下种情形下C截截面的挠度面的挠度；B截面的转角截面的转角。,EIq

35、lEIqlEIqlBBB333231311612413. 应用叠加法，将简单载荷作应用叠加法，将简单载荷作用时的结果分别叠加用时的结果分别叠加 EIqliBiB3314811梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 EIqlwEIqlwEIqlwCCC4342411614813845,C1C2C3,EIqlwwiCiC43138411CiC c1yy c3y c2Cy 悬臂梁受力悬臂梁受力如图示，如图示，q、l、EI均为已均为已知。知。求求：C截面的挠度和截面的挠度和转角转角 C 和和 C 。 1. . 首先，将梁上首先，将梁上载荷变成有表可查

36、的情形载荷变成有表可查的情形 2再将处理后的梁分解再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起挠计算各个简单载荷引起挠度和转角。度和转角。 梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 【例例4-10】【解解】 C1yqy C2B2q3计算各个简单载荷引起挠度和转角并叠加计算各个简单载荷引起挠度和转角并叠加EIqlEIqlCC323148161,EIqliCiC321487梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 414322218112128482,CCBBq

37、lwEIlqlqllwwEIEI C1 C2 B2,EIqlwwiCiC42138441 C CiC1yy C2B2l2lABCq 试试 用 叠用 叠加法，求图示抗弯刚加法，求图示抗弯刚度为度为 EI 的简支梁跨的简支梁跨中点的挠度中点的挠度 C和两端和两端截面的转角截面的转角 A, B 。 可视为正对称荷可视为正对称荷载与反对称荷载两种载与反对称荷载两种情况的叠加。情况的叠加。梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 【例例4-11】【解解】 AB2qCAB2q2q反对称荷载作用下，可反对称荷载作用下，可将将AC段和段和BC段视为受均布段视为

38、受均布线荷载作用且长度为线荷载作用且长度为 l /2 的的简支梁，因此简支梁，因此正对称荷载作用下，有正对称荷载作用下，有EI768ql5EI384l )2q(5441C梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 EIqlEIlqBA38424)2)(2(33221C1A1B2A2B02CEI48qlEI24l )2q(331B1A 将相应的位移进行叠加将相应的位移进行叠加梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 EI768ql542C1CCEI128ql3 EI384qlEI48ql 3332A

39、1AAEI384ql7 EI384qlEI48ql 3332B1BB1C1A1B2A2B02C试用叠加法求图示梁试用叠加法求图示梁C截面的挠度。截面的挠度。2lAqC2lEI2l2qBD2Bql161M 2q2lAC2lBBM2q2lAC2lB2q梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 【例例4-12】【解解】 EI384qlEI16l16qLEI384l2q54224Cql41F 2lAqCEI2lFBBM 梁的刚度问题梁的刚度问题 梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 对于主要承对于主

40、要承受弯曲的梁和轴，受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大挠度和转角过大会影响构件或零会影响构件或零件的正常工作。件的正常工作。梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮的啮合，或增加齿例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过大会影响加工精轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过大会增加轴承度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过大会增加轴承的磨损等等。的磨损等等。 梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和

41、刚度杆件的变形和刚度 在另一些情况在另一些情况下，人们利用弯曲下，人们利用弯曲变形来达到工程中变形来达到工程中的许多目的。例如的许多目的。例如在车辆设计中，为在车辆设计中，为了缓冲振动，就要了缓冲振动，就要求弹簧系统在工作求弹簧系统在工作中能发生设计所要中能发生设计所要求的弯曲变形。求的弯曲变形。 对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角( (或者或者指定截面处的挠度和转角指定截面处的挠度和转角) )限制在一定范围内，即满足弯限制在一定范围内，即满足弯曲曲

42、刚度条件刚度条件： 上述二式中上述二式中 和和 分别称为许用挠度和许用转角，均根分别称为许用挠度和许用转角，均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。 梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 maxmax 钢制圆轴，受力钢制圆轴，受力FP，FP20kN，alm，l2m，E=206GPa，其他尺寸如图示。规定轴承，其他尺寸如图示。规定轴承B处的许用转处的许用转角角 =0.5。试：试：根据刚度要求确定该轴的直径根据刚度要求确定该轴的直径d。 1查表确定查表确定B处的转角处的转角EIlaFB3P梁的位移分梁的位

43、移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 【例例4-13】【解解】 BB2根据刚度设计准则根据刚度设计准则确定轴的直径确定轴的直径 B其中，其中， 的单位为的单位为rad(弧度弧度)，而，而的单位为的单位为(度度)，考，考虑到单位的一致性，将有关数据代入，求得轴的直径虑到单位的一致性，将有关数据代入，求得轴的直径 111mmm10111m100.52063101802120643-493d梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 悬臂梁承受荷载如图。荷载集度悬臂梁承受荷载如图。荷载集度q=15kN/m，梁的长度

44、梁的长度L=2a=2m，材料的弹性模量，材料的弹性模量E=210GPa，许用正，许用正应力应力=160MPa，梁的许可挠度，梁的许可挠度 /L=1/500。试选择工。试选择工字钢的型号。字钢的型号。aL2BACaL2q1. 按强度选择按强度选择查表：选查表：选1616号工字钢号工字钢梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 【例例4-14】【解解】 32max6 .14023cmqaMW34141,1130cmWcmIzzaL 2BACaL 2q2. 按刚度选择按刚度选择aL 2BACaL 2qqBACq梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度

45、问题 Z4Z41BEIqa2EI8a2qZ4C2BEI8qaZ4Z3C3BEI6qaaEI6qaa3B2B1BmaxZEIqa24414aL 2BACaL 2qaL 2BACaL 2qqBACq查表：选22a号工字钢梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 2. 按刚度选择按刚度选择Z4maxEI24qa415001LEI48qa41LZ3max4330502425041cmEqaIZ34309,3400cmWcmIzz 提高梁的刚度主要是指提高梁的刚度主要是指减小梁的弹性位移减小梁的弹性位移。而弹性位。而弹性位移不仅与载荷有关，而且与杆长和梁

46、的弯曲刚度移不仅与载荷有关，而且与杆长和梁的弯曲刚度(EI)有关。有关。 对于梁，其长度对弹性位移影响较大，例如对于集中对于梁，其长度对弹性位移影响较大，例如对于集中力作用的情形，挠度与梁长的三次方量级成比例；转角则力作用的情形，挠度与梁长的三次方量级成比例；转角则与梁长的二次方量级成比例。与梁长的二次方量级成比例。 因此，减小弹性位移除了采用合理的截面形状以增加惯性矩 I 外，主要是减小梁的长度 l ，当梁的长度无法减小时，则可增加中间支座。梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 因此，减小弹性位移因此，减小弹性位移除了采用合理的截面形状除

47、了采用合理的截面形状以增加惯性矩以增加惯性矩I外，主要是外，主要是减小梁的长度减小梁的长度l，当梁的长，当梁的长度无法减小时，则可增加度无法减小时，则可增加中间支座。中间支座。 例如在车床上加工较长的工件时，为了减小切削力例如在车床上加工较长的工件时，为了减小切削力引起的挠度，以提高加工精度，可在卡盘与尾架之间再引起的挠度，以提高加工精度，可在卡盘与尾架之间再增加一个中间支架。增加一个中间支架。梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 此外，选用弹性此外，选用弹性模量模量 E 较高的材料也较高的材料也能提高梁的刚度。但能提高梁的刚度。但是，对于

48、各种钢材，是，对于各种钢材，弹性模量的数值相差弹性模量的数值相差甚微，因而与一般钢甚微，因而与一般钢材相比，选用高强度材相比，选用高强度钢材并不能提高梁的钢材并不能提高梁的刚度。刚度。梁的位移分梁的位移分析与刚度问题析与刚度问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 4.4 简单超静定问题简单超静定问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 静定与超静定问题静定与超静定问题 未知力个数等于独立的平衡方程未知力个数等于独立的平衡方程数目，则仅由静力学平衡方程即可解数目，则仅由静力学平衡方程即可解出全部未知力，这类问题称为出全部未知力，这类问题称为静定问静定问题题，相应的结构称为，

49、相应的结构称为静定结构静定结构。 未知力个数多于独立的平衡方程未知力个数多于独立的平衡方程数目，则仅由平衡方程无法确定全部数目，则仅由平衡方程无法确定全部未知力，这类问题称为未知力，这类问题称为超静定问题超静定问题或或静不定问题静不定问题，相应的结构称为，相应的结构称为超静定超静定结构结构或或静不定结构静不定结构。CFABD123CFAB12 简单超静定问题简单超静定问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 lBAqlBAq 简单超静定问题简单超静定问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 静定与超静定问题静定与超静定问题lBAq2LBA2LqC2LBA2LqC 未知力个数

50、与独立的平衡方程数之差，称为未知力个数与独立的平衡方程数之差，称为超静定超静定次数次数或或静不定次数静不定次数。在静定结构上附加的约束称为。在静定结构上附加的约束称为多余多余约束约束，这种，这种“多余多余”只是对保证结构的平衡与几何不变只是对保证结构的平衡与几何不变性而言的，对于提高结构的强度、刚度则是需要的。性而言的，对于提高结构的强度、刚度则是需要的。 多余约束使结构由静定变为多余约束使结构由静定变为超静定超静定，问题由静力平，问题由静力平衡可解变为静力平衡不可解，这只是问题的一方面。问衡可解变为静力平衡不可解，这只是问题的一方面。问题的另一方面是，多余约束对结构或构件的变形起着一题的另一

51、方面是，多余约束对结构或构件的变形起着一定的限制作用，而结构或构件的变形又是与受力密切相定的限制作用，而结构或构件的变形又是与受力密切相关的，这就为求解关的，这就为求解超静定超静定问题提供了补充条件。问题提供了补充条件。 简单超静定问题简单超静定问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 静定与超静定问题静定与超静定问题 求解静不定问题，除了根据静力平衡条件列出平衡求解静不定问题，除了根据静力平衡条件列出平衡方程外，还必须在多余约束处寻找各构件变形之间的关方程外，还必须在多余约束处寻找各构件变形之间的关系，或者构件各部分变形之间的关系，这种变形之间的系，或者构件各部分变形之间的关系，这

52、种变形之间的关系称为关系称为变形协调关系变形协调关系或或变形协调条件变形协调条件. . 进而根据弹性范围内的力和变形之间关系，即物理进而根据弹性范围内的力和变形之间关系，即物理条件，建立补充方程。条件，建立补充方程。 总之，求解总之，求解超静定超静定问题需要综合考察问题需要综合考察平衡平衡、变形变形和和物理物理三方面，这是分析三方面，这是分析超静定超静定问题的基本方法。现举例问题的基本方法。现举例说明求解静不定问题的一般过程以及静不定结构的特性。说明求解静不定问题的一般过程以及静不定结构的特性。 简单超静定问题简单超静定问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 静定与超静定问题静定与

53、超静定问题 两端固定的等截面直杆，杆件沿轴线方向承受一两端固定的等截面直杆，杆件沿轴线方向承受一对大小相等、方向相反的集中力，假设杆件的拉伸与对大小相等、方向相反的集中力，假设杆件的拉伸与约束刚度为约束刚度为EA，其中，其中E为材料的弹性模量，为材料的弹性模量，A为杆件为杆件的横截面面积。要求各段杆横截面上的轴力，并画出的横截面面积。要求各段杆横截面上的轴力，并画出轴力图。轴力图。 ACDB【例【例4-15 】 简单超静定问题简单超静定问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 首先，分析约束力，判断静不定次数。在轴向载荷首先，分析约束力，判断静不定次数。在轴向载荷的作用下，固定端的作

54、用下，固定端A、B二处各有一个沿杆件轴线方向的二处各有一个沿杆件轴线方向的约束力约束力FA 和和FB，独立的平衡方程只有一个，独立的平衡方程只有一个 0 xF0BPPAFFFF 因此，静不定次数因此，静不定次数n211次。所以除了平衡次。所以除了平衡方程外还需要一个补充方程。方程外还需要一个补充方程。 ACDBFBFA 简单超静定问题简单超静定问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 【例【例4-15 】 其次，为了建立补充方程，需要先建立变形协调其次，为了建立补充方程，需要先建立变形协调方程。杆件在载荷与约束力作用下，方程。杆件在载荷与约束力作用下，AC、CD、DB等等3段都要发生

55、轴向变形，但是，由于两端都是固定端，段都要发生轴向变形，但是，由于两端都是固定端，杆件的总的轴向变形量必须等于零：杆件的总的轴向变形量必须等于零： 0DBCDACABllll这就是变形协调条件。这就是变形协调条件。 ACDBFBFA 简单超静定问题简单超静定问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 【例【例4-15 】根据虎克定律，杆件各段的轴力与变形的关系：根据虎克定律，杆件各段的轴力与变形的关系： EAlFlEAlFlEAlFlCBACCDACACACNNN,此即此即物理方程物理方程。 应用截面法，上式中的轴力分别为应用截面法，上式中的轴力分别为ACDBFBFA FNACFA(压

56、) ，FNCDFPFA (拉)，FNDBFB(压) 简单超静定问题简单超静定问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 【例【例4-15 】最后将最后将上述各上述各式联立，即可解出两固定端的约束力：式联立，即可解出两固定端的约束力： EAlFlEAlFlEAlFlCBACCDACACACNNN,0DBCDACABllll0PPBAFFFFFNACFA (压) ，FNCDFPFA (拉) ，FNDBFB(压) ACDBFBFA 简单超静定问题简单超静定问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 【例【例4-15】+ 将将上述各上述各式联立，即可解出式联立，即可解出A、B处约束力。

57、处约束力。据此据此即可求得直杆各段轴力，画出直杆的轴力图。即可求得直杆各段轴力，画出直杆的轴力图。 3PFFFBAACDBFBFA 简单超静定问题简单超静定问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 【例【例4-15 】 设设 1、2、3 三杆用绞三杆用绞链连结，链连结，l1 = l2 = l， A1 = A2 = A，E1 = E2 = E，3 杆的横截面积杆的横截面积 A ，弹性，弹性模量模量 E。试求在沿铅垂方向的外力试求在沿铅垂方向的外力F作用下各杆轴力。作用下各杆轴力。CABDF 123xyF AF1F3F2【解】【解】由平衡由平衡方程得方程得0sinsin, 021FF F

58、x0coscos, 0321FFFF Fy【例【例4-16 】 简单超静定问题简单超静定问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 CABD 123 这是一次超静这是一次超静定问题。由于结构定问题。由于结构在几何物性及受力在几何物性及受力方面都是对称。所方面都是对称。所以变形后以变形后A点将沿点将沿铅垂方向下移，变铅垂方向下移，变形后三杆仍铰结在形后三杆仍铰结在一起。一起。物理方面，由虎克定律得物理方面，由虎克定律得cos31llcos,3311AElFl EAlFl变形几何方程为变形几何方程为Al1 1 A123 l3 3A 简单超静定问题简单超静定问题 第第4章章 杆件的变形和刚度

59、杆件的变形和刚度 CABD 123Al3 3l1 1 A123 ACABDF 123补充方程为补充方程为231cosAEEAFF cos,3311AElFl EAlFlcos31ll 简单超静定问题简单超静定问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 0sinsin, 021FF Fx0coscos, 0321FFFF Fy231cos AEEAFF 解得解得22133coscos2,cos21EAAEFFF AEEAFF 简单超静定问题简单超静定问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 由平衡由平衡方程和补充方程联立方程和补充方程联立 图示铰接结构，在水平刚性横梁的图示铰接

60、结构，在水平刚性横梁的B端作用端作用有载荷有载荷F，垂直杆，垂直杆1、2的抗拉压刚度分别为的抗拉压刚度分别为E1A1，E2A2，若横梁若横梁AB的自重不计，求两杆中的内力。的自重不计，求两杆中的内力。aABL12CaFaABCaF【例【例4-17】 简单超静定问题简单超静定问题 第第4章章 杆件的变形和刚度杆件的变形和刚度 【解】【解】1NF2NF1l2l, 0AM02221aFaFaFNN212LL2221112AELFAELFNN221121122144,412AEAEFFAEAEFFNN 木制短柱四角用四个木制短柱四角用四个40 40 4的等边角钢加固，的等边角钢加固，角钢和木材许用应力