机械振动基础单自由度系统2

1、1.8 等效线黏性阻尼等效线黏性阻尼一般系统的阻尼可能来自多方面，各种阻尼一般系统的阻尼可能来自多方面，各种阻尼的性质也不同；的性质也不同；前面所讨论的阻尼情况都是考虑在线性黏性前面所讨论的阻尼情况都是考虑在线性黏性阻尼情况；而对于其它阻尼，可能使振动系阻尼情况；而对于其它阻尼，可能使振动系统为非线性。如果一个系统有几种阻尼同时统为非线性。如果一个系统有几种阻尼同时发生，计算就更为复杂。发生，计算就更为复杂。当系统存在非黏性阻尼时，通常用一个等效当系统存在非黏性阻尼时，通常用一个等效黏性阻尼系数进行近似计算。黏性阻尼系数进行近似计算。等效的原则是根据在一个振动周期内二者消等效的原则是根据在一个

2、振动周期内二者消耗的能量相等，从而确定等效黏性系数。耗的能量相等，从而确定等效黏性系数。1.8 等效线黏性阻尼等效线黏性阻尼1.阻尼的等效：阻尼的等效：设设 非黏性阻尼力在一个振动周期内所做的非黏性阻尼力在一个振动周期内所做的功，同时，以等效黏性阻尼替代后，系统仍功，同时，以等效黏性阻尼替代后，系统仍然做简谐振动，然做简谐振动， 等效黏性阻尼力在一个周期内所做的功为：等效黏性阻尼力在一个周期内所做的功为：使使 ，得，等效黏性阻尼系数为：，得，等效黏性阻尼系数为：WcadacdtuucduFWTTde2020220coseWW 2aWce式中：式中： 分别为系统振动的振幅和振动频率分别为系统振动

3、的振幅和振动频率。 , a（1.8.3）（1.8.2） tatusin（1.8.1）1.8 等效线黏性阻尼等效线黏性阻尼2. 几种阻尼的等效实例几种阻尼的等效实例 低粘度流体阻尼低粘度流体阻尼 Coulomb干摩擦阻尼干摩擦阻尼 结构阻尼情况结构阻尼情况1.8 等效线黏性阻尼等效线黏性阻尼 低粘度流体阻尼低粘度流体阻尼当物体以较大的速度在粘度较小的流体中运动时当物体以较大的速度在粘度较小的流体中运动时, 阻力与速度的方向相反阻力与速度的方向相反,大小与速度的平方成正比大小与速度的平方成正比,即即: 是低粘度系数是低粘度系数-常数。常数。 假定系统的振动是稳态简谐振动，假定系统的振动是稳态简谐振

4、动， 那么，在一个周期内，流体阻力所做的功为：那么，在一个周期内，流体阻力所做的功为： tufd2tausin 322032032202322033cos4034038sin31sin4sinsin14cos444aadatdtadttudufWtauTTd（1.8.4）（1.8.5）1.8 等效线黏性阻尼等效线黏性阻尼 因此，由式（因此，由式（1.8.3）有）有 流体等效黏性阻尼系数与系统的振幅和频率成正比。流体等效黏性阻尼系数与系统的振幅和频率成正比。 上面讨论的两种等效阻尼的情况都是假定系统振动是上面讨论的两种等效阻尼的情况都是假定系统振动是稳态简谐振动。稳态简谐振动。 事实上，这种假设

5、是对应阻尼比较小，不致于过分影事实上，这种假设是对应阻尼比较小，不致于过分影响强迫简谐函数振动的波形才可应用。响强迫简谐函数振动的波形才可应用。 如果系统的阻尼比较大，或振动不是稳态简谐振动情如果系统的阻尼比较大，或振动不是稳态简谐振动情况，系统的等效阻尼系数就不可以用前面的结果来计况，系统的等效阻尼系数就不可以用前面的结果来计算。算。2aWce，将w代入得：aaace3838232（1.8.6）1.8 等效线黏性阻尼等效线黏性阻尼干摩擦阻尼情况干摩擦阻尼情况当物体沿两个干燥表面接触并产生相对运动时当物体沿两个干燥表面接触并产生相对运动时,接触接触面之间产生干摩擦力面之间产生干摩擦力, 式中式

6、中 是摩擦系数是摩擦系数,N是接触面正压力是接触面正压力.干摩擦力是一个常力，但是方向始终与运动反向。干摩擦力是一个常力，但是方向始终与运动反向。当质量从平衡位置移到最大偏离位置时，即在第一当质量从平衡位置移到最大偏离位置时，即在第一个个T/4周期内，干摩擦力所做的功为周期内，干摩擦力所做的功为 ；从最大偏离位置返回到平衡位置，运动反向，同时从最大偏离位置返回到平衡位置，运动反向，同时摩擦力也反向，因而，在第二个摩擦力也反向，因而，在第二个T/4周期内，干摩擦周期内，干摩擦力所做的功也是力所做的功也是 。Nfdafdafd（1.8.7）1.8 等效线黏性阻尼等效线黏性阻尼 以后每以后每T/4周

7、期内都如此，因此在整个周期内干摩周期内都如此，因此在整个周期内干摩擦力所做的功为：擦力所做的功为： 因此因此, 干摩擦的等效粘性阻尼系数为：干摩擦的等效粘性阻尼系数为：NaafWd44aNaNace442（1.8.9） 可见，干摩擦力的等效黏性阻尼系数不仅与摩擦力可见，干摩擦力的等效黏性阻尼系数不仅与摩擦力的大小成正比，还与系统的振幅和频率成反比的大小成正比，还与系统的振幅和频率成反比。（1.8.8）1.8 等效线黏性阻尼等效线黏性阻尼 结构阻尼情况结构阻尼情况由于材料本身内摩擦造成的阻尼由于材料本身内摩擦造成的阻尼材料阻尼材料阻尼（结构阻尼）。（结构阻尼）。材料力学实验表明：材料力学实验表明

8、：对实际的材料加载后，即使在低应力水平下，卸载对实际的材料加载后，即使在低应力水平下，卸载时，应力应变关系曲线也不按照加载曲线回复到原时，应力应变关系曲线也不按照加载曲线回复到原点。点。一个循环过程中，应力一个循环过程中，应力 应变曲线会形成一个滞应变曲线会形成一个滞 后回线。后回线。1.8 等效线黏性阻尼等效线黏性阻尼 滞后回线所包围的面积滞后回线所包围的面积= 材料在一个循环中所消耗的材料在一个循环中所消耗的能量。这部分能量将变成热能耗散掉，结构阻尼由此能量。这部分能量将变成热能耗散掉，结构阻尼由此产生。产生。 实验表明，结构阻尼一个周期内所消耗的能量与系统实验表明，结构阻尼一个周期内所消

9、耗的能量与系统的振幅的平方成正比，而且在很大一个频率范围内与的振幅的平方成正比，而且在很大一个频率范围内与频率无关。故频率无关。故2aW是一常数是一常数, 称为迟滞阻尼系数。称为迟滞阻尼系数。222aaaWce（1.8.10）（1.8.11）于是，材料的等效黏性阻尼系数为于是，材料的等效黏性阻尼系数为：1.9 周期激励下的振动分析周期激励下的振动分析中心思想：利用傅里叶级数方法，将周期激振中心思想：利用傅里叶级数方法，将周期激振力函数展开为一系列具有倍频的简谐激振力函数展开为一系列具有倍频的简谐激振力函数组成然后利用简谐激振力下振动力函数组成然后利用简谐激振力下振动解形式，求出对应一系列简谐激

10、振力的响解形式，求出对应一系列简谐激振力的响应，再利用叠加原理，这些简谐激振力的应，再利用叠加原理，这些简谐激振力的响应的和就是周期激振力下的解响应的和就是周期激振力下的解1. 周期函数的傅里叶级数展开周期函数的傅里叶级数展开2. 周期激励下的受迫振动周期激励下的受迫振动1.9 周期激励下的振动分析周期激励：周期激励： 在某些情况下，激振力是周期的，但不是简谐的。在某些情况下，激振力是周期的，但不是简谐的。 例如：如图所示活塞式发动机中的曲柄连杆机构。假例如：如图所示活塞式发动机中的曲柄连杆机构。假定曲柄定曲柄以角速度绕定轴匀速转动，通过连以角速度绕定轴匀速转动，通过连杆杆使活塞沿直线平动。使

11、活塞沿直线平动。 在图示坐标系下，活塞的运动方程为在图示坐标系下，活塞的运动方程为：coscosltrxxBAlrt因为，trlsinsin所以：tlrtlrtlr4442222222sin8sin21sin1sin1cos1.9 周期激励下的振动分析连杆通常比曲柄长度大好几倍，因而可只取前两项近似，连杆通常比曲柄长度大好几倍，因而可只取前两项近似，于是有：于是有：代入活塞的位移表达式，得：代入活塞的位移表达式，得：活塞的速度和加速度分别为：活塞的速度和加速度分别为： 活塞的运动由频率分别为和两个简谐运动所组成，活塞的运动由频率分别为和两个简谐运动所组成，是周期运动，其周期为，但不是简谐运动。

12、是周期运动，其周期为，但不是简谐运动。 因此，活塞作用于发动机支座的力可能由此导致的支座因此，活塞作用于发动机支座的力可能由此导致的支座的运动，就不是简谐激励力。的运动，就不是简谐激励力。tlrlrtlrtlr2cos44122cos121sin21cos222222222 tlrtrlrlx2cos4cos422tlrtrxtlrtrx2coscos,2sin2sin2 2T21.9 周期激励下的振动分析1.傅里叶级数傅里叶级数假设激励为周期函数，可表示为：假设激励为周期函数，可表示为：式中式中 为其最小正周期为其最小正周期,它是函数重复一次所需它是函数重复一次所需最短时间。最短时间。任何频

13、率为任何频率为 的简谐函数都是周期为的简谐函数都是周期为 周期函数；但反之不一定。周期函数；但反之不一定。常见的周期函数一般都满足有界及连续（或常见的周期函数一般都满足有界及连续（或在一个周期内存在有限个间断点或极值点）在一个周期内存在有限个间断点或极值点）狄里赫利条件。因此可展开成狄里赫利条件。因此可展开成傅里叶级数傅里叶级数。)()(0tuTtu2T(1.9.1)0T1.9 周期激励下的振动分析即：即：基频及基频分量基频及基频分量：式中：式中 是基本频率，称是基本频率，称为为基频基频；对应于基频的简谐分量称为基频分量；对应于基频的简谐分量称为基频分量；高频分量高频分量：对应于基频整数倍频率

14、的简谐分量成：对应于基频整数倍频率的简谐分量成为高频分量，简称谐波；为高频分量，简称谐波；傅里叶系数傅里叶系数：傅里叶级数中各个简谐分量的系数：傅里叶级数中各个简谐分量的系数 称为傅里叶系数。它们可利用三角称为傅里叶系数。它们可利用三角函数正交性求得。函数正交性求得。0010002,sincos2)(Ttnbtnaatunnn002T(1.9.2), 2 , 1,0nbaann1.9 周期激励下的振动分析即：即： 同理，对展开式分别两边同乘同理，对展开式分别两边同乘 ， 然然后在一个周期内积分，从而分别求得后在一个周期内积分，从而分别求得 如如下：下： 注意：积分限也可取注意：积分限也可取0

15、T。dttuTaT0000)(2tn0costn0sinnnba , 2 , 1,sin)(2, 2 , 1,cos)(200000000ntdtntuTbntdtntuTaTnTn(1.9.3b)(1.9.3.c)(1.9.3a)2sincos121)(101000000000000adttnbtnaTdtaTdttuTnTnnTT1.9 周期激励下的振动分析 傅里叶级数幅值相位形式傅里叶级数幅值相位形式：根据同频率简谐振动合成公：根据同频率简谐振动合成公式式,把正弦项和余弦项合并，周期函数可改写为：把正弦项和余弦项合并，周期函数可改写为：式中：式中： 为周期函数的平均值为周期函数的平均值(

16、反映了振动的静态部分反映了振动的静态部分)， 第第n次谐波分量的幅值和相位角次谐波分量的幅值和相位角 记：记： ，则幅值和初相位成为频率，则幅值和初相位成为频率 的函数。的函数。100sin)(nnntnAAtunnnnnnTbabaAdttuTaAarctan,)(122200000(1.9.4)(1.9.5)(1.9.6)0AnnA, 2 , 1 , 0,0nn 幅值频谱：谐波分量的幅值与其频率的关系图谐波分量的幅值与其频率的关系图以幅值为纵坐标，以频率以幅值为纵坐标，以频率 为横坐标画出的图为横坐标画出的图线线 相位频谱相位频谱: 谐波分量的初相位与其频率的关系图谐波分量的初相位与其频率

17、的关系图以相位为纵坐标，以频率以相位为纵坐标，以频率 为横坐标画出的图为横坐标画出的图线线. 离散谱离散谱：周期函数的频谱只有在各点才有数值，图周期函数的频谱只有在各点才有数值，图形是一组离散的垂线离散谱形是一组离散的垂线离散谱 连续谱连续谱：在周期，在周期，的情况下，周期函数的情况下，周期函数失去周期性，离散谱失去周期性，离散谱转化为连续谱，此时转化为连续谱，此时傅里叶级数转化为傅里叶积分傅里叶级数转化为傅里叶积分 通常将周期函数展成傅立叶级数通常将周期函数展成傅立叶级数 的过程称为谐波分析或频谱分析的过程称为谐波分析或频谱分析, 在频谱分析中在频谱分析中,频率作为自变量频率作为自变量,因此

18、频谱分析是一种频率因此频谱分析是一种频率域方法域方法.nA0n0002030405nA0n0nn0T0210000Tnn0n1.9 周期激励下的振动分析例例2.14：求如图所示周期三：求如图所示周期三角波的傅里叶级数。角波的傅里叶级数。解：所示函数是奇函数，故。解：所示函数是奇函数，故。再由：可见，求系数的从到再由：可见，求系数的从到 积分等于积分等于从到的积分倍，因而可推断只有为奇数的系数从到的积分倍，因而可推断只有为奇数的系数不为零。即：不为零。即：)()(tutu)()2(0tuTtunb4/0Tnb,11, 7 , 3,9 , 5 , 1,882sin8sin12cos432cosco

19、s32sin32sin48sin)(8sin)(222222240020200204/0004000204/00204/00004/0000000000000nnnAnAnnAtnnnnTTAdtntnntntTAtdtntTAtdtnTAtTtdtntuTtdtntuTbTTTTTTTn分部积分0naA0T4/0Tt0T1.9 周期激励下的振动分析因此：因此：注意：注意： 傅里叶级数中的常数项和奇偶性与坐标轴选取不同傅里叶级数中的常数项和奇偶性与坐标轴选取不同而改变。而改变。 比如此例题中，若纵轴向右平移比如此例题中，若纵轴向右平移 ，则原来的奇，则原来的奇函数变为偶函数；级数中将只包含余弦

20、项。函数变为偶函数；级数中将只包含余弦项。 若横轴向上或向下平移，平均值将不为零。常数项若横轴向上或向下平移，平均值将不为零。常数项将不为零。将不为零。10212121012sin1218sin)(mmmnnntmmAtnbtu4/0T1.9 周期激励下的振动分析周期激励下的振动分析例1.15 (P35,例1.9.1)求如图所示周期方波的频谱求如图所示周期方波的频谱. .解：在图中可以从任意起始位置解：在图中可以从任意起始位置选取一个完整周期。取选取一个完整周期。取 时间段为一个周期。在该周期内，时间段为一个周期。在该周期内，有：有：, 00Tt 000002, 2, 020,404)(TtT

21、TTtTttu代入到傅立叶级数公式有：代入到傅立叶级数公式有：04420002/2/000dtdtTaTTT0sin1sin12cos4cos4200000020000002/002/00tnntnnTdttntdtnTaTTTn, 6 , 4 , 20, 5 , 3 , 111121cos2cos1cos2cos1cos12sin4sin4210020000002/002/00000000nnnnnnnnTtnntnnTdttntdtnTbnTTTn1.9 周期激励下的振动分析周期激励下的振动分析1.9 周期激励下的振动分析周期激励下的振动分析各谐波的幅值和相位分别为：各谐波的幅值和相位分别

22、为：周期方波的傅立叶级数为：周期方波的傅立叶级数为：, 3 , 2 , 1, 0, 6 , 4 , 20, 5 , 3 , 1/122nnnnbaAnnnn, 5 , 3 , 10sin1)(ntnntu说明：说明： 周期方波的各谐波分量幅周期方波的各谐波分量幅值与其阶次呈反比衰减（图值与其阶次呈反比衰减（图b)b)，而相位相同。，而相位相同。 图示给出前三阶谐波分量图示给出前三阶谐波分量叠加近似周期函数。叠加近似周期函数。2.周期激励下的受迫振动周期激励下的受迫振动1.9 周期激励下的振动分析周期激励下的振动分析考虑一个质量阻尼弹簧系统使受一个周期考虑一个质量阻尼弹簧系统使受一个周期激振力。

23、其运动方程为：激振力。其运动方程为： tftkutuctum 式中， 为周期。是以00Ttf将 傅立叶展开得： tf 100sinnnntnfftf式中，相位。次谐波分量的幅值和初是第是常力分量，是周期激励的基频，nffnn,00(1.9.7)(1.9.8)1.9 周期激励下的振动分析周期激励下的振动分析它们可分别表示为：它们可分别表示为：于是，系统微分方程可写作：于是，系统微分方程可写作：nnnnnnbabafafTarctan,2,2220000, 2 , 1,sin)(2, 2 , 0,cos)(200000000ntdtntfTbntdtntfTaTnTn 100sinnnntnfft

24、kutuctum (1.9.9)(1.9.10)(1.9.11)1.9 周期激励下的振动分析周期激励下的振动分析该方程的解由其特解和对应齐次方程的通解相加而该方程的解由其特解和对应齐次方程的通解相加而成。成。这里着重讨论其系统稳态振动的特解。这里着重讨论其系统稳态振动的特解。根据线性微分方程的叠加性质，分别求出方程中右根据线性微分方程的叠加性质，分别求出方程中右端各个力分别作用下的特解，端各个力分别作用下的特解， nnnntnBtu0*sin 100sinnnntnfftkutuctum , 1 , 0,sin0*ntnftkutuctumnnnnn1.9 周期激励下的振动分析周期激励下的振动

25、分析mkcmknnnnkfkfBnnnnnnnnnnnnn2,2,0,12arctan, 1 ,0,21101102222然后，将各个分量作用下的特解叠加，则可得到方程然后，将各个分量作用下的特解叠加，则可得到方程总的特解满足：总的特解满足： 1000*0*0*sinnnnnnnnnntnfftkutuctum 总的特解为：总的特解为： 1000*sinnnnnnntnBBtutu(1.9.13)(1.9.12)(1.9.14)1.9 周期激励下的振动分析周期激励下的振动分析上述推导可见：上述推导可见： 系统的稳态响应是周期振动，其周期与激振力的周期系统的稳态响应是周期振动，其周期与激振力的周

26、期相同；相同； 系统的稳态响应是由激振力各次谐波分量分别作用下系统的稳态响应是由激振力各次谐波分量分别作用下的稳态响应叠加而成；的稳态响应叠加而成； 系统稳态响应中，频率最靠近固有频率的谐波最大，系统稳态响应中，频率最靠近固有频率的谐波最大，在响应中占主要成分；在响应中占主要成分； 频率远离固有频率的谐波很小，在响应中占次要成分频率远离固有频率的谐波很小，在响应中占次要成分。 1000*sinnnnnnntnBBtutu1.10 瞬时激励下的振动分析 在许多情况下，外界对系统的激励并非简谐或周期的，在许多情况下，外界对系统的激励并非简谐或周期的，往往是任意的时间函数，或者是在极短时间间隔内的往

27、往是任意的时间函数，或者是在极短时间间隔内的冲击作用。冲击作用。 在这些激励下，往往系统没有稳态响应，只有瞬态振在这些激励下，往往系统没有稳态响应，只有瞬态振动。在激励力停止后，系统按固有频率做自由振动。动。在激励力停止后，系统按固有频率做自由振动。 系统在任意激励（也包括简谐和周期激励）力作用下系统在任意激励（也包括简谐和周期激励）力作用下的振动状态，包括激励力停止后的自由振动，称为系的振动状态，包括激励力停止后的自由振动，称为系统对任意激励的响应。统对任意激励的响应。 运动微分方程可表示为：运动微分方程可表示为： 000,0uuuutftkutuctum (1.10.3)1.10 瞬时激励

28、下的振动分析1. 函数及其性质函数及其性质；2.单位脉冲响应函数单位脉冲响应函数3.杜哈梅积分（卷积积分）杜哈梅积分（卷积积分） 卷积积分方法的基本思想：首先考察系统对脉冲激卷积积分方法的基本思想：首先考察系统对脉冲激励力响应；然后，把任意激励力分解为一系列脉冲励力响应；然后，把任意激励力分解为一系列脉冲激励力连续作用，再利用线性系统的叠加原理，得激励力连续作用，再利用线性系统的叠加原理，得到系统对任意激励力的响应。到系统对任意激励力的响应。4.单位阶跃函数响应单位阶跃函数响应5.傅氏变换法傅氏变换法6.拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法1.10 瞬时激励下的振动分析 函数及其性质函数及其性质 函数

29、有下面两个定义：函数有下面两个定义：ttt01)(dtt且：且：为了更好地理解为了更好地理解 函数，考察函数，考察 ，它表达，它表达为：为： )(t其它0/1)(tt0/1)(t面积为1(1.10.4)(1.10.5)(1.10.6)1.10 瞬时激励下的振动分析易知易知111)(dtdtt由此可得：由此可得：1limlim00dttdtttt 可见可见 函数的量纲是其自变量的倒数。函数的量纲是其自变量的倒数。 如自变如自变量的量纲是秒，那么量的量纲是秒，那么 函数的量纲就是函数的量纲就是1/1/秒秒. .(1.10.7)(1.10.8)1.10 瞬时激励下的振动分析 函数的重要性质和功能函数

30、的重要性质和功能: : 筛选性筛选性 ffdttfdtttf1lim1lim)(00积分中值定理10容易推知：容易推知： tffdttfdtttft0,1lim1lim)(000积分中值定理 tfdtttft0,)(0即：即：(1.10.9)(1.10.10)1.10 瞬时激励下的振动分析 可将集中量化为分布量可将集中量化为分布量t冲击力：作用时间很短、冲量有限的力。冲击力：作用时间很短、冲量有限的力。假设有一冲击力由假设有一冲击力由 时刻开始作用，至时刻开始作用，至 停止，产生的冲量为一常数停止，产生的冲量为一常数 ，则该力的平均值为：，则该力的平均值为：tttIItf/I令 ，得：0tIt

31、f物理意义物理意义： 一冲击力在一冲击力在 时刻作用，在无限短时间内产生了有限冲时刻作用，在无限短时间内产生了有限冲量量I,I,这一冲击力在这无限短时间内的值很大。这一冲击力在这无限短时间内的值很大。 由于冲量是力对时间积分的集中量，所以力就是冲量在时由于冲量是力对时间积分的集中量，所以力就是冲量在时间上的分布量。间上的分布量。t(1.10.11)(1.10.12)1.10 瞬时激励下的振动分析 因此，因此， 也可进一步理解为：也可进一步理解为： 冲量乘以冲量乘以 函数后其在时间上的分布量函数后其在时间上的分布量作用力。作用力。 此概念可进一步推广到：任意量与此概念可进一步推广到：任意量与 函

32、数相乘后得到函数相乘后得到相应于该量的分布量。相应于该量的分布量。考虑具有集中参量的悬臂梁，考虑具有集中参量的悬臂梁，如图所示。在如图所示。在a,b两处分别作用集中力和集中力矩。两处分别作用集中力和集中力矩。那它们对应的分布力和分布力矩可借助那它们对应的分布力和分布力矩可借助 函数分别写为函数分别写为：tItfabFM bxMxMaxFxf易知： llllMdxbxMdxxMFdxaxFdxxf0000(1.10.13)(1.10.14)(1.10.15)(1.10.16)1.10 瞬时激励下的振动分析考虑一悬臂梁，如图所示，截面积为考虑一悬臂梁，如图所示，截面积为A,A,质量密度为质量密度为

33、 ，在在 处加有一集中质量处加有一集中质量m.m.amax 将集中质量化为沿梁体积的分布量，其对应的将集中质量化为沿梁体积的分布量，其对应的质量密度可借助质量密度可借助 函数写为：函数写为： Aaxmxa/则计入则计入m m之后的梁的质量密度为：之后的梁的质量密度为： Aaxmxa/整个结构的质量为：整个结构的质量为：lllbmAldxAaxmAdxAAdxm000/说明：许多问题是基于分布参数建立数学方程，利用说明：许多问题是基于分布参数建立数学方程，利用 函数可有效解决含集中参数的振动问题。函数可有效解决含集中参数的振动问题。(1.10.17)(1.10.18)(1.10.19)1.10

34、瞬时激励下的振动分析2. 单位单位脉冲响应函数脉冲响应函数 0)0(, 0)0(uutItkutuctum 0)(tI)(tf考虑一质量阻尼弹簧系统，考虑一质量阻尼弹簧系统，在零初始条件下，初始时刻受到在零初始条件下，初始时刻受到一单位脉冲激励力。一单位脉冲激励力。I =1是初始瞬时作用于系统的冲是初始瞬时作用于系统的冲量。量。系统的微分方程为：系统的微分方程为：)()(tItf(1.10.20)方程两边在时间区间方程两边在时间区间 内内积分并取极限得：积分并取极限得： 00000000limlimlimlimdttIdttukdttucdttum Iuucuum0000 Ium0 mIuu/

35、00系统在初始脉冲激励作用下相当于获得一个初速度。系统在初始脉冲激励作用下相当于获得一个初速度。把一个初始脉冲激励作用下的系统振动转化为在一个初把一个初始脉冲激励作用下的系统振动转化为在一个初 速度作用下的振动问题。速度作用下的振动问题。 mmIuuutkutuctum/1/)0(, 0)0(00 1.10 瞬时激励下的振动分析0系统的微分系统的微分方程改写为：方程改写为：(1.10.21)因此，利用系统在初始条件下有阻尼自由振动的响应就因此，利用系统在初始条件下有阻尼自由振动的响应就可得到系统在初始脉冲下的响应为：可得到系统在初始脉冲下的响应为：在振动理论中，常用在振动理论中，常用 代替上面

36、的代替上面的 ，即：，即：如果作用系统的冲量不是作用在初始时刻如果作用系统的冲量不是作用在初始时刻 ，而是作用，而是作用于时刻，则有：于时刻，则有：系统的响应也沿时间轴平移系统的响应也沿时间轴平移。0,sin1sin)(0ttemteutudtddtdnn)(1)(ttf)(tf0)(tIdt0t,sin1)(00)(ttemthttudtdn(1.10.22)(1.10.24a)0,sin1)(ttemthdtdn th tu单位脉冲响应函数1.10 瞬时激励下的振动分析(1.10.23)1.10 瞬时激励下的振动分析 系统在任意脉冲系统在任意脉冲 下的响应，可表示为：下的响应，可表示为：

37、无阻尼系统的单位脉冲响应可简化为：无阻尼系统的单位脉冲响应可简化为： 注意：注意：)()(tItfttemItIhttudtdnsin00)(ttmktmthnnn,sin1sin1)(1.10.24b)(1.10.24c) ttVmthtVmth, 0,)()011（为：单位脉冲响应也可改写 ddttetVnsin1.10 瞬时激励下的振动分析3. 系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应杜哈梅积分（卷积积杜哈梅积分（卷积积分分） 0)0(,0)0()(uutftkutuctum (1.10.25a)考虑一个质量阻尼弹簧线性系统在零初始条件下考虑一个质量阻尼弹簧线性系统在零初始条件下使受一个

38、任意瞬态激励作用。使受一个任意瞬态激励作用。系统的微分方程为：系统的微分方程为：)(tfd dfI)()(tf)(f)(tfto瞬态激励随时间变化如图所示：瞬态激励随时间变化如图所示：曲线下部面积是其产生的总冲量。曲线下部面积是其产生的总冲量。)(tf1.10 瞬时激励下的振动分析 将面积划分为无穷个小矩形面积来代替（如图）。每将面积划分为无穷个小矩形面积来代替（如图）。每个小矩形面积代表该时刻的冲量个小矩形面积代表该时刻的冲量 。 考察在时刻的小矩形，其面积即微冲量为考察在时刻的小矩形，其面积即微冲量为， ，它引起的位移响应为：，它引起的位移响应为： 注意的是，注意的是， 引起的响应只有在引

39、起的响应只有在 时才存在。就时才存在。就是说响应的产生不能超前相应激励。此时的冲量对其是说响应的产生不能超前相应激励。此时的冲量对其作用时刻后的响应有贡献。作用时刻后的响应有贡献。 因此根据线性系统的叠加原理，一般动载荷作用下，因此根据线性系统的叠加原理，一般动载荷作用下， 时刻质量位移可视为该时刻以前无穷多个微冲量激励时刻质量位移可视为该时刻以前无穷多个微冲量激励作用下引起的位移之和。即：作用下引起的位移之和。即：t tdthfthItunnn,)(tdthfduututtNnn0,)()()(001 nndfI)(1.10.25b)ntt nI杜哈梅积分（卷积积分）I1.10 瞬时激励下的

40、振动分析进一步改写为：进一步改写为：注意：注意： 是所求位移的时刻，是所求位移的时刻， 是积分变量，表示了以前时是积分变量，表示了以前时刻的微冲量作用时刻；刻的微冲量作用时刻； 被积函数中两个变量具有交换性，即被积函数中两个变量具有交换性，即： 杜哈梅积分是在零初始条件下推导出来的，因此，此积杜哈梅积分是在零初始条件下推导出来的，因此，此积分公式表达系统的响应只适合零初始条件下由任意激励分公式表达系统的响应只适合零初始条件下由任意激励引起的系统的振动。引起的系统的振动。tdtddtefmtun0sin)(1)(ttdhtfdthftu00)()()()()(1.10.25c)(1.10.25

41、d)1.10 瞬时激励下的振动分析 如果系统在非零初始条件和任意激励作用下引起的振如果系统在非零初始条件和任意激励作用下引起的振动，其振动微分方程为：动，其振动微分方程为： 根据线性系统叠加原理，相应的响应由初始条件引起根据线性系统叠加原理，相应的响应由初始条件引起的系统自由振动响应（齐次方程通解）在加上任意激的系统自由振动响应（齐次方程通解）在加上任意激励作用下系统的响应。因此，系统的总的响应为：励作用下系统的响应。因此，系统的总的响应为： 00)0(,)0()(uuuutftkutuctum dthfutVutUdtefmtutuuetutdttddddntnn0000000sin1cos

42、sin)(1.10.26a)(1.10.26b) ,cossinttetUdddntn式中： tVmthtetVddtn1,sin1.10 瞬时激励下的振动分析 无阻尼下系统使受任意激励的响应可简化为：无阻尼下系统使受任意激励的响应可简化为： 零初始条件：零初始条件： 非零初始条件：非零初始条件：tnntnndtfmdtfmtu00sin)(1sin)(1)( dthfutVutUdtfmtutututnnnnn00000sin)(1cossin)(1.10.26c)(1.10.26d) nnnnnmttVmthttVttUsin,sin,cos1式中：1.10 瞬时激励下的振动分析 杜哈梅积

43、分体现的三个特点：杜哈梅积分体现的三个特点： 第一个特点为：第一个特点为： 任何形式过程的激励都可分解为一系列冲量，而任何形式过程的激励都可分解为一系列冲量，而每一个冲量又可转化为该时刻的初始激励，这一初始每一个冲量又可转化为该时刻的初始激励，这一初始激励使得系统按自由振动规律发展下去，以影响系统激励使得系统按自由振动规律发展下去，以影响系统后来振动。后来振动。 系统在时刻的位移响应正是在该时刻以前所有系统在时刻的位移响应正是在该时刻以前所有微冲量响应在时刻取值的叠加。微冲量响应在时刻取值的叠加。 这也说明某一时刻的外加激励不只影响系统在该时刻这也说明某一时刻的外加激励不只影响系统在该时刻的状

44、态，而且还影响系统后来的状态，这就是外界激的状态，而且还影响系统后来的状态，这就是外界激励对动态系统影响的励对动态系统影响的“后效性后效性”。 另一方面，一个动态系统在任一时刻的响应不仅与该另一方面，一个动态系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励值有关，还与该时刻之前系统承受激励的时刻的激励值有关，还与该时刻之前系统承受激励的全部历程有关，这也称为动态系统的全部历程有关，这也称为动态系统的“记忆效果记忆效果”。而静态系统，变形只反映该时刻的荷载量。而静态系统，变形只反映该时刻的荷载量。)(tft)(tut1.10 瞬时激励下的振动分析 第二个特点：第二个特点： 杜哈梅积分还体现了强迫振动和自由

45、振动的辩证关杜哈梅积分还体现了强迫振动和自由振动的辩证关系，任一时刻的强迫振动响应其实是该时刻前被激系，任一时刻的强迫振动响应其实是该时刻前被激起的一系列自由振动响应的叠加。起的一系列自由振动响应的叠加。 第三个特点：第三个特点： 由（由（1.10.26b）等可见，外界激励对系统的影响方）等可见，外界激励对系统的影响方式完全是由系统参数质量、固有频率和阻尼比所决式完全是由系统参数质量、固有频率和阻尼比所决定的，即外界激励通过系统本身的内在特性而起作定的，即外界激励通过系统本身的内在特性而起作用，引起系统的强迫振动。用，引起系统的强迫振动。1.10 瞬时激励下的振动分析例例:1.10.1 :1.

46、10.1 用杜哈梅积分求零初始条件下用杜哈梅积分求零初始条件下, ,无阻无阻尼弹簧质量系统对简谐激励的响应。尼弹簧质量系统对简谐激励的响应。解：系统的微分方程为：解：系统的微分方程为：利用杜哈梅积分公式，同时对应零初始条件，系利用杜哈梅积分公式，同时对应零初始条件，系统的响应为：统的响应为： 0)0(, 0)0(sin0uutftkutum tnnnnntnntnntdttmfdtmfdtmfdthftu0000000coscos2sinsinsin1sin)()(积分：ttttttttttdttnnnnnnnnnnnnntnnntnnntnnnnsinsin2sin11sin11sinsin

47、1sinsin1sin1sin1coscos22000因此，系统的响应为：因此，系统的响应为： ttkfttmfttmfdttmfdtfmdthftunnnnnnnnntnnnnntnntsinsin11sinsin1sinsin22coscos2sinsin1)(2022022000000 同时给出简谐激励引起的稳同时给出简谐激励引起的稳 态振动又给出零初始条件下态振动又给出零初始条件下 的瞬态自由振动。的瞬态自由振动。稳态振动瞬态振动1.10 瞬时激励下的振动分析4.系统对阶跃函数激励的响应系统对阶跃函数激励的响应单位阶跃函数单位阶跃函数：如果在时间如果在时间 时，系统突加一个定常荷载，时

48、，系统突加一个定常荷载，如图所示，那么，激励力可表达为：如图所示，那么，激励力可表达为：如果如果 ，对应初始时刻，有：，对应初始时刻，有：ttts01)()()(0tsftf1t)(tst)(tf0ft0)()(0tsftf1.10 瞬时激励下的振动分析a) 有阻尼系统对单位阶跃函数激励力的响应有阻尼系统对单位阶跃函数激励力的响应： 考虑一个质量考虑一个质量-阻尼阻尼-弹簧系统，在初始时刻使受一个弹簧系统，在初始时刻使受一个突加单位力，系统的微分方程为：突加单位力，系统的微分方程为：利用杜哈梅积分公式，系统的响应可表达为：利用杜哈梅积分公式，系统的响应可表达为： 0)0(, 0)0()(uut

49、stkutuctum tddtttdefdemdhdhtsdthstgn0000sin1)()()(0001)(ttts(a)(b)deeedeededtdntddntdddtdntddtdnnnnnnsinsincos1coscos1sin0222020000分部积分tetteteteeededtnddtndtdtntddntdddntdnnnnnnncos111sin1cos11sin11cos111sincos11sin22222220012220所以：积分：1.10 瞬时激励下的振动分析tektemdemtgdtdtnntddnnncos111cos11111sin1)(2222021

50、arctan因此因此, 单自由度有阻尼系统对初始作用一个单位阶跃函单自由度有阻尼系统对初始作用一个单位阶跃函数激励力的响应为：数激励力的响应为：其中其中, ,(c)(d)系统有阻尼时，在突加荷载作用下，单自由度的运动是系统有阻尼时，在突加荷载作用下，单自由度的运动是衰减的。衰减的。系统围绕其静变形系统围绕其静变形 位置进行自由振动。位置进行自由振动。k/11.10 瞬时激励下的振动分析 当系统自由振动完全被阻尼衰减掉之后，系统就只剩当系统自由振动完全被阻尼衰减掉之后，系统就只剩下静变形，在这一静变形位置上平衡下来，最终成为下静变形，在这一静变形位置上平衡下来，最终成为静力情况。静力情况。1.1

51、0 瞬时激励下的振动分析11121),(cos111)(1ttttsttekttgdttn(e)(f) 如果系统在初始时刻使受一个突加载荷如果系统在初始时刻使受一个突加载荷 ， 那么系统的响应：那么系统的响应：tekftgftudtncos11)()(200)()(0tsftf 如果是在如果是在 时刻作用一个单位阶跃函数激励力时刻作用一个单位阶跃函数激励力 , 那么系统响应为：那么系统响应为：1tt )()(1ttstf 如果系统在如果系统在 时刻使受一个突加载荷时刻使受一个突加载荷 那么系统的响应：那么系统的响应：)()(10ttsftf1tt 112010cos11)()(1ttsttek

52、fttgftudttn(g)b) 无阻尼系统对单位阶跃函数激励力的响应无阻尼系统对单位阶跃函数激励力的响应：令有阻尼系统的单位阶跃函数响应中阻尼比为零令有阻尼系统的单位阶跃函数响应中阻尼比为零, ,即得即得. .tktgncos11)( 激振力： )()(tstf响应：111cos11)()(ttsttkttgtun 激振力： )()(1ttstf响应：tkftgftuncos1)()(00 激振力： )()(0tsftf响应：11010cos1)()(ttsttkfttgftun 激振力： )()(10ttsftf响应：1.10 瞬时激励下的振动分析1.10 瞬时激励下的振动分析 如果求最大

53、位移，那么利用求极值的方法，如果求最大位移，那么利用求极值的方法，即令：即令：如果阻尼比如果阻尼比 ，2211cos12maxmax221cos11cos111, 0sin0sin1cos11)(eekekggtttetektgdnnnddddtddtn0stkkg22111max 在阶跃函数作用下，系统的响应结果是简单的，在阶跃函数作用下，系统的响应结果是简单的，但是使用卷积积分公式求系统的响应的积分过程但是使用卷积积分公式求系统的响应的积分过程是复杂的。是复杂的。 事实上，对初始使受阶跃函数作用下系统，利用事实上，对初始使受阶跃函数作用下系统，利用求微分方程的特征方程方法求通解和特解方法更

54、求微分方程的特征方程方法求通解和特解方法更为简单。为简单。 系统的微分方程为：系统的微分方程为： 显然，一个特解是：显然，一个特解是： 对应齐次微分方程的通解就是有阻尼自由振动的对应齐次微分方程的通解就是有阻尼自由振动的解的形式，即：解的形式，即：0)0(, 0)0(0uufkuucum kfu/0*tctceuddtncossin211.10 瞬时激励下的振动分析因此，系统的全解为：代入零初始条件有：将积分常数带入全解，得：kftctceuutuddtn021*cossin)(kfcccckfckfcdnnd02212102021,00tctcetctcetuddtnddddtnncossi

55、nsincos)(2121tekfttekftudtddtnncos11cossin11)(2020 求有阻尼系统对任意激励的响应，一般应用卷积积分方法比较繁琐。求有阻尼系统对任意激励的响应，一般应用卷积积分方法比较繁琐。 当对应微分方程非齐次项特解比较容易求出时，应用经典解法更方便。当对应微分方程非齐次项特解比较容易求出时，应用经典解法更方便。1.10 瞬时激励下的振动分析1.10 瞬时激励下的振动分析5. 傅立叶变换法a)傅立叶积分：任何一个满足狄里赫利条件的非周期函数 ，同时满足可积条件，即：则 一定可以表示为如下傅立叶积分：式中：)(tfdttf)()(tf deFtftj21)( d

56、tetfFtj)(1j(a)(b)1.10 瞬时激励下的振动分析b) 傅里叶级数和傅里叶积分关系傅里叶级数和傅里叶积分关系如果把非周期函数如果把非周期函数 视为周期为视为周期为 的函数当的函数当 时时的极限情况。那么，作为周期函数，的极限情况。那么，作为周期函数， 可展开为复数形可展开为复数形式的傅里叶级数为：式的傅里叶级数为：并且：并且： 随着随着 不断增大，不断增大， 不断变小，不断变小，不妨将不妨将 记为记为 ，而将，而将 记为变量记为变量 。上式两端同乘。上式两端同乘以以 ，令，令 取极限得：取极限得：)(tfTT)(tfntjnnedtf)(2/2/)(1TTtjnndtetfTdn

57、nT) 1(2TnTT)()()(limlim2/2/FdtetfdtetfTdtjTTtjTnT deFeTdTeTdtftjntjnTntjnT21)(lim21212)(lim)(1.10 瞬时激励下的振动分析c) 傅里叶变换傅里叶变换 傅里叶积分中，函数傅里叶积分中，函数 是时间域的原函数；是时间域的原函数； 是它在频率域内象函数。是它在频率域内象函数。 实现从原函数到象函数的变换，记为实现从原函数到象函数的变换，记为 ， 称为傅里叶变换；称为傅里叶变换； 实现从象函数到原函数的逆变换，记为实现从象函数到原函数的逆变换，记为 ， 称为傅里叶逆变换；称为傅里叶逆变换； 二者构成傅里叶变换

58、对二者构成傅里叶变换对, 即即: tfFF)(F tf Ftf-1F dteFtfdtetfFtjtj)(21)()(1.10.27)傅里叶变换傅里叶变换傅里叶逆变换傅里叶逆变换d)傅里叶变换性质：傅里叶变换性质：周期函数的傅里叶变换：周期函数的傅里叶变换： 周期函数和非周期函数周期函数和非周期函数的傅里叶积分的区别在于：前者对应的是离散谱，的傅里叶积分的区别在于：前者对应的是离散谱，而后者对应的是连续谱。而后者对应的是连续谱。简谐函数的傅里叶变换为：简谐函数的傅里叶变换为：周期函数周期函数 （周期（周期 ）的傅里叶变换可表）的傅里叶变换可表示为：示为：1.10 瞬时激励下的振动分析2tjeF

59、1,0d-:函数 ndn2tfF tf周期函数的离散谱性质由函数系列体现。 （c）（d）2T1.10 瞬时激励下的振动分析线性：线性：时移性：时移性：频移性：频移性：时域导数：时域导数：频域导数：频域导数：卷积卷积 tfjnFtfFn GFtgtfF Fej- tfF 0 FttfeF0j nFtfjt-Fn GFtg*tfF1.10 瞬时激励下的振动分析瞬时激励下的振动分析1)激励与响应的关系激励与响应的关系考虑一单自由度系统，在零初始条件下使受一瞬态激励考虑一单自由度系统，在零初始条件下使受一瞬态激励假定瞬态激励假定瞬态激励 可有如下傅氏变换对存在，可有如下傅氏变换对存在， 1( ),(

60、)( )2j tj tFf t edtf tFed频域复函数频域复函数 的模和辐角分别反映了系统激的模和辐角分别反映了系统激励励 在频率在频率 处的幅值和相位。处的幅值和相位。对系统微分方程两端同时做傅氏变换得：对系统微分方程两端同时做傅氏变换得： jeFF tf tf 0)0(, 0)0(uutftkutuctum tf FkUcUjmU2(1.10.28)1.10 瞬时激励下的振动分析瞬时激励下的振动分析由此得位移的傅立叶变换为：由此得位移的傅立叶变换为： FHjcmkFU2式中：式中： jcmkH21表示了频率域内系统响应与激励之间的关系；表示了频率域内系统响应与激励之间的关系； 是系统