复变函数工科15讲.

1、第二节 留数一、留数的概念一、留数的概念二、留数定理二、留数定理四、小结与思考四、小结与思考三、留数的计算规则三、留数的计算规则. 0d)( czzf 设函数设函数f(z)在点在点z0解析。作圆解析。作圆rzzC|:|0使使f(z)在以它为边界的闭圆盘上解析，那么根据柯西定在以它为边界的闭圆盘上解析，那么根据柯西定理，积分理，积分 设函数设函数f(z)在区域在区域0| z-z0|R内解析。选取内解析。选取r，使，使0rR，并且作圆，并且作圆rzzC|:|0那么如果那么如果f(z)在在z0也解析，则上面的积分也等于零；也解析，则上面的积分也等于零；一一.留数概念留数概念 如果如果z0是是f(z)

2、的孤立奇点，则上述积分就不一定的孤立奇点，则上述积分就不一定等于零；这时，我们把积分等于零；这时，我们把积分定义定义为为f(z)在孤立奇点在孤立奇点z0的的留数留数，记作，记作),(Res0zf这里积分是沿着这里积分是沿着C按逆时针方向取的。按逆时针方向取的。1.留数概念留数概念 1( )2Cf z dzi012Re ( ),Cs f z zf z dzi记记作作：（） 注解注解1.我们定义的留数我们定义的留数Res(f, z0) 与圆与圆C的半径的半径r无关：无关：事实上，在事实上，在0| z-z0|R内，内，f(z)有洛朗展式：有洛朗展式：nnnzzzf)()(0,2)()(10idzzz

3、dzzfnCnnC因此，因此，.),(Res10zf01Re ( ),2Cs f z zf z dzi（ ）C对展开式两边沿着 逐项积分得：1.)0(0)0(2)(110nnidzzznC1Laurent即是积分过程中唯一残留下来的系数.注解注解2. .即即f(z)在孤立奇点在孤立奇点z0的留数等于其洛朗级数展式的留数等于其洛朗级数展式中中 01zz 的系数。的系数。注解注解3. .如果如果z0是是f(z)的可去奇点，那么的可去奇点，那么. 0),(Res0zf011Re ( ),2Cs f z zf z dzi（ ）小结：小结：f(z)在孤立奇点在孤立奇点z0的留数的留数，记作，记作1Lau

4、rent是积分过程中唯一残留下来的系数.011Re ( ),2Cs f z zf z dzi（） 留数定义提供了两个计算留数的方法： 1）.将f (z)在0|zz0|R内展开成洛朗级数， 取其负一次幂项的系数 的值即可； 2）.计算：Cf z dz（） 1 11( )0zf zzez例 求在孤立奇点处的留数。12341201111e(1)2!3!4!1112!3!zzRzzzzzzzzz 解 由于在内有111Res,02zze所以212( )cos0f zzz例求在孤立奇点 处的留数。22242222201111cos(1( 1)2!4!(2 )!111( 1)2!4!(2 )!nnnnzRz

5、zzzzn zzzn z 解 由于在内有211Rescos,00zcz所以2.留数定理定理112( ),nf zDz zz设函数在区域 内除有限个孤立奇点外处处解析，CD是 内包围所有奇点的一条正向简单闭曲线，则:证明： D1z2z3z4znz.C1C2C3C4CnC由复合闭路定理得：Re ( ),ns f z z),(Re21knkCzzfsidzzf）（),(Re211zzfsdzzfiC）（dzzfdzzfdzzfCnCC）（）（）（1),(Rei2n1kkCzzfsdzzf）（即： 这里沿这里沿C的积分按关于区域的积分按关于区域D的正向取的，沿的正向取的，沿Ck的的积分按反时针方向取的

6、。积分按反时针方向取的。注解注解1 1. .留数定理在两个从定义上看，完全不同，也不留数定理在两个从定义上看，完全不同，也不相干的概念之间架起一个桥梁，是非常重要的。相干的概念之间架起一个桥梁，是非常重要的。12Re ( ),nkkCf z dzis f zz（ ）注解注解2.2. 求函数在孤立奇点 z0 处的留数即求它在洛朗级数中 (zz0)1 项的系数 a1 即可. 但若知道奇点的类型, 对求留数更有利. 如果 z0 是 可去奇点, 则 Res f (z),z0 = 0 ；如果 z0 是本性奇点,则只好按洛朗级数展开;如果 z0 是极点, 则有一些对求 a1有用的规则：三、留数的计算规则三

7、、留数的计算规则规则规则1 如果如果 z0为为 f (z) 的单极点的单极点, , 则则000Res ( ),lim() ( )zzf z zzzf z证明： 0( )zf z由于 是函数的一阶极点，110000( )()() ,0 |nnnf zzzzzzz10100() ( )(),nnnzzf zzz001lim() ( ).zzzzf z结论：先知道奇点的类型，对求留数有时更为有利. 函数在极点的留数函数在极点的留数1( )(2)(5)f zz zz例2 求在各孤立奇点处的留数。10 25( )(2)(5)f zz zz解 易知 ， ， 是的一阶极点001(1) Res( ),0lim

8、(2)(5)11lim(2)(5)10zzf zzz zzzz 所以221(2) Res( ),2lim (2)(2)(5)11lim(5)14zzf zzz zzz z551Res( ), 5lim (5)(2)(5)11lim(2)35zzf zzz zzz z(3)00000000( )Res( ,)lim() ( ) lim()( )()() .()zzzzP zf zzzf zzzQ zQ zP zQ z证明： 0( )zfz由 于是 函 数的 一 阶 极 点 ， 所 以3( )cos2zf zzz例 求在处的留数。( )2coszzf zz解是的一阶极点2Res,cos2sin2z

9、zzzz 所以：证明：证明： 0( )zf zm因为 为函数的 阶极点，0z则在 的洛朗展开式为：210201000( )()()()()mnmnnf zzzzzzzzz 0()( )mzzf z 1101000()()()mm nmmnnzzzzzz 101()( )mmmdzzf zdz010111lim()( )()!,mmmzzdzzf zmdz 0110111lim()( ).()!mmmzzdzzf zmdz 即即：规则规则3 如果如果 z0 为为 f (z)的的m 阶极点阶极点, 则：则：010011dRes ( ),lim()( )(1)!dmmmzzf z zzzf zmz1

10、01()!mzz 含含有有()正()正 的的幂项幂项2( )0zef zzz例4 求在处的留数。0( )zf z解是的二阶极点22001Res( ),0lim(0)(2 1)!lim()1zzzzdef zzdzze 所以：二、留数定理计算复积分12( ),nf zDz zz设设函函数数在在区区域域 内内除除有有限限个个孤孤立立奇奇点点外外处处处处解解析析，CD是是 内内包包围围所所有有奇奇点点的的一一条条正正向向简简单单闭闭曲曲线线，则则: :12Re ( ),nkkCf z dzis f z z （ ）.由由上上述述的的留留数数定定理理我我们们可可计计算算复复变变函函数数的的积积分分2|

11、| 252d(1)zzzz z例5 计算积分252(1)0|21zz zzzz 解 被积函数有简单极点与二阶极点在内部22005252Res ( ),0limlim2(1)(1)zzzzf zzz zz 22211d522Res ( ),1lim(1)lim2d(1)zzzf zzzz zz2| | 252d2i( 22)0(1)zzzz z 所以：22| | 2sin6d(1)zzzzz例计算积分22sin|2(110)zzzzzz解 被积函数在内部有与简单极点点可去奇Res ( ),00f z故：2221sinRes ( ),1lim(1)sin 1(1)zzf zzzz2222| | 2

12、sind2i(0sin 1)2i sin 1(1)zzzzz所以： 例722.(1)zCedzCzz z计算积分，其中 为正向圆周解： 20( )1zzf zz在圆周内，是函数的一阶极点，是二阶极点，2200Re ( ),0limlim1,(1)(1)zzzzees f zzz zz2211Re ( ),1lim(1)(1)!(1)zzdes f zzzdzz z211(1)limlim0,zzzzd eezdz zz22Re ( ),0Re ( ),1(1)zCedzis f zs f zz z2(1 0)2.ii例 1 计算积分21zCzedzz , C 为正向圆周|z|=2. 练习：练习

13、：例 2 计算积分41Czdzz , C 为正向圆周|z|=2. 例 4 计算积分101211Cdzzz, C 为正向圆周|z|=1/2. 例 3 13)1 (sinzzdzezz计算例 1 计算积分21zCzedzz , C 为正向圆周|z|=2. 22Res ( ),1Res ( ), 11zCzedzif zf zz由规则1, 得：211eeeRes ( ),1lim(1)lim112zzzzzzf zzzz1211eeeRes ( ), 1lim(1)lim.112zzzzzzf zzzz12eeed2 ()2 ch1122zCzziiz因此也可用规则2来求留数:.2e2e 1),(Res;2e2e 1),(Res111|zzzzzzzfzzzf这比用规则1要简单些.例 1 计算积分21zCzedzz , C 为正向圆周|z|=2. 12eeed2 ()2 ch1122zCzziiz因此例 2 计算积分41Czdzz , C 为正向圆周|z|=2. 32( )1,( )44P zzQ zzz由规则2故：41111d2 ()0.14444Czziz10121( ),0101(112)0f zzzzz解为阶极在点,内：10),(Res11)(102101zfCzzzfnn例 4 计算积分101211Cdzzz, C