161+二次根式的概念和性质2

1、二次根式二次根式1. 1.二次根式的概念二次根式的概念 正数有两个平方根且互为相反数；正数有两个平方根且互为相反数； 0 0有一个平方根就是它有一个平方根就是它0 0； 负数没有平方根。负数没有平方根。1、平方根的性质：、平方根的性质：1、16的平方根是什么的平方根是什么?16的算术平方根是什么？的算术平方根是什么？2、0的平方根是什么？的平方根是什么？0的算术平方根是什么？的算术平方根是什么？3、7有没有平方根？有没有算术平方根？有没有平方根？有没有算术平方根？正数和正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。都有算术平方根；负数没有算术平方根。试一试试一试 ：说出下列各式的意义；116,8

2、1,0,0.04;49观察：观察：上面几个式子中，被开方数的特点？被开方数是非负数 2 2、 表示什么？表示什么？a表示非负数a的算术平方根a (a0)表示非负数表示非负数 a 的算术平方根，的算术平方根， 形如形如 a (a0)的式子叫做的式子叫做二次根式二次根式。 它必须具备如下它必须具备如下特点特点： 1、根根指指数数为为 2； 2、被开方数必须是非负数。、被开方数必须是非负数。 想想一一想想： 1010 、 - -5 5 、3 38 8 5 5 3 3 、 ( (- -2 2) )2 2 a a (a(a0 0、a a2 2+0.1+0.1 、 - -a a (a(a0 0是不是二次根

3、式？是不是二次根式？ 1. 1.二次根式的概念二次根式的概念例例1 : 判断判断，下列各式中那些是二次根式？下列各式中那些是二次根式？,10a,a,2a,04. 0,5.83,04. 0,2a,a定义：式子定义：式子 叫做二次根式叫做二次根式. . )0( aa不要忽略不要忽略其中a叫做被开方式被开方式。解：由解：由 x-10，得，得 x1。 问：问：将式子将式子 x-1 改为改为 1-x ，则字母，则字母 x 的取值必须的取值必须满足什么条件呢？满足什么条件呢？ 解：由解：由 x x- -2 20 0，且，且 x x- -3 30, 0, 得得 x x2 2 且且 x x3 3。 想一想：想

4、一想：一个正数的算术平方根是一个正数的算术平方根是 。 零的算术平方根是零的算术平方根是 。 负数有没有算术平方根？负数有没有算术平方根？ 正数正数0没有没有想一想：想一想： 假如把题目改为： 要使假如把题目改为： 要使x x- -2 2x x- -1 1 有意义，有意义，字母字母 x x 的取值必须满足什么条件？的取值必须满足什么条件？ x2x2 做一做做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必要使下列各式有意义，字母的取值必 须满足什么条件？须满足什么条件？ 1、 x+3 2、 2-5x 3、 1 x 4、 a2+1 5、 x-3 + 4-x 6、x-1x-2 非负数的算术平方根仍然是非负

5、数。非负数的算术平方根仍然是非负数。 性质性质 1： a 0 (a0) （双重非负性）（双重非负性） 引引例例：|a-1|+(b+2) 2=0 , 则则 a= b= 解：解： a+2 0、|3b-9|0、(4-c) 20， 又又 a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 a= -2 , b= 3 ,c= 4。 2a-b+c=2(-2) -3+4 = -3。 计算:)0( ,2aaa 想一想想一想 等于什么等于什么?请举例验证请举例验证. 02aa= 23225204. 0= = 3520.04性质：性质：把下列各数写成平方的形式：3= ，23

6、2522504. 0204. 024利用这个式子，我们可以把任何一个非负数非负数写成一个数的平方的形式。如 4= 。 根据等式的定义，可得 。)0( ,2aaa)0( ,2aaa我们已经得到:aa面积面积a5271232-32() (0) aaa 2)72(2)312(2)5(2)32(算一算：算一算： 02 = ； 22 = ； （-2）2 = ； 32 = ； （-3）2 = 。 想一想：想一想： a2 等于什么呢？等于什么呢？ 性质性质 3：当当 a0 时，时， a2 = ； 当当 a0 时，时， a2 = 。 也就是说：也就是说： a2 = 。 a-a|a|02233算算一一算算：(1

7、) （-9）2 (2) (1 3 ) 2 (3) 64 (4) (x2+1)2 由 ,可以得 。 02aaa02aaa利用这个式子，可以把任何一个利用这个式子，可以把任何一个非负数非负数写成写成带有带有“ ”“ ”的形式，例：的形式，例： ,255 81.09 .0a0-a2a( a 0 )( a =0 )( a 0 )a试一试试一试1.计算下列各题计算下列各题:215(1)(2)2512.若若 ,则则x的取值范围为的取值范围为 ( )xx1)1 (2A. x1 B. x1 C. 0 x1 D.一切有理数一切有理数3. 与与 是一样的吗？是一样的吗？你的理由是什么，请小组讨论一下。你的理由是什

8、么，请小组讨论一下。2a a（ ）23、二次根式具有哪些性质？、二次根式具有哪些性质？ 1、什么叫做二次根式？、什么叫做二次根式？ 形如形如 a (a0)的式子叫做二次根式。的式子叫做二次根式。 2、二次根式有哪两个形式上的特点？、二次根式有哪两个形式上的特点？ （1）根指数为根指数为 2； （2）被开方数必须是非负数。被开方数必须是非负数。 课堂小结课堂小结性性质质 1： a 0 (a0) （双双重重非非负负性性） 性质性质 2：( a )2 = a (a0) 性质性质 3：当当 a0 时，时， a2 = a ； 当当 a0 时，时， a2 = -a 。 也就是说：也就是说： a2 = |a| 。 2aa (0)aa (0)a a 例例2 计算：计算：22)15()10() 1 (222)2(2)2(2例例3 计算：计算：|3254|)3253(22 (0)()aaa aa 2)0( aa)0( aa你的理由是什么？一样吗？）与（22aa书书P7的课内练习的课内练习补充：补充：分别说出下列各式成立分别说出下列各式成立的的a a的取值范围：的取值范围：2(1) ()aa2(2) ()aa 2(3) (2)2aax0 , 4x0,例例5 5: :已知已知:x0,化简化简:216x2216x(4 )4:xx解解原式原式 = -4x练一练练一练: