第二讲纳什均衡

1、经典博弈故事之二情侣博弈经典博弈故事之二情侣博弈 大海和小丽正在热恋。难得的周末又到了，安排什么节目呢？周末晚上，大海和小丽正在热恋。难得的周末又到了，安排什么节目呢？周末晚上，中国足球队要在世界杯外围赛中和伊朗队做生死之战。大海是个超级球迷，国中国足球队要在世界杯外围赛中和伊朗队做生死之战。大海是个超级球迷，国内的甲级联赛都不肯放过，何况是不争气的国家队的生死大战？也正好是这个内的甲级联赛都不肯放过，何况是不争气的国家队的生死大战？也正好是这个周末的晚上，俄罗斯一个著名芭蕾舞团莅临该市演出芭蕾舞剧周末的晚上，俄罗斯一个著名芭蕾舞团莅临该市演出芭蕾舞剧胡桃夹子胡桃夹子。丽娟最崇尚钢琴、芭蕾这样

2、的高雅艺术，对斯拉夫民族的歌唱和芭蕾更是崇拜丽娟最崇尚钢琴、芭蕾这样的高雅艺术，对斯拉夫民族的歌唱和芭蕾更是崇拜得五体投地，她怎么肯放过正宗俄罗斯的芭蕾舞剧得五体投地，她怎么肯放过正宗俄罗斯的芭蕾舞剧胡桃夹子胡桃夹子？这么说，一？这么说，一个在家里看电视直播的足球，一个去剧院看芭蕾舞演出不就得了？问题在于他个在家里看电视直播的足球，一个去剧院看芭蕾舞演出不就得了？问题在于他们是热恋中的情侣，分开各自度过这难得的周末时光，才是最不乐意的事情。们是热恋中的情侣，分开各自度过这难得的周末时光，才是最不乐意的事情。这样一来，他们就面临一场温情笼罩下的这样一来，他们就面临一场温情笼罩下的“博弈博弈” ”

3、 在情侣博弈中，在情侣博弈中， 我们不妨这样给大海和小丽的我们不妨这样给大海和小丽的“满意程度满意程度”赋值：如果赋值：如果大海看球让小丽一个人去看芭蕾，双方的满意程度都为大海看球让小丽一个人去看芭蕾，双方的满意程度都为0 0；两人一起去看足球，；两人一起去看足球，大海的满意程度为大海的满意程度为2 2，小丽的满意程度为，小丽的满意程度为1 1；两人一起去看芭蕾，大海的满意程；两人一起去看芭蕾，大海的满意程度为度为1 1，小丽的满意程度为，小丽的满意程度为2 2。应该不会有小丽独自看球而大海独自去看芭蕾的。应该不会有小丽独自看球而大海独自去看芭蕾的可能，不过人们还是把它写出来，设想因此双方的满

4、意程度都是可能，不过人们还是把它写出来，设想因此双方的满意程度都是1 1。试着用一个得益矩阵来描述大海和丽娟的情侣博弈试着用一个得益矩阵来描述大海和丽娟的情侣博弈 情侣博弈的得益矩阵 1 2足球足球芭蕾芭蕾芭蕾芭蕾足球足球 2 1小小 丽丽 大大 海海 00 11靠左走还是靠右走 在一个没有交通规范的农村小路骑自行车，你应该走在一个没有交通规范的农村小路骑自行车，你应该走在道路的哪一边？在道路的哪一边？ 假如别人靠右（左）走，你也假如别人靠右（左）走，你也 靠右（左）走，则不会靠右（左）走，则不会相撞；反之，假如别人靠右（左）走，而你却反其道相撞；反之，假如别人靠右（左）走，而你却反其道而行之

5、，偏要靠左（右）走，则必然相撞。而行之，偏要靠左（右）走，则必然相撞。 假设行走顺利，每人获益为假设行走顺利，每人获益为1，相撞，则获益为，相撞，则获益为1， 画出得益矩阵画出得益矩阵交通博弈靠左行靠右行靠左行靠右行1，11，1-1，-1-1，-1甲甲乙乙经典博弈故事之三智猪博弈经典博弈故事之三智猪博弈 笼子里面有两只猪，一只比较大，一只比较小。笼子很长，一头笼子里面有两只猪，一只比较大，一只比较小。笼子很长，一头有一个按钮，另一头是饲料的出口和食槽。按一下按钮，将有相当有一个按钮，另一头是饲料的出口和食槽。按一下按钮，将有相当于于1010个单位的猪食进槽，但是按按钮以后跑到食槽所需要付出个单

6、位的猪食进槽，但是按按钮以后跑到食槽所需要付出“劳劳动动”，加起来要消耗相当于，加起来要消耗相当于2 2个单位的猪食。问题是按钮和食槽分个单位的猪食。问题是按钮和食槽分置笼子的两端，按按钮的猪付出劳动跑到食槽的时候，坐享其成的置笼子的两端，按按钮的猪付出劳动跑到食槽的时候，坐享其成的另一头猪早已吃了不少。如果大猪先到，大猪呼啦啦吃到另一头猪早已吃了不少。如果大猪先到，大猪呼啦啦吃到9 9个单位，个单位，小猪只能吃到小猪只能吃到1 1个单位；如果同时到达，大猪吃到个单位；如果同时到达，大猪吃到7 7个单位；小猪吃个单位；小猪吃到到3 3个单位；如果小猪先到，小猪可以吃到个单位；如果小猪先到，小猪

7、可以吃到4 4个单位，而大猪吃到个单位，而大猪吃到6 6个单位。个单位。画出智猪博弈的得益矩阵画出智猪博弈的得益矩阵 “智猪博弈”(boxed pigs) 按等待按等待5，14，49，10，0 大猪小 猪经典博弈之四猎人博弈 设想在古代的一个地方，有两个猎人。那时候，狩猎是人们的设想在古代的一个地方，有两个猎人。那时候，狩猎是人们的主要生计。为了简单起见，假设主要的猎物只有两种：主要生计。为了简单起见，假设主要的猎物只有两种： 鹿，兔子。鹿，兔子。在古代，人类的狩猎手段还比较落后，弓箭威力也有限。在这样的在古代，人类的狩猎手段还比较落后，弓箭威力也有限。在这样的条件下，我们可以进一步假设，两个

8、猎人一起去猎鹿，才能猎获一条件下，我们可以进一步假设，两个猎人一起去猎鹿，才能猎获一只鹿，如果一个猎人单兵作战，他只能打到只鹿，如果一个猎人单兵作战，他只能打到4只兔子。如果他打兔只兔子。如果他打兔子，你去猎鹿，他可以打到子，你去猎鹿，他可以打到4只兔子，而你一无所获，得只兔子，而你一无所获，得0。假设打到一只鹿，两家平分，每家管假设打到一只鹿，两家平分，每家管10天；打到天；打到4只兔子，只能供只兔子，只能供一家吃一家吃4天。天。画出得益矩阵画出得益矩阵猎人博弈得益矩阵 10 10 4 0 0 4 4 4甲甲乙乙猎鹿猎鹿打兔打兔猎鹿猎鹿打兔打兔博弈论故事之五高薪养廉 “高薪养廉高薪养廉”是公

9、务员制度方面的一种理论，我们分是公务员制度方面的一种理论，我们分析一下析一下“高薪高薪”为什么能养廉？为什么能养廉？ 假设甲乙为一家单位的主任和书记关系密切的国家公假设甲乙为一家单位的主任和书记关系密切的国家公务员，务员，7代表现在政府给他们的高薪。如果两人受贿，代表现在政府给他们的高薪。如果两人受贿，因为串谋而一时不被人发现，他们可以达到因为串谋而一时不被人发现，他们可以达到9的位置；的位置；而一旦而一旦“东窗事发东窗事发”，他就要被撤职查办，他就要被撤职查办， 不受贿一不受贿一方得方得8 画出得益矩阵画出得益矩阵博弈论故事之五高薪养廉 我们把数据改变一下，变成薪水只有2，两个串谋，同时受贿

10、还是得9；一方受贿，一方不受贿，则分别为2，3。 得益矩阵？高薪养廉的得益矩阵 9 9 8 0 0 8 7 7 9 9 3 0 0 3 2 2甲甲受受贿贿不不受受贿贿受贿受贿 不受贿不受贿受受贿贿不不受受贿贿受贿受贿 不受贿不受贿乙乙乙乙甲甲完全信息静态博弈 完全信息：各博弈方都完全了解所有博弈方各种情况下完全信息：各博弈方都完全了解所有博弈方各种情况下得益得益 静态：博弈方是同时决策的，或者虽然各博弈方决策的静态：博弈方是同时决策的，或者虽然各博弈方决策的时间不一定真正一致，但他们在做决策时互相不知道其时间不一定真正一致，但他们在做决策时互相不知道其他博弈方的策略。他博弈方的策略。 完全信息

11、静态博弈：各博弈方同时决策，且所有博弈方完全信息静态博弈：各博弈方同时决策，且所有博弈方对各方得益都了解的博弈。对各方得益都了解的博弈。 如何求这一类博弈的解呢？博弈的结果如何？如何求这一类博弈的解呢？博弈的结果如何？博弈各方最终的策略组合？博弈各方最终的策略组合？上策均衡法上策均衡法 上策均衡：一个博弈的某个策略组合中的所有策略都是上策均衡：一个博弈的某个策略组合中的所有策略都是各个博弈方各自的上策各个博弈方各自的上策 上策：不管其它博弈方选择什么策略，一博弈方的某个策略给上策：不管其它博弈方选择什么策略，一博弈方的某个策略给他带来的得益始终高于其它的策略，至少不低于其他策略的策他带来的得益

12、始终高于其它的策略，至少不低于其他策略的策略略 囚徒的困境中的囚徒的困境中的“坦白坦白”；双寡头削价中；双寡头削价中“低价低价”。 上策均衡反应了所有方的绝对偏好，因此是非常稳定上策均衡反应了所有方的绝对偏好，因此是非常稳定 ，可以作出最肯定的预测。可以作出最肯定的预测。 上策均衡不是普遍存在的，所以该方法失效上策均衡不是普遍存在的，所以该方法失效 失效原因：失效原因： -3， -30， -6-6， 0-1， -1坦 白不坦白坦 白不坦白两个罪犯的得益矩阵囚徒囚徒 2囚囚徒徒1 严格下策反复消去法严格下策：不管其它博弈方的策略如何变化，给一个博弈方带来的收益总严格下策：不管其它博弈方的策略如何

13、变化，给一个博弈方带来的收益总是比另一种策略给他带来的收益小的策略是比另一种策略给他带来的收益小的策略思路：思路： 任何理性的博弈方都不可能选择严格下策任何理性的博弈方都不可能选择严格下策 把不可能选择的严格下策先排除掉排除法，从而留下较好的策略把不可能选择的严格下策先排除掉排除法，从而留下较好的策略做法：做法： 首先找出某博弈人的严格下策，把这个严格下策剔除后，剩下的是一首先找出某博弈人的严格下策，把这个严格下策剔除后，剩下的是一个不包含已剔除劣策略的新的博弈；然后再剔除这个新的博弈中的严个不包含已剔除劣策略的新的博弈；然后再剔除这个新的博弈中的严格下策；继续这个过程，直到没有劣策略存在。如

14、果剩下的策略组合格下策；继续这个过程，直到没有劣策略存在。如果剩下的策略组合是唯一的，这个唯一的策略组合就是严格下策反复消去法的均衡是唯一的，这个唯一的策略组合就是严格下策反复消去法的均衡 严格下策反复消去法1，01，30，10，40，22，0左中右上下1，01，30，40，2左中1，01，3左中 严格下策反复消去法 智猪博弈智猪博弈按等待按等待5，14，49，10，0大猪小 猪严格下策反复消去法 适用面：适用面： 严格下策反复消去法的适用面比上策均衡要更大些严格下策反复消去法的适用面比上策均衡要更大些 但也有很多博弈问题没有严格下策：田忌赛马、猜硬币、情但也有很多博弈问题没有严格下策：田忌赛

15、马、猜硬币、情侣博弈、交通博弈、石头剪刀布、此时，该方法失侣博弈、交通博弈、石头剪刀布、此时，该方法失效。效。 最大的用处：简化博弈最大的用处：简化博弈 失效原因失效原因 不同策略之间没有绝对的优劣，而只存在相对的、有条件的不同策略之间没有绝对的优劣，而只存在相对的、有条件的优劣优劣划 线 法思路：思路： 以策略之间的相对优劣关系，而不是绝对优劣关系为基础以策略之间的相对优劣关系，而不是绝对优劣关系为基础 先找出自己针对其他博弈方每种策略或策略组合（多人博弈）的最佳对策，先找出自己针对其他博弈方每种策略或策略组合（多人博弈）的最佳对策， 然后在此基础上，通过对其他博弈方策略选择的判断，然后在此

16、基础上，通过对其他博弈方策略选择的判断， 预测可能的结果和确预测可能的结果和确定自己的最优策略定自己的最优策略只有，两方均被划线的策略组合，才是稳定的策略表明给定一方采只有，两方均被划线的策略组合，才是稳定的策略表明给定一方采用该策略组合中的策略，则另一方也愿意采用该策略组合中的策略，该用该策略组合中的策略，则另一方也愿意采用该策略组合中的策略，该策略组合具有稳定性。策略组合具有稳定性。但是，许多博弈根本不不存在确定性的结果，划线法失效，比如猜硬币但是，许多博弈根本不不存在确定性的结果，划线法失效，比如猜硬币没有一个策略组合是双方同时愿意接受的，这样的博弈根本不可能没有一个策略组合是双方同时愿

17、意接受的，这样的博弈根本不可能有可以预言的博弈结果有可以预言的博弈结果也有时：情侣博弈中，用划线法有两个策略组合同时下面划线，这意味也有时：情侣博弈中，用划线法有两个策略组合同时下面划线，这意味着两个策略组合中的双方策略都是对对方策略的最佳对策都具有内着两个策略组合中的双方策略都是对对方策略的最佳对策都具有内在的稳定性但具体那一个会出现，无法确定。在的稳定性但具体那一个会出现，无法确定。 划线法1， 01， 30， 10， 40， 22， 0-5， -50， -8-8， 0-1， -1囚囚徒徒困困境境-1， 11， -11， -1-1， 1猜猜硬硬币币2， 10， 00， 01， 3情情侣侣博

18、博弈弈课堂习题 用划线法求出均衡解C1C2C3R1R2R30，44，05，34，00，45，33，53，56，6箭 头 法 思路：思路： 对博弈中的每一个策略组合进行分析，考察在每个策略组合对博弈中的每一个策略组合进行分析，考察在每个策略组合处各个博弈方能否通过单独改变自己的策略而增加得益处各个博弈方能否通过单独改变自己的策略而增加得益 与划线法一样都是基于策略之间的相对优劣关系进行分析的，与划线法一样都是基于策略之间的相对优劣关系进行分析的，所得到的结果也是一致的。所得到的结果也是一致的。 如果能，则从所分析的策略组合对应的得益数组引一箭头，如果能，则从所分析的策略组合对应的得益数组引一箭头

19、，到改变策略后策略组合对应的得益数组到改变策略后策略组合对应的得益数组 最后，只有指向，没有离开的策略组合为均衡解稳定最后，只有指向，没有离开的策略组合为均衡解稳定没有人愿意单独改变没有人愿意单独改变 箭 头 法1， 01， 30， 10， 40， 22， 0-3,-30， -6-6， 0-1， -1囚囚徒徒困困境境-1， 11， -11， -1-1， 1猜猜硬硬币币2， 10， 00， 01， 3情情侣侣博博弈弈 纳什均衡的定义纳什均衡：所有参与人的最优策略的组合给定该策略中纳什均衡：所有参与人的最优策略的组合给定该策略中 别人的选择，没有人有积极性改变自己的选择。别人的选择，没有人有积极性

20、改变自己的选择。策略空间：策略空间：博弈方博弈方 的第的第 个策略：个策略：博弈方博弈方 的得益：的得益：博弈：博弈：纳什均衡：在博弈纳什均衡：在博弈 中，如果由各个博弈中，如果由各个博弈方的各一个策略组成的某个策略组合方的各一个策略组成的某个策略组合 中，任一博弈中，任一博弈方方 的策略，都是对其余博弈方策略的组合的策略，都是对其余博弈方策略的组合 的最佳对策，也即的最佳对策，也即 对任意对任意 都成立，则称都成立，则称 为为 的一个纳什的一个纳什均衡均衡nSS ,1ijiSsiu,;,11nnuuSSG,;,11nnuuSSG),(*niss i),.,(*1*1*niiissss),.,

21、(),.,(*1*1*1*1*niijiiiniiiiisssssusssssuijiSs),(*nissGiij 纳什均衡的一致预测性质一致预测：一致预测： 如果所有博弈方都预测一个特定博弈结果会出现，所有博弈方都不会如果所有博弈方都预测一个特定博弈结果会出现，所有博弈方都不会利用该预测或者这种预测能力，选择与预测结果不一致的策略，即没利用该预测或者这种预测能力，选择与预测结果不一致的策略，即没有哪个博弈方有偏离这个预测结果的愿望，因此预测结果会成为博弈有哪个博弈方有偏离这个预测结果的愿望，因此预测结果会成为博弈的最终结果的最终结果 稳定的和自我强制的，所以是真正可预测的稳定的和自我强制的，

22、所以是真正可预测的 反之，不具有一致预测性的博弈结果，则难以避免预测和行为之间的反之，不具有一致预测性的博弈结果，则难以避免预测和行为之间的矛盾，甚至是自我否定的。矛盾，甚至是自我否定的。只有纳什均衡才具有一致预测的性质只有纳什均衡才具有一致预测的性质一致预测性是纳什均衡的本质属性一致预测性是纳什均衡的本质属性一致预测并不意味着一定能准确预测，因为有多重均衡，预测不一一致预测并不意味着一定能准确预测，因为有多重均衡，预测不一致的可能致的可能寻找纳什均衡C1C2C3R1R2R3100，1000，050，10150，01，160，00，3000，0200，200纳什均衡：举例 广告博弈 纳什均衡：

23、（做广告，做广告）战略做广告不做广告做广告4，415，1不做广告1，1510，10企业1企业2上次的作业 画出田忌赛马的得益矩阵 画出猜硬币博弈的得益矩阵 画出石头、剪子、布的得益矩阵 能否用我们今天的几种方法得到均衡解？ 你觉得它们的最佳应对策略是什么？ 严格竞争博弈和混合策略的引进一、猜硬币博弈-1， 11， -11， -1-1， 1正 面反 面猜硬币方猜硬币方盖盖硬硬币币方方正 面反 面（1）不存在前面定义的纳什均衡策略组合（2）关键是不能让对方猜到自己策略保持随机性 这类博弈很多，引出混合策略纳什均衡概念这类博弈很多，引出混合策略纳什均衡概念 混合策略、混合策略博弈 和混合策略纳什均衡

24、 混合策略混合策略：在博弈 中，博弈方 的策略空间为 ，则博弈方 以概率分布 随机在其 个可选策略中选择的“策略”，称为一个“混合策略”，其中 对 都成立，且 混合策略扩展博弈混合策略扩展博弈：博弈方在混合策略的策略空间（概率分布空间）的选择看作一个博弈，就是原博弈的“混合策略扩展博弈） 混合策略纳什均衡混合策略纳什均衡：包含混合策略的策略组合，构成纳什均衡任何博弈一方单独改变自己的策略，或者随机选择各个纯策略的概率分布，都不能给自己增加任何利益,;,11nnuuSSGi,1ikiissSki),(1ikiippp10ijpkj, 111ikipp求混合策略纳什均衡 思路： 各个博弈方选择的纯

25、策略的概率分布，要求满足使对方或其他博弈方采用不同策略的期望收益相同 一个例子该博弈无纯策略纳什均衡，可用混合策略纳什均衡分析5213BABApppp1352DCDCpppp博弈方1的混合策略博弈方2的混合策略2， 35， 23， 11， 5CDAB博弈方博弈方2博博弈弈方方1 策略 得益博弈方1 （0.8，0.2） 2.6博弈方2 （0.8，0.2） 2.6pA+pB=1; pC+pD=1 齐威王田忌赛马3，-31，-11，-11，-1-1，11，-11，-13，-31，-11，-11，-1-1，11，-1-1，13，-31，-11，-11，-1-1，1 1，-11，-13，-31，-11，

26、-11，-11，-11，-1-1，13，-31，-11，-11，-1-1，11，-11，-13，-3上中下上下中中上下中下上下上中下中上上中下上下中中上下中下上下上中下中上田田 忌忌齐齐威威王王得益矩阵PaPbPcPdPePfPg ph pi pj pk pl 多重均衡博弈和混合策略情侣博弈的混合策略纳什均衡2， 10， 00， 01， 3时 装足 球时装足球丈丈 夫夫妻妻子子夫妻之争夫妻之争3)1 (00)1 (1rrrr1)1 (00)1 (2pppp妻子的混合策略丈夫的混合策略夫妻之争博弈的混合策略纳什均衡夫妻之争博弈的混合策略纳什均衡 策略 得益妻子 （0.75，0.25） 0.67丈

27、夫 （1/3，2/3） 0.75 制式问题1， 30， 00， 02， 2ABAB厂商厂商2厂厂商商1制式问题制式问题 制式问题混合策略纳什均衡 A B 得益厂商1： 0.4 0.6 0.664厂商2： 0.67 0.33 1.296混合策略和严格下策反复消去法 在包括混合策略的情况下，关于严格下策反复在包括混合策略的情况下，关于严格下策反复消去法的结论仍然成立消去法的结论仍然成立 即任何一方都不会采用任何严格下策，不管它们是即任何一方都不会采用任何严格下策，不管它们是纯策略还是混合策略纯策略还是混合策略 严格下策反复消去法不会消去任何纳什均衡，包括严格下策反复消去法不会消去任何纳什均衡，包括

28、纯策略和混合策略纯策略和混合策略 如果经过反复消去后留下的策略组合是唯一的，那如果经过反复消去后留下的策略组合是唯一的，那么一定是纳什均衡么一定是纳什均衡 混合策略和严格下策反复消去法3， 10， 20， 23， 31， 31， 1LRUMD博弈方博弈方2博博弈弈方方123212111003eu23212111030eu博弈方2采用纯策略L时，博弈方1采用混合策略(1/2,1/2,0)的得益博弈方2采用纯策略R时，博弈方1采用混合策略(1/2,1/2,0)的得益 混合策略反应函数混合策略反应函数反应函数：一博弈方对另一博弈方每种可能的决策内容反应函数：一博弈方对另一博弈方每种可能的决策内容的最

29、佳反应决策构成的函数的最佳反应决策构成的函数-1， 11， -11， -1-1， 1正 面反 面猜硬币方猜硬币方正面反面猜硬币博弈猜硬币博弈盖盖硬硬币币方方(r,1-r)：盖硬币方选择正反面的混合策略概率分布：盖硬币方选择正反面的混合策略概率分布(q,1-q)：猜硬币方选择正反面的混合策略概率分布：猜硬币方选择正反面的混合策略概率分布则盖币方的期望支付为：盖币方的期望支付为：2r(1-2q)+(2q-1)猜币方的期望支付为：猜币方的期望支付为：2q(2r-1)-(2r-1)猜硬币博弈rq111/21/2)(2rRq )(1qRr 盖币方的反应函数： 0 如果q1/2r=0，1 如果q=1/2

30、1 如果q1/2q=0，1 如果如果r=1/2 0 如果如果r1/2情侣博弈2， 10， 00， 01， 3时装足球丈夫丈夫时装足球妻妻子子夫妻之争夫妻之争rq111/33/4(r,1-r)：妻子的混合策略概率分布：妻子的混合策略概率分布(q,1-q)：丈夫的混合策略概率分布：丈夫的混合策略概率分布)(2rRq )(1rRr 纳什均衡的选择和分析方法扩展 多重纳什均衡博弈的分析 共谋和防共谋均衡 多重纳什均衡博弈的分析 帕累托上策均衡 风险上策均衡 聚点均衡 相关均衡一、帕累托上策均衡（鹰鸽博弈）这个博弈中有两个纯策略纳什均衡，（战争，战争）和（和平，和平），显然后者帕累托优于前者，所以，（和平，和平）是本博弈的一个帕累托上策均衡。-5， -5-10， 88， -1010， 10战争和平国家国家2战争和平国国家家1战争与和平战争与和平二、风险上策均衡 考虑、顾