[精品]第7讲 自定义函数与编程简介

1、软 件 介 绍第7讲 数列与级数7.1 引言极限是微积分中最重要的根本内容之一。远在公元前3世纪，古希腊人阿基米德就采用了数列极限的思想来计算曲边三角形的面积。本讲的目的是通过计算机来发现数列的规律与极限状态的性质。7.1 引言所谓一个无穷数列是指按一定顺序排列的一组数a1，a2，an， (1)而一个无穷级数那么是由无穷项构成的和式. (2)数列与极限有着密不可分的关系。给定一个无穷级数(2)，它唯一确定了一个无穷数列S1，S2，.其中Sn = a1+an，n = 1，2，。7.1 引言所谓一个无穷数列是指按一定顺序排列的一组数a1，a2，an， (1)而一个无穷级数那么是由无穷项构成的和式.

2、 (2)数列与极限有着密不可分的关系。反之，给定一个无穷数列(1)，它也唯一地确定了一个无穷级数 ，这里b1= a1, bn = an an-1, n = 2, 3, 。而且无穷级数的和就是相应的无穷数列的极限.因此，无穷数列与无穷级数是可以转化的。7.1 引言对于给定的数列an, 需要研究的问题是：(1) 数列an有什么规律和性质。(2) 当n时，数列an的极限是什么。(3) 如果极限是无穷大,那么它趋向于无穷大的阶是多大(4) 如果数列的极限不存在, 那么它在无穷大时的极限状态怎样?对于给定一个无穷级数，也具有以上类似的问题。本讲首先以斐波那契数列和调和级数为例来探讨上述问题，然后讨论自然

3、对数的底e。7.2 斐波那契(Fibonacci)数列7.2.1 斐波那契(Fibonacci)数列的由来13世纪意大利著名数学家斐波那契在他的著作?算盘书?中记载着这样一个问题：一对刚出生的幼兔经过一个月后可长成成兔，成兔再经过一个月后可以繁殖出一对幼兔。假设兔子不会死亡，问一年后总共有多少对兔子?易知，兔子总数为以下数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，7.2 斐波那契(Fibonacci)数列7.2.1 斐波那契(Fibonacci)数列的由来易知，兔子总数为以下数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，其递推关系式由 Fn+2=Fn+1+Fn，n

4、= 1，2，F1 = 1，F2 = 1 (3)给出，该数列被称为斐波那契数列。7.2 斐波那契(Fibonacci)数列 Fn+2=Fn+1+Fn，n= 1，2，F1 = 1，F2 = 1 (3)该数列被称为斐波那契数列。7.2.2 斐波那契数列的极限为考察斐波那契数列的极限与规律，我们用计算机算出斐波那契数列每一项的值，并在平面上画出顺次连接点(n，Fn)，n=1，2，N的折线图，其中N是一个大整数。7.2 斐波那契(Fibonacci)数列7.2.2 斐波那契数列的极限【例7-1】取N=20，观察斐波那契数列的折线图。输入如下Mathematica程序：fn_ := fn - 1 + fn

5、 - 2; f0 = 1; f1 = 1;fib = Tablefi, i, 1, 20;g1 = ListPlotfib, PlotStyle - PointSize0.02;g2 = ListPlotfib, PlotJoined - True;Showg1, g2;7.2 斐波那契(Fibonacci)数列7.2.2 斐波那契数列的极限【例7-1】取N=20，观察斐波那契数列的折线图。输入如下Mathematica程序：fib = TableFibonaccii, i, 1, 20;g1 = ListPlotfib, PlotStyle - PointSize0.02;g2 = List

6、Plotfib, PlotJoined - True;Showg1, g2;7.2 斐波那契(Fibonacci)数列7.2.2 斐波那契数列的极限【例7-1】取N=20，观察斐波那契数列的折线图。斐波那契数列的折线图： 7.2 斐波那契(Fibonacci)数列7.2.2 斐波那契数列的极限练习 分别取N = 50, 100, 200, 500，观察斐波那契数列的折线图。斐波那契数列是否单调递增?它是否趋向于无穷?它增加的速度是快还是慢?7.2 斐波那契(Fibonacci)数列7.2.2 斐波那契数列的极限为进一步研究斐波那契数列Fn的特性，将Fn取对数，在直角坐标系中画出顺次连接点(n，

7、lnFn)，n = 1，2，N的折线图7.2 斐波那契(Fibonacci)数列7.2.2 斐波那契数列的极限【例7-2】取n = 20，画出(n，lnFn)的折线图，并对以上数据进行拟合。在直角坐标系中画出顺次连接(n，lnFn)，n = 1，2，20的折线图。fib = TableFibonaccii, i, 1, 20;lgf = Logfib;g1 = ListPlotlgf, PlotStyle - PointSize0.02;g2 = ListPiotlgf, PlotJoined - True;Showg1, g2;7.2 斐波那契(Fibonacci)数列7.2.2 斐波那契数

8、列的极限【例7-2】取n = 20，画出(n，lnFn)的折线图，并对以上数据进行拟合。在直角坐标系中画出顺次连接(n，lnFn)，n = 1，2，20的折线图。7.2 斐波那契(Fibonacci)数列7.2.3 斐波那契数列的通项公式斐波那契数列满足递推关系Fn+2 = Fn+1 + Fn (3)称这样的递推关系为二阶线性(齐次)差分方程。怎样寻找斐波那契数列精确的通项公式呢?7.2 斐波那契(Fibonacci)数列7.2.3 斐波那契数列的通项公式根据前面的观察，可以猜测数列Fn的通项具有指数形式，不妨设Fn =n，将Fn = n代入递推关系式(3)，得到n+2 = n+1 + n。消

9、去非零因子n，有2= +1。从而解得设Fn = c11n + c22n ，代入(3)式，并由F1 = 1，F2 = 1即可确定常数c1和c2为7.2 斐波那契(Fibonacci)数列7.2.3 斐波那契数列的通项公式设Fn = c11n + c22n ，代入(3)式，并由F1 = 1，F2 = 1即可确定常数c1和c2为因此，斐波那契数列的通项公式为 (4)7.2 斐波那契(Fibonacci)数列7.2.4 斐波那契数列的几个例子斐波那契数列与自然界中的许多现象，如植物的枝干与叶子的生长，有密切联系。它在纯数学领域的一个极为成功的应用是协助苏联数学家马蒂雅舍维奇解决了著名的希尔伯特(Hil

10、bert)第十问题。此外，它在优化、运筹以及计算机科学与艺术领域都有着极大的应用价值，下面给出斐波那契数列的几个例子。7.2 斐波那契(Fibonacci)数列7.2.4 斐波那契数列的几个例子(蜜蜂的“家谱)蜜蜂的繁殖规律十分有趣。蜂后所产的卵，受精的孵化为雌蜂(即工蜂或蜂后)，未受精的孵化为雄蜂。在追溯雄蜂的家谱时，一只雄蜂的第n代子孙数目刚好就是斐波那契数列的第n项Fn。7.2 斐波那契(Fibonacci)数列7.2.4 斐波那契数列的几个例子(树的分枝)如果一棵树每年都在生长，第二年有两个分枝，通常第三年就有三个分枝，第四年五个，第五年八个，每年的分枝数都是斐波那契数。7.2 斐波那

11、契(Fibonacci)数列7.2.4 斐波那契数列的几个例子(杨辉三角形与斐波那契数列)把杨辉三角形中的数据排列在表格中，自左下至右上斜线相加，就可以得到斐波那契数列，如表23-1所示。杨辉三角形与斐波那契数列11235813211111211331146411510105116152015611721353521717.2 斐波那契(Fibonacci)数列7.2.4 斐波那契数列的几个例子练习4 对斐波那契数列，设观察数列gn的变化趋势。7.3 调和级数7.3.1 调和级数的定义我们熟知，数学分析中的p-级数： (5)当p 1时收敛，当p1时发散。特别地，当p = 1时，级数(5)称为调

12、和级数。7.3 调和级数7.3.2 调和级数的发散速度一个令人感兴趣的问题是，调和级数发散到无穷的速度有多快?或者说数列趋于无穷的速度有多快?一个直观的方法仍然是画出由点(n，Sn)，n = 1，2，N构成的折线图。7.3 调和级数7.3.2 调和级数的发散速度【例7-3】取充分大的N，观察调和级数的折线图。你觉得它发散的速度是快还是慢?将它的图形与作比较，谁的发散速度快?取n = 30，分别画出调和级数的折线图、与的比较图如下。7.3 调和级数7.3.2 调和级数的发散速度【例7-3】取充分大的N，观察调和级数的折线图。你觉得它发散的速度是快还是慢?将它的图形与作比较，谁的发散速度快?Cle

13、arn; sn_ := NSum1/i, i, n; n = 30;sn = Tablesi, i, 1, n;g1 = ListPlotsn, PlotStyle - PointSize0.02, DisplayFunction - Identity;g2 = ListPlotsn, PlotJoined - True, DisplayFunction - Identity;g3 = Showg1, g2, DisplayFunction - $DisplayFunction;7.3 调和级数7.3.2 调和级数的发散速度【例7-3】取充分大的N，观察调和级数的折线图。你觉得它发散的速度是快

14、还是慢?将它的图形与作比较，谁的发散速度快?7.3 调和级数7.3.2 调和级数的发散速度【例7-3】取充分大的N，观察调和级数的折线图。你觉得它发散的速度是快还是慢?将它的图形与作比较，谁的发散速度快?7.3 调和级数7.3.2 调和级数的发散速度【例7-3】取充分大的N，观察调和级数的折线图。你觉得它发散的速度是快还是慢?将它的图形与作比较，谁的发散速度快?f1x_ := x; f2x_ := Sqrtx; f3x_ := x(1/4);gf1 = Plotf1x, x, 0, 20, PlotStyle - RGBColor1, 0, 0, DisplayFunction - Ident

15、ity;gf2 = Plotf2x, x, 0, 20, PlotStyle - RGBColor0, 1, 0, DisplayFunction - Identity;gf3 = Plotf3x, x, 0, 20, PlotStyle - RGBColor0, 0, 1, DisplayFunction - Identity;7.3 调和级数7.3.2 调和级数的发散速度【例7-3】取充分大的N，观察调和级数的折线图。你觉得它发散的速度是快还是慢?将它的图形与作比较，谁的发散速度快?7.3 调和级数7.3.2 调和级数的发散速度【例7-3】取充分大的N，观察调和级数的折线图。你觉得它发散的

16、速度是快还是慢?将它的图形与作比较，谁的发散速度快?Showg3, gf1, DisplayFunction - $DisplayFunction;Showg3, gf2, DisplayFunction - $DisplayFunction;Showg3, gf3, DisplayFunction - $DisplayFunction;7.3 调和级数7.3.2 调和级数的发散速度【例7-3】取充分大的N，观察调和级数的折线图。你觉得它发散的速度是快还是慢?将它的图形与作比较，谁的发散速度快? 7.3 调和级数7.3.2 调和级数的发散速度从以上结果可看出，调和级数发散的速度较慢。但是，它到

17、底以什么样的速度发散到无穷?让我们再做下面的练习。7.3 调和级数7.3.2 调和级数的发散速度练习5 对充分大的一系列n，计算S2n Sn，你能否猜测出S2n Sn当n趋于无穷的极限?更一般地， 趋于无穷的速度是什么?反过来，固定n，让k趋于无穷， 趋于无穷的速度是什么?你能否由此得出Sn当n趋于无穷的极限阶?7.3 调和级数7.3.2 调和级数的发散速度感觉级数增长速度的一种方法是定义函数J(n)，它是不小于级数局部和的最小整数。例如J(1) = 1，J(3) = 2，J(4) = 3。sn_:=NSum1/i, i, n;jn_:=Ceilingsn;7.3 调和级数7.3.2 调和级数

18、的发散速度练习6 对n = 1，2，N(N是某个较大整数)，计算J(2n) J(n)。你能作出什么猜测?n = 400;p = Tablei, j2 i - ji, i, 1, n;TableFormpx = pAll, 2;ListPlotxJ(2n)J(n)成立吗?给定n，你能找到m作为n的函数，它能保证J(m)=J(n)+1吗?7.3 调和级数7.3.2 调和级数的发散速度练习6 对n = 1，2，N(N是某个较大整数)，计算J(2n) J(n)。你能作出什么猜测?n = 400;p = Tablei, j2 i - ji, i, 1, n;TableFormpx = pAll, 2;L

19、istPlotx7.3 调和级数7.3.2 调和级数的发散速度对每个n，设J(m) = J(n)+1，那么mn的范围是什么?sn_:=NSum1/i, i, n;jn_:=Ceilingsn;mn_:=Modulek, i, (k = jn; i=n; Whileji None, m, n=10m, an, An7.4 自然对数的底e7.4.1 e的由来【例7-4】观察当n趋于无穷大时，数列 和 的变化趋势：(1) 求出当n = 10m，m = 1，2，6时an，An的值并观察变化趋势。解：(1) 输入如下代码：7.4 自然对数的底e7.4.1 e的由来【例7-4】观察当n趋于无穷大时，数列

20、和 的变化趋势：(1) 求出当n = 10m，m = 1，2，6时an，An的值并观察变化趋势。解：(1)计算出an，An的值如下表7.4 自然对数的底e7.4.1 e的由来【例7-4】观察当n趋于无穷大时，数列 和 的变化趋势：(1) 求出当n = 10m，m = 1，2，6时an，An的值并观察变化趋势。解：(1) 输入如下代码：t1 = Tablek, Na10k, k, 0, m;t2 = Tablek, NA10k, k, 0, m;ListPlott1, PlotStyle - PointSize0.02;ListPlott2, PlotStyle - PointSize0.02;

21、7.4 自然对数的底e7.4.1 e的由来【例7-4】观察当n趋于无穷大时，数列 和 的变化趋势：(1) 求出当n = 10m，m = 1，2，6时an，An的值并观察变化趋势。解：(1) 输入如下代码：7.4 自然对数的底e7.4.1 e的由来【例7-4】观察当n趋于无穷大时，数列 和 的变化趋势：(1) 求出当n = 10m，m = 1，2，6时an，An的值并观察变化趋势。解：(1) 画出其散点图7.4 自然对数的底e7.4.1 e的由来【例7-4】观察当n趋于无穷大时，数列 和 的变化趋势：(2) 在同一坐标系中画出下面三个函数在区间1，4上的图像： ， ，y = e观察当x增大时图像

22、的走向。7.4 自然对数的底e7.4.1 e的由来【例7-4】观察当n趋于无穷大时，数列 和 的变化趋势：解：(2) 输入如下代码：y1x_ := (1 + 1/10 x)(10 x); y2x_ := (1 + 1/10 x)(10 x + 1); y = E;Ploty, y1x, y2x, x, 0, 4, PlotStyle - RGBColor1, 0, 0, RGBColor0, 1, 0, RGBColor0, 0, 1;7.4 自然对数的底e7.4.1 e的由来【例7-4】观察当n趋于无穷大时，数列 和 的变化趋势：解：(2) 输入如下代码：7.4 自然对数的底e7.4.1 e

23、的由来【例7-4】观察当n趋于无穷大时，数列 和 的变化趋势：解：(2) 画出三个函数在区间1，4上的图像7.4 自然对数的底e7.4.1 e的由来练习9 将例7-4中的作图区间换成2，4, 或3，5, 或5，6，观察所得到的图像。通过观察可以看到, 当n增大时 递增， 递减。随着n的无穷增大，an，An无限接近，并趋于共同的极限e：2.718 28。7.4 自然对数的底e7.4.2 用级数的局部和近似e将以e为底的指数函数y = ex展开成幂级数，有可以证明该级数的收敛区间为( -，+)。令x = l，得 (7)记我们可以选择适当的n，通过计算Sn得到e的近似值。7.4 自然对数的底e7.4

24、.2 用级数的局部和近似e【例7-5】利用(7)式计算e的近似值，精确到小数点后面10位，并与例7-4的结果进行比较。解：输入如下代码：sn_ := 1 + Sum1/(k!), k, 1, n;t = Tablei, Nsi, 20, NAbsE - si, 20, i, 5, 20;TableFormt, TableHeadings - None, n, sn, Error7.4 自然对数的底e7.4.2 用级数的局部和近似e【例7-5】利用(7)式计算e的近似值，精确到小数点后面10位，并与例7-4的结果进行比较。解：利用(7)式计算e的近似值如表。7.4 自然对数的底e7.4.2 用级

25、数的局部和近似e练习10 (1) 计算当x = 10-n，n = 1，2，3，4，5，6，7时，(x) = 1g(1+x)/x的值。并观察当x趋于0时(x)是否接近于某一个极限值 。Clearx, l, plx_ := Log10, 1 + x/x;p = Tablex = 10(-n), Nlx, 10, n, 9;TableFormp7.4 自然对数的底e7.4.2 用级数的局部和近似e练习10 (1) 计算当x = 10-n，n = 1，2，3，4，5，6，7时，(x) = 1g(1+x)/x的值。并观察当x趋于0时(x)是否接近于某一个极限值 。7.4 自然对数的底e7.4.2 用级数

26、的局部和近似e练习10 (1) 计算当x = 10-n，n = 1，2，3，4，5，6，7时，(x) = 1g(1+x)/x的值。并观察当x趋于0时(x)是否接近于某一个极限值 。就是常用对数y = lgx在x = 1处的导数7.4 自然对数的底e7.4.2 用级数的局部和近似e练习10 (1) 计算当x = 10-n，n = 1，2，3，4，5，6，7时，(x) = lg(1+x)/x的值。并观察当x趋于0时(x)是否接近于某一个极限值 。 (2) 计算当x = 10-n，n = 1，2，3，4，5，6，7时，(x) = ln(1+x)x值，并观察当x趋于0时(x)是否趋于某一个极限值? 的

27、值是多少?PPT全名：PowerPoint是美国微软公司出品的办公软件系列重要组件之一另外还有Excel、Word等；最常用的就是用来制作幻灯片。MicrosoftOfficePowerPoint是一种演示文稿图形程序，该软件是功能强大的演示文稿制作软件；可协助用户单独或联机创立永恒的视觉效果；它增强了多媒体支持功能，利用该软件制作的文稿，可以通过不同的方式播放，也可将演示文稿打印成一页一页的幻灯片，使用幻灯片机或投影仪播放，可以将演示文稿保存到光盘中以进行分发，并可在幻灯片放映过程中播放音频流或视工程列表; 新增工程; 修改工程; 删除工程; 工程授权; 工程任务统计; 工程资源管理; 工程

28、进度管理; 工程任务包管理; 工程文档管理; 工程费用管理; 工程归档; 工程查询; 当前任务; 工程统计分析。4. 库存管理掌握库存的动态流动状况，减少库存资金的占用，加强资金的合理使用。选择“库存管理模块后，在主菜单下将出现库存资料维护、入库、出库、库存查询、仓库资料维护、业务类型维护、货物单位资料维护几个子菜单。左方出现“存货管理模块的树状结构的库存分类信息。右边会出现库存列表，当没有选择库存分类的时候，库存资料列表将显示所有库存工程，按录入时间排序;在选择某个分类的时候，将显示该分类下的库存列表，库存列表会把当前的库存数量显示出来，点击某库存的链接将显示库存工程的详细信息。此模块包含以

29、下主要功能：新增分类; 修改分类; 删除分类; 新增存货工程; 修改存货资料; 删除存货资料; 库存查询; 入库登记; 出库登记; 查询存货收发记录; 仓库资料维护; 业务类型资料维护; 货物单位资料维护。=原文出自【比特网】，转载请保存原文链接：频流。对用户界面进行了改进并增强了对智能标记的支持，可以更加便捷地查看和创立高品质的演示文稿一套完整的PPT文件一般包含：片头动画、PPT封面、前言、目录、过渡页、图表页、图片页、文字页、封底、片尾动画等；所采用的素材有：文字、图片、图表、动画、声音、影片等；国际领先的PPT设计公司有：themegallery、poweredtemplates、pr

30、esentationload等；近年来，中国的PPT应用水平逐步提高，应用领域越来越广；PPT正成为人们工作生活的重要组成局部，在工作汇报、企业宣传、产品推介、婚礼庆典、工程竞标、管理咨询等领域。叙利亚内战局势急剧升级，国营电视台证实，国防部长拉杰哈今天在首都的一次自杀式袭击中被炸死，是叙利亚国内冲突爆发以来，政府军损失的最高级军方官员，另外，内政部长、情报首长也被炸伤。袭击者是总统巴沙尔的一名近身侍卫。叙利亚自由军和伊斯兰旅两个反政府组织都宣称对袭击负责，但否认事件是国营电视台所说的自杀式袭击，而是将fgdfgdfgdfgdgdfgdfgdfgdfgfhthhhfhh dhfdhdsfhgf

31、hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhtttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttthhhhhhhhhhhhhaaaaaaaaaaahhhhttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttthhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv炸弹事先放在会议室

32、内。事发后，叙利亚政府已经任命了原参谋长弗雷伊为新任国防部长。叙利亚国营电视台新闻节目周三迅速公布了事件，称大马士革的国家平安部门遭到自杀袭击，当时内阁官员和军方高层正在开会，多名官员严重受伤，国防部长丧生。被炸死的叙利亚国防部长拉杰哈，本月九号才刚刚出席过，叙利亚防空部队的实弹演习，叙利亚电视台也在拉哈杰死后，马上播出他视察演习的画面。另外，总统巴沙尔的姐夫、副国防部长舒卡特，也在袭击中丧生。近几日以来，大马士革一直在爆发剧烈战斗，冲突已经越来越接近总统巴沙尔的权力核心。有上载到网络的视频显示，在大马士革的苏塞村不断传出重型炮火声。又有段视频显示，逊尼派社区米丹发生战斗后，四处断壁残垣。此外

33、，大马士革西部也据称有军营遇袭起火。连串冲突迫使近日大批叙民众，当中包括两名叙利亚将军，逃亡到邻国土耳其。另外，有上载到网络的视频显示，叙利亚自由军在北部阿扎兹训练。有自由军成员说，自己本来效忠巴沙尔部队，在政府军滥杀平民后变节PPT全名：PowerPoint是美国微软公司出品的办公软件系列重要组件之一另外还有Excel、Word等；最常用的就是用来制作幻灯片。MicrosoftOfficePowerPoint是一种演示文稿图形程序，该软件是功能强大的演示文稿制作软件；可协助用户单独或联机创立永恒的视觉效果；它增强了多媒体支持功能，利用该软件制作的文稿，可以通过不同的方式播放，也可将演示文稿打

34、印成一页一页的幻灯片，使用幻灯片机或投影仪播放，可以将演示文稿保存到光盘中以进行分发，并可在幻灯片放映过程中播放音频流或视工程列表; 新增工程; 修改工程; 删除工程; 工程授权; 工程任务统计; 工程资源管理; 工程进度管理; 工程任务包管理; 工程文档管理; 工程费用管理; 工程归档; 工程查询; 当前任务; 工程统计分析。4. 库存管理掌握库存的动态流动状况，减少库存资金的占用，加强资金的合理使用。选择“库存管理模块后，在主菜单下将出现库存资料维护、入库、出库、库存查询、仓库资料维护、业务类型维护、货物单位资料维护几个子菜单。左方出现“存货管理模块的树状结构的库存分类信息。右边会出现库存列表，当没有选择库存分类的时候，库存资料列表将显示所有库存工程，按录入时间排序;在选择某个分类的时候，将显示该分类下的库存列表，库存列表会把当前的库存数量显示出来，点击某库存的链接将显示库存工程的详细信息。此模块包含以下主要功能：新增分类; 修改分类; 删除分类; 新增存货工程; 修改存货资料; 删除存货资料; 库存查询; 入库登记; 出库登记; 查询存货收发记录; 仓库资料维护; 业务类型资料维护; 货物单位资料维护。=原文出自【比特网】，转载请保存原文链接：频流。对用户界面进行了改进并增强了对智能标记的支持，可以