1084计算方法（本）-国家开放大学2018年1月至2021年7月期末考试真题及答案（201801-202107不少于6套）

1、试卷代号：1084计算方法（本） 试题（半开卷） 2018年1月一、单项选择题（每小题5分，共15分）1已知近似值Xl=6.28，X2 =3. 720，则x1 X2准确到( ) A. 10-4 B10-3 C10-2 D10-12已知厂(z) =X2 +X一1，则差商f0，1，2=( ) A1 B2 C3 D43用雅可比法求出实对称矩阵的特征值和特征向量是( ) A按模最大的 B按模最小的 C与某特征值最接近的 D全部的二、填空题（每小题5分，共15分） 4过定点(x0，y0)，(X1，y1)的拉格朗日插值多项式为 5求积公式：，(z)dx丢厂(一l)+鲁厂(0)+，(1)的代数精确度为 6由

2、切线法迭代公式生成的序列xn）单调 收敛于非线性方程f (x)=0的唯一根x*三、计算题（每小题15分，共60分）8用紧凑格式解方程组 9用雅可比迭代法解方程组 (l)证明雅可比法收敛； (2)写出解方程组的雅可比法迭代公式； 10.用预估一校正法求初值问题： 处的解四、证明题（本题10分） 试卷代号：1084计算方法（本） 试题答案及评分标准（半开卷）（供参考） 2018年1月一、单项选择题（每小题5分，共15分）1D 2A 3D二、填空题（每小题5分，共15分）三、计算题（每题15分，共60分）四、证明题（本题10分）试卷代号：1084计算方法（本） 试题（半开卷）2018年7月一、单项选

3、择题（每小题5分，共15分）1近似值0. 08620102的有效数位为( ) A.2 B3 C4 D52求积公式02f（x）dx13f(0)+43f(1)13f(2)的代数精确度为( ) A.4 B3 C2 D13已知A=4332，则化A为对角阵的平面旋转变换角= ( ) A6 B4 c3 D2二、填空题（每小题5分，共15分）4用辛卜生公式计算积分241xdx .5计算a(a0)的切线法迭代公式为 .6欧拉法的局部截断误差的阶为 .三、计算题（每小题15分，共60分）7已知1=1，4=2，9=3，用牛顿插值法求3的近似值，并估计误差，8用列主元消元法解方程组： 2x1+2x2-2x3=44x

4、1+2x2-2x3=8-2x1-3x2+12x3=59用高斯一塞德尔迭代法解方程组： 8x1+x2+x3=12x1+8x2+2x3=2x1+x2+8x3=1(1)证明高斯一塞德尔迭代法收敛；(2)写出高斯一塞德尔法迭代公式；(3)取初始值X(0)=(0,0,0)T，求出X(1)10.用双点弦法求方程x3-4x+1=0的最小正根：(1)确定含根区间；(2)检验收敛条件；(3)写出双点弦法迭代公式，计算出x2，四、证明题（本题10分） 一11.设Ai(i=0,1，,n)为内插求积公式的系数，证明i=0nAixi2=13(b3-a3)(n 2).试卷代号：1084计算方法（本） 试题答案及评分标准（

5、半开卷） 2018年7月一、单项选择题（每小题5分，共15分） 1C 2B 3A二、填空题（每小题5分，共15分） 42536 5xn+1=12(xn+axn)(n=0,1,2,) 6. O=(h2)三、计算题（每题15分，共60分）7作差商表：xiyi一阶差商二阶差商1142139315-160 3N23=1+133-1-1603-13-4=1.7 （10分）因为fx=x，f(x)=38x-52, M3=38所以余项R23M33!3-13-43-9=34 8用列主元法解方程组得 2x1+2x2-2x3=44x1+2x2-2x3=8-2x1-3x2+12x3=54x1+2x2-2x3=8x2-

6、x3=0-2x2+11x3=94x1+2x2-2x3=8-2x2+11x3=992x3=92 回代得方程组的解为X=(2，1，1)T （15分） 9解： (1)因为A为严格对角占优矩阵，所以高斯一塞德尔迭代法收敛 （4分） (2)高斯一塞德尔法迭代公式为： x1(m+1)=18(1-x2m-x3m)x2m+1=182-2x1m+1-2x3m m=0,1,x3m+1=18(1-x1m+1-x2m+1) （10分） (3)取初值X(0)=(0,0,0)T计算得x11=18，x21=732，x31=21256 (15分) 10.解： (1)设fx=x3-4x+1,由于f0=10,f0.5=-0.87

7、50所以含根区间为x*0，0.5 (2)fx=3x2-4，f(x)=6x,K=M22m1=613 ，=KR =3132，Rnx=0 所以i=0nAixi2=abx2dx=13(b3-a3)（10分）试卷代号：1084计算方法（本） 试题（半开卷） 2019年1月一、单项选择题（每小题5分，共15分）1已知正近似值a，b，则(ab)( ) A(a) (b) B(a)(b) Cbaa(b) Da(a)b(b)2用n2的复化梯形公式计算积分0111+xdx( ) A1724 B1116 C712 D343已知X=(2，-4，8)r，则X1( ). A-4 B8 C84 D14二、填空题（每小题5分，

8、共15分）4近似值0. 25860103的误差限为_.5已知f(0)=1，f(2)=3，用插值法求f (1)的近似值为_.6用欧拉法求初值问题y=2yy0=1，h=0.1，y1=_. 三、计算题（每小题15分，共60分） 7求矛盾方程组x1+x2=4x1-x2=32x1-x2=6的最小二乘解 8用紧凑格式解方程组： 2 1 14 5 42 4 4x1x2x32329用雅可比迭代法解方程组： 5x1+x2+x3=42x1+5x2+2x3=x1+x2+5x3=47 取初始值X(0) =(1，1，1)T，求出X(1)10用一般迭代法求方程x35x10的最小正根（计算出x1）四、证明题（本题10分）1

9、1设li(x)（i=0，1，n）为n次插值基函数，证明 i=0n li(x)xi3 =x2 (n3).试卷代号：1084计算方法（本） 试题答案及评分标准（半开卷）（供参考） 2019年1月一、单项选择题（每小题5分，共15分） 1C 2A 3D二、填空题（每小题5分，共15分） 412102 5. 2 6. 1.2三、计算题（每题15分，共60分）7解：设(x1,x2)=(x1+x2-4)2+(x1-x2-3)2+(2x1-x2-6)2， 由 x1=26x1-2x2-19=0 x2=2-2x1+3x2+5=0 ，得法方程组 6x1-2x2=19-2x1+3x2=-5 （12分） 故该矛盾方程

10、组的最小二乘解为x1=4714，x2=814 （15分） 8解：完成矩阵的三角分解A=LR A=2 1 14 5 42 4 4=1 2 1 1 1 12 1 1 3 2 1 (8分) 解方程组1 2 1 1 1 1y1y2y3=232，得Y=2-11 解方程组2 1 1 3 2 1x1x2 x3=2-11 得线性方程组的解为X=(1，-1,1)T (15分) 9解：因为A为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛 (4分)雅可比法迭代公式为x1(m+1)=154-x2m-x3m x2(m+1)=15(7-2x1m-2x3(m)x3(m+1)=154-x1m-x2m m=0，1 取X(0)=(1，

11、1，1)T，计算得x(1)=(25，35，25)T （15分） 10解：设f(x)=x3-5x+1=0，由于f(0)=10，f (0.5)=-1.3750 所以得区间内的唯一根x*0，0.5 （4分） 在区间0，0.5上将方程同解变形为x=15(x3+1)=(x) 而=max(x)=35(0.5)2=0.15o）的切线法迭代公式为Xn+1=12xn+axnn=0,1,试卷代号：1084计算方法（本） 试题答案及评分标准（半开卷） 2019年7月一、单项选择题（每小题5分，共15分） 1B 2A 3C二、填空题（每小题5分，共15分） 4(x1)+(x2) 5x1+x22 635 三、计算题（每

12、题15分，共60分） 7解：已知节点为x0=13，x1=23，计算系数得 A0=01x-2313-23dx=12； A1=01x-1323-13dx=12 则内插求积公式为01fxdx12f13+12f(23) （10分j 已知求积公式有2个节点，此求积公式至少有1次代数精确度， 令fx=x2，左边=01x2dx=13，右边=12(13)2+12(23)2=518，左边右边， 因此，此求积公式具有1次代数精确度，”（15分）| 8解：用列主元法解方程组 -x1+2x2 =2-x1+3x3=12x1-x2-x3=12x1-x2-x3=1-12x2+52x3=3232x2-12x3=522x1-x

13、2-x3=132x2-12x3=5273x373 回代解得X=(2，2，1)T （15分） 9解：因为A为严格对角占优矩阵，所以高斯一塞德尔迭代法收敛 （4分） 高斯一塞德尔法迭代公式为x1(m+1)=110(4-x2m-x3(m)x2(m+1)=1107-2x1m+1-2x3mx3(m+1)=110(4-x1m+1-x2(m+1) m=0.1取初始值X（0）=（0，0，0）T计算得X（1）=（410，62100，2981000）T （15分） 10解：利用预估一校正法公式得： yn+1(0)=0.4xn+0.8ynyn+1=yn+0.1(2xn-yn+2xn+1-yn+1(0)因为x0=0，

14、y0=1，n=0,1 计算得：y1=0.86，y2=0.8172. （15分） 四、证明题（本题10分） 11.证明：计算a(a0)等同于求方程x2-a=0的正根， 令fx=x2-a，fx=2x，代入切线法迭代公式得： xn+1=xn-xn2-a2xn=12xn+axn，n=0.1， （10分） 试卷代号：1084 座位号口口国家开放大学2 0 1 9年秋季学期期末统一考试计算方法（本）试题（半开卷） 2020年1月一、单项选择题（每小题5分，共15分）1已知函数f(x1，x2)= x1x2，则(x1， x2)( ) A(x1)(x2) B. x1(x1)+ x2(x1) C . x2(x1)

15、 - x1(x2) D. x2(x1)+ x1(x2)2已知函数f(x) = x 3 -2 x +1，则二阶差商f0，1，2=( ) A.1 B3 C. 4 D. 53用切线法求方程x 3 -4 x +2=0根的迭代公式为( ) Ax n+1= x n- xn3-4xn+23xn2-4，n=0.1，Bx n+1= x n +xn3-4xn+23xn2-4，n=0.1，C. x n+1= xn3-4x n+23xn2-4，n=0.1， D. x n+1= x n-3xn2-4xn3-4x n+2，n=0.1，二、填空题（每小题5分，共15分） 4近似值528. 60的准确数位为 。 5线性方程组

16、2x1+4x2+3x3=13x1+5x2+4x3=12x1+3x2+2x3=1用列主元消元法经一次消元后得到的第3个方程为 。 6已知X=(2，-1，3)T，则X2=_三、计算题（每小题15分，共60分） 7求积分01f(x)dx以x0 =14, x1 =12, x2 =34为节点的内插求积公式，并求其代数精确度8用n =4的复化梯形公式计算积分01dx1+x，并估计误差9. 用直接三角分解法解方程组 211454244 x1x2x3=131 .10用欧拉法求初值问题：y=x+yy0=1 在x=0(0.1)0.2处的解四、证明题（本题10分）11.设lk(x）(k=0，1，n)为n次插值基函数

17、，证明当n3时，有k=0nlk(x)xk3=x3试卷代号：1084国家开放大学2 0 1 9年秋季学期期末统一考试计算方法（本） 试题答案及评分标准（半开卷）2020年1月一、单项选择题（每小题5分共15分） 1D 2B 3A二、填空题（每小题5分，共15分） 4. 10-2 5-13x2-23x3=13 614三、计算题（每小题15分，共60分） 7求积分01f（x）dx以x0=14，x1=12，x2=34为节点的内插求积公式，并求其代数精确度. 解 已知节点为x0=14，x1=12，x2=34，计算系数得 A0=01(x-12)(x-34)(14-12)(14-34)dx=23 A1=01

18、(x-14)(x-34)(12-14)(12-34)dx=-13 A2=01(x-14)(x-12)(34-14)(34-12)dx=23则内插求积公式为01fxdx23f14-13f12+23f(34). （10分） 已知求积公式有3个节点，此求积公式至少有2次代数精确度 . 令f(x)=x3，左边=01x3dx=14，右边=23（14）3-13（12）3+23（34）3=14，左边=右边； 令f(x)=x4，左边=01x4dx=15，右边=23(14)4-13(12)4+23(34)4=37192， 左边右边， 因此，此求积公式具有3次代数精确度 . （15分） 8用n=4的复化梯形公式计

19、算积分01dx1+x，并估计误差. 解 用n=4的复化梯形公式计算得 01dx1+x181+211+14+11+12+11+34+11+1 （10分） =181+245+23+47+120.6970 在区间0，1上，M2=maxf（x）=2，则误差估计为 R(f)M21216=1960.01 （15分） 9.用直接三角分解法解方程组211454244x1x2x3=131， 解 对系数矩阵A直接分解得 A=211454244=121111211321， （5分） 求解方程组LY=b，121111y1y2y3=131，得Y=11-1， 再求解方程组RX =Y，211321x1x2x3=11-1，得

20、方程组的解为X=121-1 (15分) 10用欧拉法求初值问题：y=x+yy0=1在x=0(0.1)0.2处的解 . 解 将f(x，y)=x+y，h=0.1代人欧拉法公式得 yn+1=yn+hf(xn，yn)=0.1xn+1.1yn，n=0.1 （10分） 由x0 = 0，y0 = 1，计算得y1 =1.1，y2 =1.22 （15分）四、证明题（本题10分）11设lk(x)(k=0.1，n)为n次插值基函数，证明当n3时，有k=0nlkxxk3=x3.证明 由拉格朗日插值法可知f(x)=Ln（x）+Rn(x).设f(x)=x3，由于n3，余项Rn(x)=fn+1n+1!x=0，故 k=0nl

21、k(x)xk3=x3 . (10分)试卷代号：1084国家开放大学2 0 2 0年春季学期期末统一考试计算方法（本） 试题（开卷）2020年7月一、单项选择题（每小题5分，共15分）1.近似数a= 0. 3150103的误差限是（ ） A. 1210-4B. 1210-3 c. 1210-2D. 1210-12.用辛卜生公式计算积分01dxx+1（ ）. A. 2536B. 34 C. 12D. 323.已知X=(3，-8，5)T，则X=（ ）. A.-5B.2 C.8D.15二、填空题（每小题5分，共15分）4.已知f (1)=3，f (2) = -1，用线性插值求f (1.6)的近似值是_

22、 _ _ .5.用梯形公式计算积分011-x2dx .6.由切线法迭代公式生成的序列xn收敛于方程在a，b内的唯一根.三、计算题（每小题15分，共60分）7.求矛盾方程组2x1+x2=4x1+x2=3x1-x2=1的最小二乘解.8.用列主元消元法求解方程组x1+2x2=12x1+3x2+x3=2-x2+2x3=1 .9.用高斯一塞德尔迭代法求解方程组8x1+2x2+x3=22x1+8x2+2x3=4x1+2x2+8x3=1取初始值 X(0)=(0，0，0)T，求出X(l) .10.用预估一校正法求初值问题dydx=2x-yy0=1在x =0(0.2)0.4处的解.四、证明题（本题10分）11.

23、计算a(a0)的双点弦法迭代公式为Xn+1=xnxn-1+axn+xn-1（n=0,1,2，）.试卷代号：1084国家开放大学2 0 2 0年春季学期期末统一考试计算方法（本） 试题答案及评分标准（开卷）（供参考）2020年7月一、单项选择题（每小题5分，共15分） 1D 2A 3C二、填空题（每小题5分，共15分） 4.0.6 5.0.5 6（单调）平方三、计算题（每小题15分，共60分）7求矛盾方程组2x1+x2=4x1+x2=3x1-x2=1 的最小二乘解 解 设x1，x2 =(2x1+x2-4)2+(x1+x2-3)2+(x1-x2-1)2（5分） 由 x1=26x1+x2-12=0

24、x2=22x1+3x2-6=0 ，得法方程组 6x1+2x2=122x1+3x2=6 （10分） 得最小二乘解为 x1=127 ，x2=67 . （15分） 8用列主元消元法求解方程组x1+x2=12x1+3x2+x3-x1+x2=1 =2 解 用列主元消元法求解得x1+2x2=12x1+3x2+x3=2-x1+2x3=12x1+3x2+x3=212x2-12x3=0-x2+2x3=12x1+3x2+x3=2-x2+2x3=112x3=12（10分） 回代求得方程组的解为X=（-1，l，1）T（15分）9用高斯一塞德尔迭代法求解方程组8x1+2x2+x3=22x1+8x2+2x3=4x1+2x

25、2+8x3=1取初始值X（0）=(0，0，0)T，求出X(l) 解 系数矩阵A为严格对角占优矩阵，则高斯一塞德尔迭代法收敛 高斯一塞德尔法迭代公式为 x1（m+1 ）=18(2-2x2m-x3(m)x2（m+1 ）=184-2x1m+1-2x3m m=0.1x3（m+1 ）=18(1-x1m+1-2x2(m+1) ，（10分） 取初值X(0)=(0，0，0)，计算得x1（1）=14 ，x2（1）=716 ，x3（1）=164 ， X(1)=( 14 ，116 ，-164 )T（15分） 10.用预估一校正法求初值问题dydx=2x-yy(0)=1在x=0(0. 2)0.4处的解解将f (x，y

26、) =2x -y，h=0.2代入预估一校正公式得 yn+10=0.4xn+0.8yn yn+1=yn+0.1(2xn-yn+2xn+1-yn+1(0) (n=0，1)（10分） 取x0 =0，y0 = 1，计算得y1 =0. 86，y2 =0. 8172.（15分）四、证明题（本题10分） 11计算（0）的双点弦法迭代公式为xn+1= xnxn-1+xn+xn-1（n=0，1，2） 证明 计算（0）等同于求方程x2-=0的正根 令f (x)=x2 - ，代入双点弦法迭代公式得 xn+1=xn-xn-xn-1xn2-xn-12-(xn2-) =xnxn-1+xn+xn-1 即双点弦法迭代公式为x

27、n+1=xnxn-1+xn+xn-1(n=0,1,2)（10分） 试卷代号：1084国家开放大学2020年秋季学期期末统一考试计算方法（本） 试题（开卷）2021年1月一、单项选择题（每小题5分，共15分）1.近似值0.03402102的准确数位是( ).A.10-4B.10-3C. 10-2D.10-12.若X=(-4，0，3)T，则x2=( ).A.5B.4C.3D.73.若内插求积公式01fxdxAf0+Bf(23)，则( ).A.A=1,B=OB.A=13，B=23C.A=14，B=34 D.A=-12，B=32二、填空题（每小题5分，共15分）4.拉格朗日插值基函数满足性质l0 x0

28、=_.5.用辛卜生公式计算积分01dx1+x2_.6.二阶龙格库塔法的局部截断误差为_.三、计算题（每小题15分，共60分）7.用直接三角分解法解方程组2x1+2x2+3x3=14x1+7x2+7x3=2-2x1+4x2+5x3=17 8.用高斯一塞德尔迭代法解方程组5x1+x2+x3=42x1+5x2+2x3=7x1+x2+5x3=4，取初始值X(0)=(0，0，0)T，求出X(1).9.用切线法求方程x3-5x+3=0在区间1.5，2内的实根的近似值（求出x1）.10.用预估一校正法求初值问题：y=2yy0=1在x=0(0.1)0.2处的数值解.四、证明题（本题lO分）11.设X=(x1，

29、xn)T，证明1nX1XX1.试卷代号：1084国家开放大学2020年秋季学期期末统一考试计算方法（本） 试题答案及评分标准棬开卷棭（供参考）2021年1月一、单项题（每小题5分，共15分）1.B2.A3.C二、填空题（每小题5分，共15分）4.15.47606.O（h3）三、计算题（每小题15分，共60分）7.用直接三角分解法解方程组2x1+2x2+3x3=14x1+7x2+7x3=2-2x1+4x2+5x3=17.解 将系数矩阵直接分解得A=223477-245=121-121223316，（5分）解方程LY=b，121-121y1y2y3=1217,得Y=（1，0，18）T，再解方程RX

30、=Y，223316x1x2x3=1018,得X=（-3，-1，3）T，（15分）8.用高斯塞德尔迭代法解方程组5x1+x2+x3=42x1+5x2+2x3=7x1+x2+5x3=4,取初始值X（0）=（0，0，0）T,求出X（1）.解 因为系数矩阵A为严格对角占优矩阵，故高斯塞德尔迭代法收敛，高斯塞德尔法迭代公式为x1(m+1)=15(4-x2m-x3m)x2(m+1)=15(7-2x1m+1-2x3m)x3(m+1)=15(4-x1m+1-x2m+1) m=0,1,. （10分）将初始值X（0）=（0，0，0）T代入，计算得x1(1)=45，x2(1)=2725，x3(1)=53125，即X

31、（1）=45，2725，53125T .（15分）9.用切线法求方程x3-5x+2=0 在区间1.5,2内实根的近似值（求出x1）.解 设f(x)=x3-5x+3,因为f(1.5)=-1.1250，f(2)=10，故x*1.5,2.因为f（x）=3x2-50，f（x）=6x0，由f(x0)f（x）0取初始值x0=2,则切线法迭代公式为xn+1=xn-xn3-5xn+33xn2，n=0,1, （10分）计算得x1=1.857. （15分）10.用预估一校正法求初值问题：y=2yy0=1在x=0（0.1）0.2处的数值解.解 将f(x,y)=2y,h=0.1代入预估一校正公式得 yn+1(0)=y

32、n+hf(xn,yn)yn+1=yn+h2fxn,yn+fxn+1,yn+10，即 yn+1(0)=1.2ynyn+1=1.22yn （10分）取x0=0,y0=1,计算得y1=1.22,y2=1.4884. （15分）四、证明题（本题10分）11.设X=（x1，xn）T,证明1nX1XX1.证明 令X=maxi|xi|=|xp|，则有 X=|xp|i=1nxi=X1n|xp|=nX，所以 1nX1XX1. （10分） 试卷代号：1084国家开放大学2021年春季学期期末统一考试计算方法（本） 试题（开卷）2021年7月一、单项选择题（每小题5分，共15分）1.已知近似值a=1.47，b=0.

33、6564，则a+b的误差限为( ).A.1210-4B. 1210-3C. 1210-2D. 1210-12.已知函数f(x)=x2+2x+3，则二阶差商f0，1，2=( ).A.1B.6C.3D.53.求解方程f(x)=0的根的迭代公式是xn+l=xn一f(xn)f(xn)（n=0,1，2，），则它是( ).A.一般迭代法B.单点弦法C.切线法D.双点弦法二、填空题（每小题5分，共15分）4.用n=2的复化梯形公式计算积分121xdx .5.若X=(3，-4，1)T，则X= .6.欧拉法的局部截断误差为 .三、计算题（每小题15分，共60分）7.求矛盾方程组x1+x2=4x1-x2=22x1

34、-x2=3的最小二乘解.8.用直接三角分解法解方程组： 2-1-1-120-103x1x2x3=121.9.用雅可比迭代法解方程组： 8x1+2x2+x3=22x1+8x2+2x3=5x1+2x2+8x3=1取初始值X(0)=(O，0，O)T，求出X(1).10.用预估一校正法求初值问题：y=x+yy0=1在x=0(0.2)0.4处的解.四、证明题（本题10分）11.设lk(x)（k=0，1，n）为n次插值基函数，证明当n3时，有k=0nlkxxk3=x3.的 PAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGE

35、XXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXX