新高一2022年暑假讲义第21讲 不等式恒成立问题与能成立问题（解析版）

1、第21讲：不等式恒成立问题与能成立问题【学习目标】1在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理、数学运算等素养【基础知识】不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，总有成立，故；（2）若，有成立，故；（3）若，有成立，故；【考点剖析】考点一：二次函数型恒成立问题例1若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ）ABCDD【详解】当时，原不等式可化为，对恒成立；当时，原不等式恒成立，需，解得，综上.故选：D变式训练1：若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（ ）ABCDD【详

2、解】当时，即，此时恒成立，满足条件；当时，因为对任意实数都成立，所以，解得，综上可知，故选：D.变式训练2：不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCDC【详解】因为不等式对于任意的恒成立，所以函数对于任意的恒成立，当时，函数，满足题意；当时，结合二次函数性质易知，解得，综上所述，实数的取值范围是，故选：C.变式训练3：设.若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；（1）；【详解】由题意，不等式对于一切实数恒成立，等价于对于一切实数恒成立.所以.考点二：二次函数型能成立问题例2若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（ ）ABCDA【详解】不等式等价于存在，使成立，即 设

3、当时， 所以 .故选：A变式训练1：若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（ ）ABCDA【详解】解：关于的不等式在区间，上有解，在，上有解，即在，上成立；设函数，在，上是单调减函数，又，所以的值域为，要在，上有解，则，即实数的取值范围为故选：变式训练2：若不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）ABCDB【详解】因为不等式在上有解，所以不等式在上有解， 令，则，所以，所以实数的取值范围是故选：B变式训练3：已知关于的不等式在上有解，则实数 的取值范围是（ ）ABCDD【详解】不等式在上有解，在上有解，在单调递增，.故选：D.考点三：基本不等式型恒成立问题例3若正数、满足，若不等式的恒

4、成立，则的最大值等于（ ）ABCDA【详解】已知正数、满足，可得，所以，当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，.因此，实数的最大值为.故选：A.变式训练1：已知两个正实数满足，并且恒成立，则实数的取值范围（ ）AB C D B【详解】因为恒成立，则，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为8，所以，即，解得.故选：B变式训练2：已知，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）A或B或CDC【详解】若恒成立，则，因为，当且仅当，即时取等号所以所以，即，解得：故选：C变式训练3：已知正实数满足.（1）求的最大值；（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围.（1）；（2）.【详解】（1），所以，解得，当且仅当取

5、等号，的最大值为.（2），当且仅当，取等号，解得.即a的取值范围是.考点四：变换主元例4已知当时，不等式恒成立，则的取值范围为_.【详解】由题意，因为当时，不等式恒成立，可转化为关于的函数，则对任意恒成立，则满足解得，即的取值范围为.故答案为.变式训练1：已知时，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）A(-，2)(3，+)B(-，1)(2，+)C(-，1)(3，+)D(1，3)C【详解】由题意，因为时，不等式恒成立，可转化为关于的函数，则对应任意恒成立，则满足，解得：或，即的取值范围为.故选：C变式训练2：若不等式对任意成立，则的取值范围为（ ）ABCDA【详解】由题得不等式对任意成立，所以，即，

6、解之得或.故选：A变式训练3：已知当时，不等式恒成立，则的取值范围为_.【详解】由题意，因为当时，不等式恒成立，可转化为关于的函数，则对任意恒成立，则满足解得，即的取值范围为.故答案为.【过关检测】1、关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCDB【详解】解：当时，则成立，故符合题意，时，因为对任意恒成立，所以，不等式变为：，所以：，综上.故选：B.2、已知不等式的解集为则的取值范围是（ ）ABCDA【详解】因为不等式的解集为所以，解得，所以的取值范围是，故选：A.3、不等式对一切实数都成立，则实数的范围是（ ）ABCDC【详解】不等式可变形为由不等式对一切实数都成立，即，解得所

7、以实数a的范围是故选：C4、已知函数，若对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCDD【详解】由题知不等式,对一切恒成立所以当时, ,满足；当时，由二次函数性知，所以实数a的取值范围为：，故选:D5、已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（ ）ABCDC【详解】因为不等式的解集为空集，所以不等式在上恒成立，当时：且解得：； 当时即，当时，不等式在上恒成立；当时，不等式在上不恒成立；综上：实数a的取值范围.故选：C.6、若关于的不等式对一切的实数恒成立，那么实数的取值范围是（ ）ABCDD【详解】原不等式等价于对一切的实数恒成立，当时，原不等式等价于对一切的实数恒成立，当时，解得综上

8、所述，实数的取值范围是，故选：D7、已知函数恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCDB【详解】，即当时，不等式恒成立，；当时，则令，则即，解得故选：B8、若对满足的任意正数及任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCDA【详解】正数满足，当且仅当，即，时，等号成立，即对任意实数恒成立，解得故选：A9、（多选）对于正数，且，若恒成立，则可以为（ ）A3BC2D1BCD【详解】因为对于正数，满足， 所以恒成立化为，恒成立 ，又因为，当时 等号成立，所以，选项BCD都符合题意，故选：BCD.10、（多选）已知，且，若对任意的恒成立，则实数的可能取值为（ ）ABCD2ACD【详解】，即，当且仅

9、当，即时，等号成立，即， 解得：或，选项中满足条件的有ACD.故选：ACD11、已知、为两个正实数，且恒成立，则实数的取值范围是_【详解】因为、为两个正实数，由可得，因为，当且仅当时，等号成立.所以，因此，实数的取值范围是.故答案为.12、已知，若不等式恒成立，则的最大值为_【详解】由题意，不等式恒成立，且，即为恒成立，即成立，由，当且仅当，即，取得等号，即有，则的最大值为.故13、若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是_.【详解】解：因为正实数，满足，所以，所以；又因不等式恒成立，所以恒成立，即恒成立，则，因为，当且仅当时取等号，此时取得最小值 ，故故14、，且，不等式恒成立，则的

10、范围为_.【详解】解：因为，所以，当且仅当，即时，取等号，因为不等式恒成立，所以小于等于最小值，所以，故15、若不等式对满足的一切实数都成立，则的取值范围是_或【详解】解：因为，所以令，即在恒成立，即时恒成立，所以，即，解得或；解得或，所以原不等式组的解集为故16、对于，不等式恒成立的的取值范围是_【详解】，令，当时，则不成立；当时，解得：或；当时，解得：或；综上所述.故答案为.17、已知.（1）当时，解不等式；（2）当时，恒成立，求的取值范围.（1）或；（2）.【详解】（1）当时，即 ， ，即，解得或，原不等式的解集为或.（2）当时恒成立，即，设，当且仅当时等号成立，.18、已知二次函数.（1）若在上单调递减，求实数的最小值；（2）存在，使得有解，求实数的取值范围.（1）1；（2）【详解】（1）的对称轴为，开口向上，若在上单调递减，则，故的最小值为1；（2），即在有解，令，对称轴为，开口向上，当时，解得，此时无解；当时，