新高二2022年暑假讲义第9讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（解析版）

1、第9讲 直线与圆、圆与圆的位置关系新课标要求1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题。知识梳理一、直线与圆的位置关系及判断(直线：AxByC0，圆：(xa)2(yb)2r2)位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离deq f(|AaBbC|,r(A2B2)drom代数法：由消元得到一元二次方程的判别式00r1r2d|r1r2|r1r2|d0时，C1与C2相交(2)判别式0时，C1与C2外切或内切(3)判别式0时，C1与C2外离或内含名师导学知识点1 直线与圆位置关系的判定【例1-1】

2、已知圆的方程是x2y22，直线yxb，当b为何值时，圆与直线相交、相切、相离？【解】法一直线与圆的位置关系问题可转化为方程组eq blc(avs4alco1(x2y22，,yxb，)有两组不同实数解；有一组实数解；无实数解的问题代入，整理得2x22bxb220，方程的根的判别式(2b)242(b22)4(b2)(b2)当2b0，方程组有两组不同实数解，因此直线与圆有两个公共点，直线与圆相交；当b2或b2时，0，方程组有一组实数解，因此直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切；当b2时，0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点，直线与圆相离法二圆心(0，0)到直线yxb的距离为deq f(|b|

3、,r(2)，圆的半径req r(2).当dr，即eq f(|b|,r(2)eq r(2)时，直线与圆相交，2br，即eq f(|b|,r(2)eq r(2)时，直线与圆相离，b2或b2.当2b2或b1，故点M在圆外当切线斜率存在时，设切线方程是y4k(x2)，即kxy42k0，由于直线与圆相切，故eq f(|k342k|,r(k2（1）2)1，解得keq f(24,7).所以切线方程为24x7y200.又当切线斜率不存在时，直线x2与圆相切综上所述，所求切线方程为24x7y200或x2.【变式训练2-1】若将例2-1中的点M的坐标改为(1，2)，其他条件不变，又如何求其切线方程？【解】由于(1

4、1)2(23)21，故点M在圆上，设圆的圆心为C，则C(1，3)，显然CM的斜率不存在圆的切线垂直于经过切点的半径，所求切线的斜率k0，切线方程为y2.知识点3 直线与圆相交的有关问题【例3-1】求直线xeq r(3)y2eq r(3)0被圆x2y24截得的弦长【解】法一直线xeq r(3)y2eq r(3)0和圆x2y24的公共点坐标就是方程组eq blc(avs4alco1(xr(3)y2r(3)0，,x2y24)的解解这个方程组，得eq blc(avs4alco1(x1r(3)，,y11，)eq blc(avs4alco1(x20，,y22.)所以公共点的坐标为(eq r(3)，1)，(

5、0，2)，所以直线xeq r(3)y2eq r(3)0被圆x2y24截得的弦长为eq r(（r(3)0）2（12）2)2.法二如图，设直线xeq r(3)y2eq r(3)0与圆x2y24交于A，B两点，弦AB的中点为M，则OMAB(O为坐标原点)，所以|OM|eq f(|002r(3)|,r(12（r(3)）2)eq r(3).所以|AB|2|AM|2eq r(OA2OM2)2eq r(22（r(3)）2)2.【变式训练3-1】已知直线ykx(k0)与圆C：(x2)2y21相交于A，B两点，若|AB|eq f(2,5)eq r(5)，则k_圆心到直线的距离deq f(|2k|,r(k21)，

6、|AB|eq f(2,5)eq r(5)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(|2k|,r(k21)eq sup12(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(5),5)eq sup12(2)1，keq f(1,2). k0，keq f(1,2).eq f(1,2)知识点4 两圆位置关系的判定【例4-1】a为何值时，两圆C1：x2y22ax4ya250和C2：x2y22x2aya230.(1)外切；(2)相交；(3)外离？【解】将两圆方程写成标准方程，C1：(xa)2(y2)29，C2：(x1)2(ya)24.两圆的圆心和半径分别为C1(a，2)，r13，C2(1，a)，

7、r22.设两圆的圆心距为d，则d2(a1)2(2a)22a26a5.(1)当d5，即2a26a525时，两圆外切，此时a5或a2.(2)当1d5，即12a26a525时，两圆相交，此时5a2或1a5，即2a26a525时，两圆外离，此时a2或a5.【变式训练4-1】圆(x4)2y29和圆x2(y3)24的公切线有()A1条 B2条 C3条 D4条圆(x4)2y29的圆心为(4，0)，半径等于3，圆x2(y3)24的圆心为(0，3)，半径等于2.两圆的圆心距等于eq r(4232)523，两圆相外切，故两圆的公切线的条数为3，故选C.C知识点5 两圆相切问题【例5-1】已知以C(4，3)为圆心的

8、圆与圆O：x2y21相切，则圆C的方程是_设圆C的半径为r，又圆心距deq r(（40）2（30）2)5，当圆C与圆O外切时，r15，r4，当圆C与圆O内切时，r15，r6，圆C的方程为(x4)2(y3)216或(x4)2(y3)336.(x4)2(y3)216或(x4)2(y3)336【变式训练5-1】若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则m等于 ()A21 B19 C9 D11C2：x2y26x8ym0化为(x3)2(y4)225m.C1，C2两圆的圆心分别为(0，0)，(3，4)，两圆圆心距deq r(（30）2（40）2)5，又两圆半径分别为1，eq r(25m)，

9、则dr1r2，即51eq r(25m)，解得m9.C知识点6 两圆相交的问题【例6-1】已知两圆x2y22x10y240和x2y22x2y80，判断两圆的位置关系【解】将两圆方程配方化为标准方程，C1：(x1)2(y5)250，C2：(x1)2(y1)210，则圆C1的圆心为(1，5)，半径r15eq r(2).圆C2的圆心为(1，1)，半径r2eq r(10).又|C1C2|2eq r(5)，r1r25eq r(2)eq r(10)，r1r25eq r(2)eq r(10)，r1r2|C1C2|r1r2，两圆相交【变式训练6-1】在例6-1的条件下，求公共弦的长度【解】法一由例6-1知圆C1

10、的圆心为(1，5)，其到直线x2y40的距离deq f(|12（5）4|,r(1（2）2)3eq r(5)，公共弦长l2eq r(req oal(2,1)d2)2eq r(5045)2eq r(5).法二设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组eq blc(avs4alco1(x2y40，,x2y22x2y80，)解得eq blc(avs4alco1(x4，,y0)或eq blc(avs4alco1(x0，,y2，)所以|AB|eq r(（40）2（02）2)2eq r(5)，即公共弦长为2eq r(5).知识点7 直线与圆的方程的应用【例7-1】某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m现有

11、一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？【解】建立如图所示的坐标系，使圆心C在y轴上依题意，有A(10，0)，B(10，0)，P(0，4)，D(5，0)，E(5，0)设这座圆拱桥的拱圆的方程是(xa)2(yb)2r2，于是有eq blc(avs4alco1(（a10）2b2r2，,（a10）2b2r2，,a2（b4）2r2.)解此方程组，得a0，b10.5，r14.5.所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2(y10.5)214.52(0y4)把点D的横坐标x5代入上式，得y3.1.由于船在水面以上高3 m，30)，将A(x0，3)代入圆的方程，得x0eq r(51)，当水面下降1米

12、后，水面宽为2x02eq r(51)米2eq r(51)知识点8 坐标法证明几何问题【例8-1】如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H，求证：EF平分CD.【证明】以AB所在直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，设|AB|2r，D(a，0)，则|CD|eq r(r2a2)，C(a，eq r(r2a2)，圆O：x2y2r2，圆C：(xa)2(yeq r(r2a2)2r2a2.两方程作差得直线EF的方程为2ax2eq r(r2a2)yr2a2.令xa，得yeq f(1,2)eq r(r2a2)，H(a，eq

13、f(1,2)eq r(r2a2)，即H为CD中点，EF平分CD.【变式训练8-1】如图，直角ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P，Q两点，求证：|AP|2|AQ|2|PQ|2为定值【证明】如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，于是有B(m，0)，C(m，0)，P(n，0)，Q(n，0)设A(x，y)，由已知，点A在圆x2y2m2上，故|AP|2|AQ|2|PQ|2(xn)2y2(xn)2y24n22x22y26n22m26n2(定值)名师导练2.5.1 直线与圆的位置关系A组-应知应会1已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直

14、线axby1与圆O的位置关系是()A相切 B相交 C相离 D不确定点M(a，b)在圆x2y21外，a2b21.圆心(0，0)到直线axby1的距离deq f(1,r(a2b2)1r，则直线与圆的位置关系是相交B2平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是()A2xyeq r(5)0或2xyeq r(5)0B2xyeq r(5)0或2xyeq r(5)0C2xy50或2xy50D2xy50或2xy50依题意可设所求切线方程为2xyc0，则圆心(0，0)到直线2xyc0的距离为eq f(|c|,r(2212)eq r(5)，解得c5.故所求切线方程为2xy50或2xy50.D3已知圆C

15、与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22由条件，知xy0与xy40都与圆相切，且平行，所以圆C的圆心C在直线xy20上由eq blc(avs4alco1(xy20，,xy0，)得圆心C(1，1)又因为两平行线间距离deq f(4,r(2)2eq r(2)，所以所求圆的半径长req r(2)，故圆C的方程为(x1)2(y1)22.B4若直线ykx与圆x2y26x80相切，且切点在第四象限，则k_圆x2y26x80，即(x3)2y21，其圆心为(3，0)、半径等于1.由题意可

16、得k0时，得m5，当m5时，曲线C表示圆；(2)圆C的圆心坐标为(1，2)，半径为eq r(5m).直线l：yxm与圆C相切，eq f(|12m|,r(2)eq r(5m)，解得：m3，满足m5.m3.B组-素养提升8在圆x2y22x4y30上且到直线xy10的距离为eq r(2)的点共有()A1个 B2个C3个 D4个圆心为(1，2)，半径r2eq r(2)，从而圆心到直线xy10的距离deq f(|121|,r(2)eq r(2)，故圆上有3个点满足题意C9圆x2y24x6y120过点(1，0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则mn等于()A102eq r(7) B5eq r(7)C103e

17、q r(3) D5eq f(3,2)eq r(2)圆的方程x2y24x6y120化为标准方程为(x2)2(y3)225.所以圆心为(2，3)，半径长为5.因为(12)2(03)21825，所以点(1，0)在已知圆的内部，则最大弦长即为圆的直径，即m10.当(1，0)为弦的中点时，弦长最小，此时弦心距deq r(（21）2（30）2)3eq r(2)，所以最小弦长为2eq r(r2d2)2eq r(2518)2eq r(7)，所以mn102eq r(7).A10设直线axy30与圆(x1)2(y2)24相交于A，B两点，且弦AB的长为2eq r(3)，则a_圆心到直线的距离deq f(|a23|

18、,r(a21)eq r(22（r(3)）2)1，解得a0.011由直线yx1上的一点向圆x26xy280引切线，则切线长的最小值为_切线长的最小值在直线yx1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3，0)到直线的距离为deq f(|301|,r(2)2eq r(2)，圆的半径为1，故切线长的最小值为eq r(d2r2)eq r(81)eq r(7).eq r(7)12(1)求圆x2y210的切线方程，使得它经过点M(2，eq r(6)；(2)求圆x2y24的切线方程，使得它经过点Q(3，0)【解】(1)点M的坐标适合圆的方程，点M在圆x2y210上，由题可知圆心为O(0，0)，则直线OM的斜率kO

19、Meq f(r(6),2).圆的切线垂直于经过切点的半径，所求切线的斜率为keq f(2,r(6).故经过点M的切线方程为yeq r(6)eq f(2,r(6)(x2)，整理得：2xeq r(6)y100.(2)容易判断点Q(3，0)在圆外设切线的方程为yk(x3)，即kxy3k0，又圆的圆心为(0，0)，半径为2，所以eq f(|3k|,r(1k2)2.解得：keq f(2r(5),5).所求切线方程为：yeq f(2r(5),5)(x3)，即2eq r(5)x5y6eq r(5)0或2eq r(5)x5y6eq r(5)0.13已知圆C：(x1)2(y2)225，直线l：(2m1)x(m1

20、)y7m40(mR)(1)求证不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；(2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程(1)【证明】因为l的方程为(xy4)m(2xy7)0(mR)，所以eq blc(avs4alco1(2xy70，,xy40，)解得eq blc(avs4alco1(x3，,y1，)即l恒过定点A(3，1)因为圆心为C(1，2)，所以|AC|eq r(5)5(半径)，所以点A在圆C内，从而直线l与圆C恒交于两点(2)【解】由题意可知弦长最小时，lAC.因为kACeq f(1,2)，所以l的斜率为2.又l过点A(3，1)，所以l的方程为2xy50.2.5.2 圆与圆的位置关系A组-应

21、知应会1圆x2y29和x2y28x6y90的位置关系是 ()A外离 B相交 C内切 D外切圆C1：x2y29的圆心为C1(0，0)，半径r13；圆C2：x2y28x6y90化为(x4)2(y3)216，圆心为C2(4，3)，半径r24，圆心距|C1C2|eq r(42（3）2)5.因为|r1r2|C1C2|34r1r2，所以两圆相交B2过两圆x2y26x4y0及x2y24x2y40的交点的直线的方程是()Axy20 Bxy20C5x3y20 D不存在由eq blc(avs4alco1(x2y26x4y0，,x2y24x2y40， )得xy20.A3若圆C1：(x2)2(ym)29与圆C2：(x

22、m)2(y1)24外切，则实数m的值为 ()A2 B5 C2或5 D不确定两圆的圆心分别为(2，m)，(m，1)，两圆的半径分别为3，2，由题意得eq r(（m2）2（1m）2)32，解得m2或5.C4已知圆C1：x2y26x70与圆C2：x2y26y270相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为_圆C1的圆心为C1(3，0)，圆C2的圆心为C2(0，3)，直线C1C2的方程为xy30，AB的中垂线即直线C1C2，故其方程为xy30.xy305圆C1：x2y22mxm240与圆C2：x2y22x4my4m280相交，则实数m的取值范围是_整理圆C1得(xm)2y24，整理圆C2得(x1)2(

23、y2m)29，C1的圆心为(m，0)，半径为2，圆C2的圆心为(1，2m)，半径为3.两圆相交，圆心之间的距离小于两圆半径之和，大于两圆半径之差，即1eq r(（m1）2（2m）2)5，解得：0m2或eq f(12,5)meq f(2,5).(0，2)或eq blc(rc)(avs4alco1(f(12,5)，f(2,5)6求圆C1：x2y22x0和圆C2：x2y24y0的圆心距|C1C2|，并确定圆C1和圆C2的位置关系【解】圆C1：x2y22x0化为(x1)2y21，圆C2：x2y24y0化为x2(y2)24，圆C1，C2的圆心坐标，半径长分别为C1(1，0)，r11；C2(0，2)，r2

24、2.|C1C2|eq r(（10）2（02）2)eq r(5).又21|C1C2|eq r(5)0，解得m5；所以m的取值范围为(，5)(2)把圆x2y28x12y360化为标准方程得：(x4)2(y6)216，得到圆心坐标为(4，6)，半径为4，则两圆心间的距离deq r(（41）2（62）2)5，因为两圆的位置关系是外切，所以dRr即4eq r(5m)5，解得m4；(3)因为圆心C的坐标为(1，2)，则圆心C到直线l的距离deq f(1,r(5)eq f(r(5),5)，所以(eq r(5m)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)|MN|)eq sup12(2)d2，即5

25、m1，解得m4.13已知圆C1：x2y24x2y50，圆C2：x2y22x2y140.(1)试判断两圆的位置关系；(2)直线l过点(6，3)与圆C1相交于A，B两点，且|AB|2eq r(6)，求直线l的方程【解】(1)圆C1：x2y24x2y50，即(x2)2(y1)210，其圆心为C1(2，1)，半径等于eq r(10)，C2：x2y22x2y140，即(x1)2(y1)216，其圆心为C2(1，1)为圆心，半径等于4.由于两圆的圆心距等于eq r(3202)3，大于半径之差而小于半径之和，故两个圆相交(2)当AB的斜率不存在时，直线l的方程为x6，此时直线l与圆C1相离，不满足条件当AB

26、的斜率存在时，设直线l的方程为y3k(x6)，即kxy36k0，由弦长公式可得圆心到直线l的距离deq r(106)2，再由点到直线的距离公式可得d2eq f(|2k136k|,r(k21)，解得k0或keq f(4,3).故直线l的方程为y3或4x3y150.2.5.3直线与圆的方程的应用A组-应知应会1方程eq r(1x2)xk有唯一解，则实数k的取值范围是()Aeq r(2) B(eq r(2)，eq r(2)C1，1) Dk|keq r(2)或1k1由题意知，直线yxk与半圆x2y21(y0)只有一个交点，结合图形(图略)易得1k0)，它表示的图形是圆x2y29在x轴之上的部分(如图所示)结合图形不难求得，当30)有公共点(3，3eq r(2)11过点P(1，1)的直线，将圆形区域(x，y)|x2y24分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为_由题意知点P(1，1)在圆x2y24内，若过点P截得的弦最短的直线将圆面分成的两部分面积之差最大，则所求直线与圆心O和P(1，1)的连线垂直，该直线斜率为1，由点斜式方程得y1(x1)，即xy20.xy2012如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区