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1、算法与算法复杂性理论试卷2010简答题:(30分,每题5分)证明:n log- (n logn) oii 1如果P!=NP ,那么所有NP完全问题都没有多项式时间解。判断该描述是否正确,并解释理由。简要描述有向图强连通分量的求解算法。一颗不满的二叉树能否与一种最优编码对应?说明理由。(不满的二叉树即存在某节点只有一个孩子)利用指示器随机变量来计算掷-次骰子总和的期望值。已知快速排序算法如下,其中Partitioa数的3-6行称为循环不变式,证明该循环不变式在算法的各个执行时期都是正确的。QuickSort(A,p, r)1if p 1, k=0证明贪心算法总可以产生一个最优解。请给出一组使贪心
2、算法不能产生最优解的硬币单位集合。所给集合应当 包括一分,比保证对任意n都有解。请给出一种O (nk)的算法,能够对任意k种不同单位的硬币集合进行找 换,假设其中一种硬币单位是一分的。基于Random(0,1),给出随机数生成器Random(a,b)的一个实现,使得每次调 用Random(a,b)将返回一个介于a与b之间的整数包括a,b)而且每个整数出 现的机会相等,并给出该实现的复杂度分析。其中Random (0,1以等概率的 方式输出0或者1。假设x和y是n位二进制数,并假设n是3的幂,考虑下述分治算法计算x 与y的乘积:将x,y分别分成3个部分a,b,c,和d,e,f,每部分包含n/3
3、位,使得:x a 2 2n/3 b2n/3 C,y d22n/3 e2n/3 fxy ad 24n/3 (ae bd)2n (af be cd )2 2 n /3(bf ce)2n/3 cfe),r be cf, r ?为了提高算法效率,我们设计6个中间值来完成上述计算,rad ,r (ab)(dr (a c)(df ),r例如:当n是2的幂时,可用如下方法提高xy的效率x a2n/2 b, y c2n/2 dxy ac 2n (adbc )2n/2 bdac 2n (a b)(c d) ac bd 2n/2bd给出r 6的表达式,并给出如何用这些中间值来计算xy。给出上述分治算法时间复杂度的
4、递归表达式并用Master Theorem求解。在动态表中,假设当某个表的装载因子降至1/3以下时,将其大小乘以2/3 来进行收缩。利用势函数(T )|2匚num T sizeT 来证明这种策略的TABLE-DELETE操作的平摊代价由一个常数从上方限界。用分支定界法求解下面距离矩阵所给出的TSP问题: TOC o 1-5 h z 12257891056793412814315259如果一个序列首先单调递增,然后再单调递减,那么成这个序列是双调的, 例如序列1,4,6,8,3,-2就是一个双调序列。给定长度为n的序列A,请设 计出高效的寻找A中最长双调子序列的算法。输出长度和序列,如果有多个 任意输出一个即可。(注:单调序列作为特例,也可以被认为是双调序列)。 首先:请保证算法的正确,性,不正确的算法无法得到分数。然后,时间复杂 度为O(n2)空间复杂度为O(n)的算法将得到全部分数,其他算法视情况给 分。证明:哈密顿路径问题是NP完全的。(提示:从已知是NPC的哈密顿回路问
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