数理方程与特殊函数：13特殊区域上的格林函数

1、圆域内任意点的镜像点圆域上的 Green 函数球域上的 Green 函数几种特殊区域的Green函数数学物理方程第六章5(二维)Poisson 方程 Dirichlet 边值问题:Dirichlet-Green函数(1) 满足 Poisson 方程:其中, 是求解区域, S 是求解区域的边界(2) 满足齐次边界条件:(二维) Green 函数:M = ( x, y )其中,( )有圆域内点: M0(x0, y0)若圆域外点: M1(x1, y1)满足POM1M0半径为 R 的圆域:则称 M1 是 M0 的镜像点设 P 点是圆周上任意一点, 则 |OP | = R在OPM1 和 OPM0 中,

2、由于 记 r0= |OM0| r1=|OM1 | 则POM1M0当 P(x, y)在圆周上时, 有故在圆周上满足齐次边界条件.引理1 函数证明 由于满足记,显然, 满足Laplace方程( )设 M(x, y) 是圆域 内任意一点, 记显然,函数 满足 Laplace 方程. 且满足边界条件满足 .从而记称 是二维 Poisson 方程的基本解MOM1M0称是圆域上的 Green 函数. G(x, y )满足齐次边界条件则满足同理所以满足引理2 函数证明: 令即球域POM1M0 r0=|OM0|, r1=|OM1|()函数在球面上满足齐次边界条件.M0(x0, y0, z0) , M1(x1,

3、 y1, z1)为球域上Green函数设 M(x, y, z) 是球域内的任意点. 而 M0(x0, y0, z0) 是球域内的定点M1(x1, y1, z1) 是M0在球面镜像点显然, 和 都满足拉普拉斯方程MOM1M0当 时且球域内:球面上:球域内格林函数满足的微分方程问题拉普拉斯方程边值问题的解可用Green函数表示例1. 上半空间 z 0 上 Laplace 方程边值问题对应的Green 函数( x0 y0 z0)( x0 y0 z0)M=( x y z)M0(x0 y0 z0)的镜像点为M1(x0 y0 z0)上半空间任一点M(x y z)在边界上满足:例2. 上半平面 y 0 的格

4、林函数( x0 , y0 )( x0 , y0 )( x y )M0(x0 , y0 )的映象点为M1(x0 , y0)上半平面任一点P(x y ) 记 当 y = 0 时例3. 第一限象二维拉普拉斯方程边值问题对应的格林函数M0M1M3M2M=( x, y)M0(x0 y0 )的镜像点为 M1(x0 y0) M2( x0 y0) M3( x0 y0)第一限象内任一点 M(x y )在边界上满足:例4. 上半圆域的格林函数上半圆内任一点M(x y )上半圆内定点: M0(x0 y0 ) M0的下半平面镜象点: M0M0的圆外镜象点: M1M1的下半平面镜象点: M1r0= |OM0|, r0=|OM0|, rMM0=|MM0 |, rMM1=|MM1 |MM0M1M1M0思考题1. 空间特殊区域的镜像点是以什么曲面作镜面；2. 镜像点构造的调和函数与泊松