中考数学 专题06 费马点求最小值（解析版）

1、中考数学压轴题-二次函数第6节 费马点求最小值 内容导航方法点拨APCAQE，且APQ为等边三角形，PC=QE，AP=PQAP+BP+CP=BP+PQ+QE当B、P、Q、E共线时，AP+BP+CP和最小 例题演练 题组1：费马点在三角形中运用例1如图，在ABC中，P为平面内一点，连结PA，PB，PC，分别以PC和AC为一边向右作等边三角形PCM和ACD【探究】求证：PMPC，MDPA【应用】若BCa，ACb，ACB60，则PA+PB+PC的最小值是 （用a，b表示）【解答】【探究】证明：以PC和AC为一边向右作等边三角形PCM和ACD，PMPC，ACCD，PCCM，PCMACD60，PCAMC

2、D，在ACP和DCM中，ACPDCM（SAS），MDPA；【应用】解：连接BD，如图所示：APCDCM，ACPDCM，ACCDb，ACP+PCBDCM+PCB，DCM+PCBACB60，BCDDCM+PCB+PCM60+60120，作DFBC于F，则CFD90，在RtCDF中，DCF18012060，CDb，CDF30，CFACb，DFCFb，BFa+b，BD；当B、P、M、D共线时，PA+PB+PC的值最小，即PA+PB+PC的最小值为：；故答案为：练1.1问题提出（1）如图，在ABC中，BC2，将ABC绕点B顺时针旋转60得到ABC，则CC ；问题探究（2）如图，在ABC中，ABBC3，A

3、BC30，点P为ABC内一点，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值，并说明理由；问题解决（3）如图，在四边形ABCD中，ADBC，AB6，AD4，ABCBCD60在四边形ABCD内部有一点，满足APD120，连接BP、CP，点Q为BPC内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得PQ+BQ+CQ有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）如图，由旋转的性质可知：BCC是等边三角形，CCBC2，故答案为2 （2）如图，将ABP绕点B逆时针旋转60得到BFE，连接PF，EC由旋转的性质可知：PBF是等边三角形，PBPF，PAEF，PA+PB+PCPC+PF+

4、EF，PC+PF+EFEC，当P，F在直线EC上时，PA+PB+PC的值最小，易证BCBEBA3，CBE90，EBBC，ECBC3，PA+PB+PC的最小值为3 （3）如图1中，将PBQ绕点B逆时针旋转60得到EBG，则PQEG，BQG是等边三角形，BQQG，PQEG，PQ+BQ+CQEG+GQ+QCEC，EC的值最小时，QP+QB+QC的值最小，如图2中，延长BA交CD的延长线于J，作ADJ的外接圆O，将线段BO，BP绕点B逆时针旋转60得到线段BO，BE，连接EO，OB，OP易证BEOBPO（SAS），EOOP，APD+AJD180，A，P，D，J四点共圆，OP，EO，点E的运动轨迹是以O

5、为圆心，为半径的圆，当点E在线段CO上时，EC的值最小，最小值COEO，连接OO，延长OO到R，使得OROO，连接BR，则OBR90，作RHCB交CB的延长线于H，OTCH于T，OMBC于M在RtOBM中，BM5，OM，OB，BROB14，由BHROMB，RH5，HROTOM，OORO，TMTH，OT，BT3，CO，COEOQP+QB+QC的最小值为 题组2：费马点在四边形中运用例2如图，P为正方形ABCD内的动点，若AB2，则PA+PB+PC的最小值为 【解答】解：将BPC绕点B顺时针旋转60，得到BPC，BPBP，PBP60，BPCBPC，BPP是等边三角形，PCPC，PBCPBC，BCB

6、C2，BPPP，PA+PB+PCAP+PP+PC，当线段AP，PP，PC在一条直线上时，PA+PB+PC有最小值，最小值是AC的长，过点C作CEAB交AB的延长线于E，ABP+PBP+PBC60+ABP+PBC150，EBC30，EC1，BEEC，AE2+，AC+，故答案为：+练2.1如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接BN、AM、CM（1）求证：AMBENB；（2）若正方形的边长为，正方形内是否存在一点P，使得PA+PB+PC的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，说明理由 【解答】解：（1）如图1，四边形A

7、BCD为正方形，ABE为等边三角形，BEBA，BABC，ABE60；MBN60，BEBA，MBNABE，MBANBE；在AMB与ENB中，AMBENB（SAS）， （2）顺时针旋转BPC60度，可得PBE为等边三角形即得PA+PB+PCAP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小PA+PB+PCAFBMBFcos30BCcos30，则AM+，ABBF，ABF150BAF15既得AF+1 例3如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0，2），点D在x轴的正半轴上，ODB30，OE为BOD的中线，过B、E两点的抛物线与x轴相交于A、F两点（A在F的左侧）（1）

8、求抛物线的解析式；（2）等边OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；（3）点P为ABO内的一个动点，设mPA+PB+PO，请直接写出m的最小值，以及m取得最小值时，线段AP的长【解答】解：（1）过E作EGOD于G（1分）BODEGD90，DD，BODEGD，点B（0，2），ODB30，可得OB2，；E为BD中点，EG1，点E的坐标为（2分）抛物线经过B（0，2）、两点，可得；抛物线的解析式为；（3分） （2）抛物线与x轴相交于A、F，A在F的左侧，A点的坐标为，在AGE中，AGE90，（4分）过点O作OKAE于K，可得AOKAEGOMN是等边三角形，NMO60；，或；（6分）（写出一

9、个给1分） （3）如图；以AB为边做等边三角形AOB，以OA为边做等边三角形AOB；易证OEOB2，OBE60，则OBE是等边三角形；连接OO、BB、AE，它们的交点即为m最小时，P点的位置（即费马点）；OAOB，BOBAOE150，OBOE，AOEBOB；BBOAEO；BOPEOP，而BOE60，POP60，POP为等边三角形，OPPP，PA+PB+POAP+OP+PEAE；即m最小AE；如图；作正OBE的外接圆Q，根据费马点的性质知BPO120，则PBO+BOP60，而EBOEOB60；PBE+POE180，BPO+BEO180；即B、P、O、E四点共圆；易求得Q（，1），则H（，0）；A

10、H；由割线定理得：APAEOAAH，即：APOAAHAE故：m可以取到的最小值为当m取得最小值时，线段AP的长为（如遇不同解法，请老师根据评分标准酌情给分） 练3.1如图，抛物线yax2+bx+过点A（1，0），B（5，0），与y轴相交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离如：点O到二次函数图象的垂直距离是线段OC的长已知点E为抛物线对称轴上的一点，且在x轴上方，点F为平面内一点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是边长为4的菱形时，请求出点F到二次函数图象的垂直距离（3）在（2）中，当点F到二次函数图象的

11、垂直距离最小时，在以A，B，E，F为顶点的菱形内部是否存在点Q，使得AQ，BQ，FQ之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+过点A（1，0），B（5，0），0a+b+025a+5b+a，b3解析式yx23x+（2）当y0，则0 x23x+x15，x21A（1，0），B（5，0）对称轴直线x3，顶点坐标（3，2），AB4抛物线与y轴相交于点CC（0，）如图1如AB为菱形的边，则EFAB，EFAB4，且E的横坐标为3F的横坐标为7或1AEAB4，AM2，EMABEM2F（7，2），或（1，2）当x7，y4973+6点F到二次函数图象的垂直距离62如AB为对角线，如图2AEBF是菱形，AFBF4ABEF，EMMF2F（3，2）点F到二次函数图象的垂直距离2+2（3）当F（3，2）时，点F到二次函数图象的垂直距离最小如图3，以BQ为边作等边三角形BQD，将BQF绕B逆时针旋转60