大学物理-质点动力学

1、第二章 质点动力学Nature and natures law lay hid in night:God said , let Newton be ! And all was light. ：“牛顿由于发现了万有引力定律而创立了天文学，由于进行光的分解而创立了科学的光学，由于创立了二项式定理和无穷级数理论而创立了科学的数学，由于认识了力学的本性而创立了科学的力学。” 牛顿在自然科学领域里作了奠基的贡献，堪称科学巨匠。 牛顿一生很谦逊，他临终前说：“如果我的见识，真有超过笛卡尔的地方，那也是因为我是站在前辈伟人的肩上，才能望得远啊！”。 恩格斯说杰出的英国物理学家，经典物理学的奠基人他的不朽巨著

2、自然哲学的数学原理总结了前人和自己关于力学以及微积分学方面的研究成果，其中含有三条牛顿运动定律和万有引力定律,以及质量、动量、力和加速度等概念在光学方面，他说明了色散的起因，发现了色差及牛顿环，他还提出了光的微粒说牛顿 Issac Newton （16431727）明朝1644年灭亡，康熙皇帝：1654-1722 动力学：研究作用于物体上的力和物体机械运动状态变化之间的关系。本章主要内容：2.1 牛顿运动定律2.2 动量 动量守恒定律2.2 功 动能 势能 机械能守恒定律2.2 角动量 角动量守恒定律5前言运动和物体相互作用的关系是人类几千年来不断探索的课题。力的作用既有瞬时效应，又有积累效应

3、：前者由牛顿定律描述，后者则由三大守恒律所描述；在深一层次上，人们还发现，反映力在时、空过程中积累效应的三大守恒律是与时、空的某种对称性相联系的。原来物体作何种运动，既与物体间的相互作用有关，又与物体自身的性质有关。当物体内部出现某种非线性因素时，在一定条件下即可能导致混沌。从17世纪开始，以牛顿定律为基础建立起来的经典力学体系，一直被认为是“确定论”的。但廿世纪80年代，人们发现了在“确定论”系统中，却可能出现“随机行为”。在力学中，物体与物体间的相互作用称之为力。为什么？任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态，直到外力迫使它改变运动状态为止.一、惯性定律、 惯性参考系时， 恒矢量 If

4、a body is at rest it will remain at rest, and if it is in motion, it will remain in motion at a constant velocity in a straight line unless it is acted upon by a force. 2-1牛顿运动定律（Newtons Laws of Motion）力 Force 物体间的相互作用是多方面的（如电、光、电等），力是从一个方面反映了这种相互作用。任何力一定有施力物体和受力物体。力是改变物体运动状态的根源。 任何物体都具有保持运动状态不变的顽固性

5、 惯性，惯性是物质最基本的特性之一，量度惯性大小的量称为质量。惯性是保持物体运动状态的根源。惯性 inertia 如物体在一参考系中不受其它物体作用，而保持静止或匀速直线运动，这个参考系就称为惯性参考系。惯性参考系：（inertial frame）哪些参考系是惯性系呢？只能靠实验来确定相对已知惯性系匀速运动的参考系也是惯性系牛顿定律成立的参考系，叫惯性参考系，简称惯性系。 马赫认为：所谓惯性系，其实质应是相对于整个宇宙的平均加速度为零的参照系因此，惯性系只能无限逼近，而无最终的惯性系。1、地面参考系 ground reference frame 由于我们生活在地面上，地面是一个最常用的惯性系。

6、但只能说地面是一个近似的惯性系，而不是一个严格的惯性系，因为地球有自转角速度： 由于地球的自转，地球上的物体有法向加速度。 几种实用的惯性系一般工程上可用的惯性系 地球(地心或地面)大量的事实和实验表明：地球不是一个严格的惯性系。傅科摆 河岸冲刷 赤道附近的信风 强热带风暴漩涡 落体偏东 地球自转：科里奥利加速度2、地心参考系 earths core 地心参考系相对地面参考系严格些，地球绕太阳公转的角速度：3、日心参考系 suns core 日心参考系相对地心参考系更严格些，但太阳还绕银河中心旋转：2.5亿年转一圈4、FK4参考系 FK4参考系是以选定的1535颗恒星的平均静止的位形作为基准的

7、参考系，是比以上三个参考系都严格的惯性系。13牛顿第二定律：物体受到外力作用时，它所获得加速度的大小与合外力的大小成正比；与物体的质量成反比；加速度的方向与合外力 F 的方向相同。比例系数k与单位制有关，在国际单位制中k=1。二、第二定律（Second law） 惯性质量 引力质量其数学形式为o 物体之间的四种基本相互作用；1、关于力的概念o 力是物体与物体间的相互作用，这种作用可使物体产生形变，也可使物体获得加速度。 力的概念是物质的相互作用在经典物理中的一种表述。143 o 力的叠加原理若一个物体同时受到几个力作用，则合力产生的加速度，等于这些力单独存在时所产生的加速度之矢量和。力的叠加原

8、理的成立，不能自动地导致运动的叠加。2、关于质量的概念 3、牛顿第二定律给出了力、质量、加速度三者间瞬时的定 量关系o质量是物体惯性大小的量度：o引力质量与惯性质量的问题：调节引力常数，使m引，m惯的比值为1。惯性质量与引力质量等价是广义相对论的出发点之一。当物体A以力F1作用在物体B上时，物体B也必定同时以力F2作用在物体A上， F1和F2大小相等、方向相反、且力的作用线在同一直线上。三、第三定律（Third Law） (1)作用力与反作用力特点：同时存在、同时消失，它们不能相互抵消(2)是同一性质的力，但不是一对平衡力注意（3）大小相等，方向相反，沿用一条直线，作用在不同的物体上 (2)

9、对于不同惯性系，牛顿力学的规律都具有相同的形式，与惯性系的运动无关 (1) 凡相对于惯性系作匀速直线运动的一切参考系都是惯性系伽利略相对性原理注意* ：牛顿第三定律只在实物物体之间，且运动速度远小于光速时才成立。 问题：question（1）在运动学中，参考系是否可以任意选取？ （可以） （2）应用牛顿定律研究动力学问题时，参考系是否可以任意选取？ （不可以）（3）平衡力与作用力和反作用力有何不同？ （平衡力是作用在同一物体上的两个力，而作用力和反作用力是作用在两个不同的物体上。）18四、 牛顿定律的应用1、牛顿定律只适用于惯性系；2、牛顿定律只适用于质点模型；4、具体应用时，要写成坐标分量式

10、。合外力3、瞬时关系；说明直角坐标系中常使用分量形式 注： 为A处曲线的曲率半径自然坐标系中A21若F=常量 ， 则若F=F(v) ， 则 若F=F(r) ， 则 5、要根据力函数的形式选用不同的方程形式 牛顿定律的应用 两类问题：已知运动求力 已知力求运动桥梁是加速度解题步骤：1.确定对象，分析受力画隔离体受力图2.分析运动 ：加速度必须是相对于惯性系的加速度 3.列方程 解方程23例2.1一细绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为 和 的物体( )，如图2.2所示.设滑轮和绳的质量可忽略不计，绳不能伸长，试求物体的加速度以及悬挂滑轮的绳中张力.解分别以 ， 定滑轮为研究对象，其隔

11、离体受力如图所示.对 ，它在绳子拉力 及重力 的作用下以加速度 向上运动，取向上为正向，则有对 ，它在绳子拉力 及重力 作用下以加速度 向下运动，以向下为正方向，则有24由于定滑轮轴承光滑，滑轮和绳的质量可以略去，所以绳上各部分的张力都相等；又因为绳不能伸长，所以 和 的加速度大小相等，即有解和两式得由牛顿第三定律知： ，又考虑到定滑轮质量不计，所以有容易证明解(1) 以地面为参考系画受力图、选取坐标如图例2.1（1）一细绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体(m2m1)，如图2.2所示.设滑轮和绳的质量可忽略不计，绳不能伸长，试求物体的加速度以及悬挂滑轮的绳中张力.

12、 （2）若将此装置置于电梯顶部，当电梯以加速度 相对地面向上运动时，求两物体相对电梯的加速度和绳的张力解 以地面为参考系 设两物体相对于地面的加速度分别为 ，且相对电梯的加速度为解得28设x轴正向沿斜面向下，y轴正向垂直斜面向上，则对m应用牛顿定律列方程如下：例2.2升降机内有一光滑斜面，固定在底板上，斜面倾角为.当升降机以匀加速度 竖直上升时，质量为m的物体从斜面顶端沿斜面开始下滑，如图2.3所示.已知斜面长为l，求物体对斜面的压力，物体从斜面顶点滑到底部所需的时间.解以物体m为研究对象.其受到斜面的正压力N和重力mg.以地为参考系，设物体m相对于斜面的加速度为 ，方向沿斜面向下，则物体相对

13、于地的加速度为29解方程，得由牛顿第三定律可知，物体对斜面的压力N与斜面对物体的压力N大小相等，方向相反，即物体对斜面的压力为垂直指向斜面.因为m相对于斜面以加速度沿斜面向下作匀变速直线运动，所以得30解跳伞员的运动方程为改写运动方程为例2.3跳伞运动员在张伞前的俯冲阶段，由于受到随速度增加而增大的空气阻力，其速度不会像自由落体那样增大.当空气阻力增大到与重力相等时，跳伞员就达到其下落的最大速度，称为终极速度.一般在跳离飞机大约10 s，下落约300400 m左右时，就会达到此速度(约50 m/s).设跳伞员以鹰展姿态下落，受到的空气阻力为 (k为常量)，如图2.4(a)所示.试求跳伞员在任一

14、时刻的下落速度.显然，在 的条件下对应的速度即为终极速度，并用 表示：31因t0时，v0；并设t时，速度为v，对上式两边取定积分：由基本积分公式得最后解得当 时， 32设运动员质量m70 kg，测得终极速度 54 m/s，则可推算出以此 值代入v(t)的公式，可得到如图2.4(b)所示的v-t函数曲线. 例2.4 如图，长为 的轻绳，一端系质量为 的小球,另一端系于定点 ， 时小球位于最低位置，并具有水平速度 ，求小球在任意位置的速率及绳的张力解解：以m为研究对象建立自然坐标系（惯性系）受力分析：mgN2 例2.5 质量为m的物体，在光滑水平桌面上运动，其 运动被约束于固定于桌面上半径为R的圆

15、环内，在t=0时，物体沿着切线方向在环的内壁以初速v0运动，物体与环内壁的摩擦系数为m ，求物体在t时刻的速度大小与滑行的路程.S+ORV0VN1m列方程：两边积分RMABF例2.6： 所有的接触面光滑，试问F=?时，A相对于M静止。解：以A、B、M为研究对象分析受力和运动：ABMFBABMF联立求解可得：2005年神舟六号待命飞天注：照片摘自新华网 2.2动量 动量守恒定律神舟六号点火升空注：照片摘自新华网神舟六号发射成功/st/2005-10/12/content_3610021.htm注：照片摘自新华网翟志刚出舱活动挥动五星红旗 2008年神州七号发射成功前言我们往往只关心过程中力的效果

16、力对时间和空间的积累效应。力在时间上的积累效应：平动冲量动量的改变转动冲量矩角动量的改变力在空间上的积累效应功改变能量 牛顿定律是瞬时的规律。在有些问题中，如：碰撞（宏观）、（微观）散射一、冲量中学讲过，恒力的冲量如何求变力的冲量呢？ 在一段有限时间内力的冲量为 注意1冲量的方向由积分的最后结果来定，不能说力的冲量与力的方向一致。 2.分量表示3.图形表示平均冲力4合力的冲量等于各分力冲量之和 例2.7 质量为m质点用绳子系住，在水平面内作匀速率圆周运动(圆锥摆)，周期为t，在质点运动一周的过程中，绳的拉力T的冲量为多少？合力的冲量为多少？ 由对称性分析可得 动量 冲量（矢量） 动量定理在给定

17、的时间间隔内，外力作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量二、质点的动量定理1.某方向受到冲量，该方向上动量就改变说明：2动量定理是由牛顿第二定律推出的，所以它也仅对惯性系成立. 3.动量定理非常适用于打击和碰撞问题。注意 越小，则 越大在 一定时在打击或碰撞过程中，一般冲力远远大于重力，往往可忽略重力 例2.8：一篮球质量m = 0.58kg，从h=2.0m的高度下落，到达地面后，接触地面时间 t = 0.019s。速率反弹，以同样冲力的峰值575N=自身重5.75N100 求：篮球对地的平均冲力解：篮球到达地面的速率mgF例2.9 质量为m的质点自高y0 为处沿水平方向以速率 v0

18、抛出， 与地面相碰后跳起的最大高度为y0/2，水平速率为 v0/2，则碰撞过程中,（1）地面对m的垂直冲量为？（2）地面对m的水平冲量为？ 解：三、 质点系动量定理和动量守恒定律Fipi fj i fi j为质点 i 受的合外力，i j质点系 为质点 i 受质点 j 的内力，为质点 i 的动量。对质点 i ：对质点系：由牛顿第三定律有：所以有：令则有：或质点系动量定理（微分形式）质点系动量定理（积分形式）用质点系动量定理处理问题可避开内力。系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。注意例2.10一辆装煤车以的v=3m/s速率从煤斗下面通过，每秒钟落入车厢的煤为m=500kg，如果使车厢的速率保持不变，应用多大的牵引力拉车厢？（车厢与轨道的摩擦忽略不计） 解： m：表示t时刻煤车和已落入煤车的煤的总质量； dm：表示t时刻后dt时间内又落入煤车的煤的质量。t时刻此系统的水平总量，mv+dm0=mvt+dt时刻此系统的水平总量，(m+dm)vFdt=dp= (m+dm)vmv=dm v F=dm/dt v=5003=1500(N) 这就是质点系的动量守恒定律。即说明： 1.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 质点系所受合外力为零时，质点系的总动量不随时间改变。2.动量守恒定律的条件是 ，而不是 。这是因为后者只说明始末两态的动量相等，不能保证动量始终不变。 3