第二章推理与证明（章末测评）- 高中数学人教A版选修2-2

1、推理与证明一、选择题1“因为指数函数yax是增函数(大前提)，而yeq blc(rc)(avs4alco1(f (1,3)eq sup12(x)是指数函数(小前提)，所以函数yeq blc(rc)(avs4alco1(f (1,3)eq sup12(x)是增函数(结论)”，以上推理的错误的原因是()A大前提错误导致结论错B小前提错误导致结论错C推理形式错误导致结论错D大前提和小前提错误导致结论错A推理形式没有错误，而大前提“yax是增函数”是不正确的，当0a1时，yax是减函数；当a1时，yax是增函数故选A.2用反证法证明命题“eq r(2)eq r(3)是无理数”时，假设正确的是()A假设

2、eq r(2)是有理数 B假设eq r(3)是有理数C假设eq r(2)或eq r(3)是有理数 D假设eq r(2)eq r(3)是有理数D应对结论进行否定，则eq r(2)eq r(3)不是无理数，即eq r(2)eq r(3)是有理数3在平面直角坐标系内，方程eq f (x,a)eq f (y,b)1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc0)的平面方程为()Aeq f (x,a)eq f (y,b)eq f (z,c)1Beq f (x,ab)eq f (y,bc)eq f (z,ca)1Ceq f (xy,ab)

3、eq f (yz,bc)eq f (zx,ca)1Daxbycz1A类比到空间应选A.另外也可将点(a,0,0)代入验证4下面四个推理不是合情推理的是()A由圆的性质类比推出球的有关性质B由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180，归纳出所有三角形的内角和都是180C某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的C逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理5已知f (x)x3x，a，b，cR，且ab0，ac0，bc0，则

4、f (a)f (b)f (c)的值一定 ()A大于零B等于零C小于零D正负都可能Af (x)x3x是奇函数且在R上是增函数，由ab0，得ab，故f (a)f (b)可得f (a)f (b)0.同理f (a)f (c)0，f (b)f (c)0.所以f (a)f (b)f (c)0.故选A二、填空题6用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当nk时，表达式为1427k(3k1)k(k1)2，则当nk1时，表达式为_1427k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)2当nk1时，应将表达式1427k(3k1)k(k1)2中的k更换为k1.7在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角

5、三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c2a2b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S表示截面面积，那么类比得到的结论是_S2Seq oal(2,1)Seq oal(2,2)Seq oal(2,3)类比如下：正方形正方体；截下直角三角形截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S2Seq oal(2,1)Seq oal(2,2)Seq oal(2,3).(这个结论是正确的，证明略)8观察下列等式：eq f (3,1

6、2)eq f (1,2)1eq f (1,22)，eq f (3,12)eq f (1,2)eq f (4,23)eq f (1,22)1eq f (1,322)，eq f (3,12)eq f (1,2)eq f (4,23)eq f (1,22)eq f (5,34)eq f (1,23)1eq f (1,423)，由以上等式推测到一个一般的结论：对于nN*，eq f (3,12)eq f (1,2)eq f (4,23)eq f (1,22)eq f (n2,nn1)eq f (1,2n)_.1eq f (1,n12n)由已知中的等式：eq f (3,12)eq f (1,2)1eq f

7、 (1,22)，eq f (3,12)eq f (1,2)eq f (4,23)eq f (1,22)1eq f (1,322)，eq f (3,12)eq f (1,2)eq f (4,23)eq f (1,22)eq f (5,34)eq f (1,23)1eq f (1,423)，所以对于nN*，eq f (3,12)eq f (1,2)eq f (4,23)eq f (1,22)eq f (n2,nn1)eq f (1,2n)1eq f (1,n12n).三、解答题9. 已知xR，ax21，b2x2.求证a，b中至少有一个是非负数解假设a，b中没有一个是非负数，即a0，b0，所以 ab

8、0.又abx212x2x22x1(x1)20，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，所以，a，b中至少有一个是非负数10已知abcabc，求证：eq f (2a,1a2)eq f (2b,1b2)eq f (2c,1c2)eq f (8abc,1a21b21c2).证明欲证原式，即证：a(1b2)(1c2)b(1a2)(1c2)c(1a2)(1b2)4abc左边全部展开，得左边abc(abbcca)ab2ac2ba2bc2ca2cb2abc，利用abcabc，得：上式4abc右边故原等式成立1已知123332433n3n13n(nab)c对一切nN*都成立，那么a，b，c的值为()Aaeq f

9、(1,2)，bceq f (1,4)Babceq f (1,4)Ca0，bceq f (1,4)D不存在这样的a，b，cA令n1，得13(ab)c，令n2，得1239(2ab)c，令n3，得12333227(3ab)c，aeq f (1,2)，bceq f (1,4).故选A.2对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：22133213542135723353379114313151719根据上述分解规律，若m213511，n3的分解中最小的正整数是21，则mn()A10 B11C12D13Bm213511eq f (111,2)636，m6.2335,337911，43131517

10、19，532123252729，n3的分解中最小的数是21，n353，n5，mn6511.3观察sin210cos240sin 10cos 40eq f (3,4)；sin26cos2 36sin 6cos 36eq f (3,4).由两式的结构特点可提出一个猜想的等式为_sin2cos2(30)sin cos(30)eq f (3,4)观察401030，36630，由此猜想：sin2cos2(30)sin cos(30)eq f (3,4).4给出下列不等式：ab0，且a2eq f (b2,4)1，则aba2b2；a，bR，且ab0，则eq f (a2b2,ab)2；ab0，m0，则eq f

11、 (am,bm)eq f (a,b)；eq blc|rc|(avs4alco1(xf (4,x)4(x0)其中正确不等式的序号为_ab0，aeq f (b,2).a2eq f (b2,4)12eq r(a2f (b2,4)ab.1ab0.aba2b2ab(1ab)0.aba2b2.正确eq f (a2b2,ab)2eq f (ab2,ab).abb0，m0，b(bm)0，ba0.eq f (bam,bbm)0)中，AB为直径，C为圆上异于A，B的任意一点，则有kACkBC1.你能用类比的方法得出椭圆eq f (x2,a2)eq f (y2,b2)1(ab0)中有什么样的结论？并加以证明解类比得到的结论是：在椭圆eq f (x2,a2)eq f (y2,b2)1(ab0)中，A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，点C(x，y)是椭圆上不同于A，B的任意一点，则kACkBCeq f (b2,a2).证明如下：设A(x0，y0)为椭圆上的任意一点，则A关于中心的对称点B的坐标为B(x0，y0)，点P(x，y)为椭圆上异于A，B两点的任意一点，则kAPkBPeq f (yy0,xx0)eq f (yy0,xx0)eq f (y2yoal(2,0),x2xoal(2,0).由于A，B，P三点在椭圆上，两式相减，得eq f