考试课后题答案--

1、2二证明题2.已知一个电荷系统的偶极矩定义为p(t)(x,t)x,dv,利用电荷守恒定律0证明的变化率为dpJ(x,t)dv,tdt v解：p(t) (x,t)x,dv, (T就是方向符号)vx,与时间无关，取的 p(t) 一个分量为Pi(t)(x, ,t)xi dv,vdpi (t)dtpi(t)xi(xi ,t)dv,vxi , Jidv, v,(X Ji)dv,( , xi Ji)dv,v(x Ji) ds Ji dv,(p上的乱码为p上一个点，rou也是，dv后都有一小撇)考虑到积分区域的表面比电荷所在区域大得多时，表面上的电流为0。： (xJi) ds=0s所以dR (t)dtJi

2、dv, v故得dpdtJ(x, ,t)dv, v3.证明:(1)两种介质的分界面上不带自由电荷时，电力线的曲折满足tan 2tan 1中1和2分别为两种介质的介电常数,1和2分别为界面两侧电力线与法线的夹(2)tan 2tan 1，其中1, 2分别为两种介质的电导率。角.当两种导电介质内流有稳恒电流时，分界面上电力线曲折满足解：(1)考虑到界面上无自由电荷，故知:Dm即E1tDiD2n即 D1 cosE2t1E1D21D2 cos 2且 n (E2E1) 0Ei sin 1E2 sin 22 E2故生J1 E1 cos 1E2sin 2 即得 tan 2E2 cos 21(2) 一直导电介质内

3、流有稳恒电流故J 0可知 J1nJ2n即 J1cos 1 J2 cos 2又知稳恒电流的电场与静电场之边界条件相同，故E1tE2t 即 Esin 1E1 sin 2且J11E1故得 2 8s 11 cos 2 即 tanJ22E2sin 1 sin 2110.设A和是满足洛伦兹规范的失势和标势。引入一矢量函数 4,t)(即赫芝势)，使(字母上边的均为方向符号，其中g为称号)证明：在洛伦兹规范1 c2 t(1)下A和遵从达朗贝尔方程:(2)工二C27(3)代入(1)式得Z)=0因为(1)式对任意点任意时刻都成立,故方程(4)对任意点任意时刻也成立,因此括号内两个矢量最多只相差一个无散场， 令其为

4、0,便有1_Zc2 t三计算题1有一内外半径分别为 r1和r2的空心介质球，介质的介电常数为，使介质内均匀带静止电荷f，求空间各点的电场极化体电荷和极化面电荷分布解：(1)空间各点的电场由于自由电荷均匀分布在介质球内，电场具有球对称性分布， 利用高斯定理可解得(r23 r13) f30r3(r3 r13) f3 or3(r2)(rirr2)(rri)极化体电荷和极化面电荷分布:r上)范围内存在极化体电荷pP e oE ( r 1) oEp ( r 1) 0 E (rir r2)或 p (1) f在r=r2球面上的极化面电荷p(前边是r=r2)pn (P2 Pi)n ( r 1) 0E2(r23

5、r)fE23r nr r3 r21) aI) 0r)3 r23/33(r2r1)23r2(rr2)在r=r1的球面上的极化面电荷p(前边是r=r1)p n (P,2P,3)P30P,2 e E,2E,20r r12.内外半径分别为r1和r2的无穷长中空导体圆柱， 沿向流有稳恒自由电流 Jf,导体的磁导率 为。求磁感应强度和磁化电流。解：沿中空倒替圆柱轴向流动的均匀自由电流Jf所产生的磁感应强度具有轴对称性，因而可 应用安培环路定律求 B三个不同区域的 B可分别算出/220(r2r1)2p22(rr1)2r3(r(i(r现在计算磁化电流:JMJm m H2)2)ri)mH1)Jf(一01)Jf磁

6、化电流面密度为mn H当 r=r2 时，H H22riM2(1)022ri当r=ri时H H2 0M1016.在接地的导体平面上有一半径为a的半球凸部(如图),半球的球心在导体平面上，点n是柱面外法线单位矢径电荷Q位于系统的对称轴上，并与平面相距为b (ba),试用电象法求空间电势。解：如图，根据一点电荷附近置一无限大接地导体平板和一点电荷附近置一接地导体球两个模型，可确定三个镜像电荷的电量和位置。22-a _a_a_aQ1Q, r1ez；Q2-Q，匕 ez；bbbbQ3 Q , r3 bez,所以Q 1 14 0R2 b2 2RbcosR2 b2 2Rbcosa422 a aR22 2 Rc

7、osb2 b4 ab222Rcos b(02, R a)17.有一点电荷Q位于两个互相垂直的接地导体平面所围成的直角空间内，它到两个平面的距离为a和b, 求空间电势。解：用电像法，可以构造如图所示的三个象电荷来代替两导体板的作用。1.(x x)2 (y a)2(z b)21(x x)2 (y a)2 (z b)21(x %)2 (y a)2 (z b)2(x x)2 (y a)2 (z b)2,(y,z 0)20.有一块磁矩为 m的小永磁体，位于一块磁导率非常大的实物的平坦界面附近的真空中,求作用在小永磁体上的力解：根据题意，因为无穷大平面的m艮大，则在平面上所有的 H均和平面垂直，类比于静电

8、场，构造磁矩Bem关于平面的镜像 m,则外场为:Be3r2 cos3- rmcos4 r2sin0m3 (2 cos er sin e )4 r3m受力为:F (m)B2a20m464 a4(12cos)ez21.一平面电磁波以 数和折射系数。45。从真空入射到r 2的介质，电场强度垂直于入射面， 求反射系解：设n为界面法向单位矢量，(S)、(S)分别为入射波、反射波和折射波的玻印 亭矢量的周期平均值，则反射系数 R和折射系数T定义为：S nS nE2声TE0S nS n2 n2cos E2 匚2 n cos E0又根据电场强度垂直于入射面的菲涅耳公式，可得21 cos R1 cos根据折射定

9、律可得：2 cos 2 cos ”30，代入上式,丁 2 32 ,34、1 , 2 cos cos 21 R(.,1 cos 2 cos )得22.有两个频率和振幅都相等的单色平面波沿方向偏振，但相位比前者超前 怎样的两个线偏振？)解：偏振方向在 x轴上的波可记为Ex A0 cos( t在y轴上的波可记为/2,kz)EyA0 cos( tkz0y 0 xz轴传播，一个波沿 x方向偏振，另一个沿 y 求合成波的偏振。(反之，一个圆偏振可以分解为A。cos( t 0 x)/2) A0 cos( t0y)/2合成得轨迹方程为:E2E2x y-2 .2 ,A0 cos ( t0 x)2 /cos (

10、t 0y)A(2cos2( t 0 x) sin2( t 0 x) Ao所以，合成的振动是一个圆频率为的沿z轴方向传播的右旋圆偏振。反之一个圆偏振可以分解为两个偏振方向垂直，同振幅，同频率，相位差为 /2的线偏振的合成。(另一问)。23.已知海水的r 1 ,1S- m-1,试计算频率为50, 106和109Hz的三种电磁波在海水中的透入深度。解：取电磁波以垂直于海水表面的方式入射，透射深度为：由于1)当2)当3)当1/,2/1/ ,1,所以0，1/.,050 Hz 时，1 1/50 410 7 172 m106 Hz时，21/ .106 410 7 10.5 m109 Hz 时,31/ .10

11、9 410 7 116 mm26. 一对无限大的平行理想导体板，相距为b,电磁波沿平行于板面的 z方向传播，设波在x方向是均匀的，求可能传播的波模和每种波模的截止频率。解：在导体板之间传播的电磁波满足亥姆霍兹方程：(2 k2)E 0k -0 0E 0令U (x, y,z)是E的任意一个直角分量，由于E在x方向上是均匀的，所以U(x, y,z) U (y, z) Y(y)Z(z)在y方向由于有金属板作为边界，所以取驻波解；在 z方向是无界空间，取行波解。所以通解为：U(x, y,z) (C1sinkyy D1coskyy)e1kzz由边界条件：n E 0和En/ n 0定解，得到ExA sin(

12、 n y /b)ei(kzz ；Ey A2 cos(n y/b)ei(kzz ；EzA3 sin( n y/ b)ei(kzz t)22.22222且 k /c n /b kz , ( n 0,1,2,)又由 E0得：Ai独立，与A2, A3无关，A2n /b ikzA3令kz=0得截止频率：c n c/b30.设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为，它们以相同速率 v相对于某一参考系运动，但运动方向相反，且平行于尺子。求站在一根尺上测量另一根尺的长度。解：根据相对论速度交换公式可得2系相对于1的速度大小是2,2、 TOC o 1-5 h z v 2v/(1 v /c )(1);

13、在1系中测量2系中静长为0l的尺子的长度为l l041 v2/c2(2)将(1)代入(2)即得：l 1o(1 v2/c2)/(1 v2/c2)(3)此即是在1系中观测到的相对于2静止的尺子的长度。31.静止长度为10的车厢，以速度v相对于地面S运行，车厢的后壁以速度 U0向前推出一个 小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。解：根据题意取地面为参考系 S,车厢为参考系S,于是相对于地面参考系 S,车长为 TOC o 1-5 h z 110#l v2/c2 ,(1)车速为v,球速为U (U0 v)/(1 U0V/C )(2)所以在地面参考系S中观察小球由车后壁到车前壁u t v t 1

14、所以t 1 /(u v)(3)2将(1) ( 2)代入(3)得：t 10(1 U0v/C )u011 v2/c232 一辆以速度v运动的列车上的观察者，在经过某一高大建筑物时，看见其避雷针上跳起一 脉冲电火花，电光迅速传播，先后照亮了铁路沿线上的两铁塔。求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时刻差。 设建筑物及两铁塔都在一直线上，与列车前进方向一致。 铁塔到建筑物的地面距离都是10。解：取地面为静止的参 考系。取x轴与x轴向一致，令t=0时并令此处为 系与 在系中光经过t的原点，如图。1。/ c的时间后同时照亮左右两塔 ，但在考系，列车为运动的参平行同向，与列车车速方 刻为列车经过建筑物时，X

15、右101 110.1 ,即:d 右vt22v/cI vt2 / 2v /c1010.1 v2 / c210(1(1 v/c)(1 v/ c)v/ c) , d左10.1v2 / c2(1 v/c)系中观察两塔的位置坐标时间差为2V10d 右cc2,1 v2/c2在坐标系 中，有两个物体都以速度 U沿X轴运动，在 系看来，它们一直保持距离1不变, 今有一观察者以速度 v沿X轴运动，他看到这两个物体的距离是多少？解：根据题意，取固着于观察者上的参考系为系，又取固着于AB两物体的参考系为“系.在 中，A B以速度u沿x轴运动，相距为1;在“系中，A B静止相距为10,有：l l0 .1 u2/c21 0 212,1 u /c又系相对于以速度v沿X轴运动，”系相对于 系以速度u 1&x轴运动