考点08解析几何-2020高考(理)模考考前复习指导与抢分集训(解析版)

1、专题一核心考点速查练考点08解析几何核心考点呈现.直线倾斜角和斜率.两点间距离公式、点到直线距离公式、两条平行直线间距离.直线与圆的位置关系、圆于圆的位置关系.椭圆、双曲线、抛物线的性质.直线与椭圆、抛物线的位置关系中的定点定值问题、范围最值问题1.已知点1,在直线l : ax0的两侧,则直线l的倾斜角的取值范围是(A. 一4B.2C.一33D. 0,34设直线1的倾斜角为 院0,4点A(1,-2), B(1 ,0).直线 l:ax-y-1=0(aw 瞅过定点 P(0,-1). TOC o 1-5 h z ,12/ ,1 0-kPA 1,kPB13.0 1003一一3 一.点(1,-2)和(3

2、,0)在直线 1：ax-y- 1=0(aw0)两侧, kpAakPB, .-1 tan 0)的焦点，曲线C2是以F为圆心，以?为半径的圆,0与曲线CVC2从上到下依次相交于点 A,B,C,D ,则34y2pxB.AF2p, DC4y aC.可以得到2TM，使得2y23py2p2yA5p25P _P _P828PMQ90DFABDC16,222) y5p8 ，选A.若在圆,则a的取值范围是(ABCD2p,yDC上存在两点B. 6- 572,6 + 572D. -6- 572,- 6+ 572).所以2【解析】如图:过圆心C作CE l交于E ,过E作圆C的切线交圆于F、GFEG是圆心两点与l上一点

3、形成最大的角,只要 FEG 90满足条件，即 FEC 45 ,CF即d应，EF 72，EC 2,6 a 2,56 a 10,16 a 4.故选：C221（a b 0）, Fic,0和F2（c,0）分别是椭圆的左右焦点14.已知椭圆方程为勺a b若P是椭圆上的动点，延长 FF到M ,使PMPF2 ,则M的轨迹是圆;若P x0,y0是椭圆上的动点，则 PF1a c,a c ； 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切;2 ,点P为椭圆上任意一点F1PF2,则椭圆的焦点三角形的面积为S b tan -2以上说法中，正确的有（）A.B.C.D.【答案】A【解析】对于，根据椭圆的定义可知 P

4、F1 PF2 2a,所以PF1 PM 2a ,也即M到Fi的距离为定值2a,故M的轨迹是圆，所以 正确.对于，当P为左顶点时， PF1 a c,当P为右顶点时，PF1 a c,所以PF1 a c,a c ,所以错误.对于，以PFi为直径的圆，圆心为M ,半径是1|PF；.以长轴为直径的圆，圆心为M ,2半径为a.连接PF2 ,则OM是三角形PF1F2的中位线，由于 PF1 PF2 2a ,所以一r一 一一.一1一一，、乂一MF1MO a,即两圆圆心角MOa MF1a 一PF1等于两圆半径之差，故两个2圆内切，故正确.对于，设PFi m, PF2 n,依题意m n 2a (*),由余弦定理得1m

5、nsin (* )，将(*)、(* )、 2b2 sin(* )联立化简得，S b1 cosb2 2sin cos222cos2 一22 ,b tan.故正确.所以正确的为 24c2 m2 n2 2mn cos (*),而三角形的面积为 S.故选：A.15.四边形 ABCD, AB/ CD, ABBC , 2ABAD CD 2J3 ,则 ABC 的外过A作AF CD交CD于点F ,则DF接圆与 ACD的内切圆的公共弦长()D. 2A. 1B.应C. 73【解析】以C为坐标原点，以 CB,CD为X轴，y轴建立平面直角坐标系,V3, AD 2M ，故 FDA 600,则 ACD为等边三角形,故 B

6、(0,3) A(73,3) D(2T3,0),ABC的外接圆方程为(X y)2 (y 3)2 3,ACD的内切圆方程为(x 网;(y 1)2 1,-得两圆的公共弦所在直线方程为：J3x y 3 0,ABC的外接圆圆心到公共弦的距离为公共弦长为2,3 9点，故答案为：C.、3 3 332216.已知两圆Ci： (x 4)2 y2 169, C2 ： (x 4)2 y2 9 ,动圆在圆C1内部且和圆C12A.642y48C.D.48 6464 48相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心 M的轨迹方程为()设动圆圆心M x,y ,半径为r ,Q 圆 M 与圆 C1 ： (x 4)222y 169内切，与

7、圆C2： (x 4)2y 9外切,MC113 r, MC2 r 3,|MC1 MC2 16)8,由椭圆的定义,M的轨迹为以C1，C2为焦点的椭圆,可得 a 8, c 4 ；则 b2 a2 c2 48, TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark24 o Current Document 22动圆圆心M的轨迹方程：1 1 ,故选D.64 48 HYPERLINK l bookmark209 o Current Document 22F1、F2 ,若椭圆上存在点P使得17.已知椭圆、与1(a b 0)的两个焦点分别为 a bF1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是(A.

8、0，/B.2T，1D.I1C.0,2【解析】F1PF2渐渐当动点P从椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角增大，当且仅当P点位于短轴端点F0处时，张角 F1PF2达到最大值.FiF0F290 ,:椭圆上存在点 P使得 F1PF2是钝角，VFiF0F2中,RtV OP0F2 中,OP0F245 018.已知椭圆2x2ay2 b21 a b 0的左右焦点分别为F1,F2,离心率为e,若椭圆上存PF1在点P ,使得PF2e,则该离心率e的取值范围是（A.五 1,10,V2 1【解析】依题意，得PF1PF2PF2 PF1PF2为e 1, PF22a 立PF2 ,又ae 1d UPF

9、2a c,不等号两端同除以a得,2_ 2， a 2c卷椭圆离心率的取值范围是 e， e 12345521e2, 2_l，解得eJ2 1 ,1e2,2 1, e1.1故选：A19.已知椭圆C：2 匕 b21(a b 0)的左、右焦点分别为F1, F2,点P是椭圆C上一点，椭圆C内一点Q满足:点Q在PF?的延长线上QF1QP.若 sin3F1PQ一，则该5椭圆离心率的取值范围是(c叵110D.,26 .226 , 2Q QF1 QP ,点Q在以F1F2为直径，原点为圆心的圆上,Q点Q在椭圆的内部，以F1F2为直径的圆在椭圆内,2c2Q sinF1PQcosF1PQ2x35设PF1n,4c22mn

10、cos F1PQ ,4c22mn 8mn 4c2 4a2 -mn ,5518mn54a2pf#21一 mn23 _sin F1PQ -mn,10由已知可知，点Q在以F1F2为直径的圆上，不包含 Fi, F2两个点,当点Q与F2重合时，此时b2-一 ,S PFF2的取大值是PF1F22cb2b2ca由图象可知其他满足条件的Q满足条件时，需满足-3mn10b2c10 b2cmn 3 a.一.10 0由可知mn 一b910b2cac解得：c a综上可知:e20.若双曲线C2 xa12y/ 1(a 0,b0）的一条渐近线被曲线4x0所截得的弦长为2.则双曲线C的离心率为（C.而【答案】B【解析】1(a

11、 0,b 0)的渐近线方程为 yb-由对称性，不妨取 y - x , gp bx ay 0 .a又曲线x2 y2 4x 2 0化为x 2 2 y2 2,则其圆心的坐标为 2,0 ,半径为拒.由题得，圆心到直线的距离d J&2 12 1 ,12b 0又由点到直线的距离公式.可得d 1.b2 a2解得b2 1,所以e g眄二穹.a 3.a , a .a 3故选：B. 2221.设双曲线、4 1 a 0,b 0的右焦点为F ,右顶点为A，过F作AF的垂线与 a b双曲线交于B ,C两点，过BC分别作AC , AB的垂线，两垂线交于点 D .若D到直线BC的距离等于a2b2 ,则该双曲线的离心率是(b

12、. 73C. 2【解析】依题意可知b2A a,0 ,B c, ,C ab2C,kAB aJ k，CDc ab2,所以直线BD :b2 yac，直线CD ：b2D,-并化简得c,直线BC方程为b4xD - c .由于d到直线BC的距离等1a c abx c,所以Xd - c a ,化简得a2 b2,a b ,所以双曲线为等轴双曲线，a c a离心率为22.故选：A22.在平面直角坐标系 xOy中，双曲线勺 _y2 1 a 0,b 0的右支与焦点为F的抛物a b线x2 2py p 0交于A、B两点，若AF BF 4 OF ,则该双曲线的渐近线方程J2x2 y_ b22消去x得4 b22pm-2-

13、y 10 ,由韦达te理信 yiy2a2P2a12pb2a2py【解析】设点A为，必、B X2,y2 ,将双曲线的方程与抛物线的方程联立 TOC o 1-5 h z _ _ p 一Q AFBF 4 OF ,且点F 0专，由抛物线的定义得 y y2 P 2p ,2pb2 /口 b21 皿 b .2所以 yy2 p ,得一 一,贝U .aa2a 2M因此，该双曲线渐近线方程为y2x.22故答案为：y x.2.汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处.已知灯口直径是26厘米，灯深11厘米，则灯泡与反射镜的顶点的距离为 厘米.（精确到0.1厘

14、米）【解析】设抛物线的标准方程为方程得：132 2p 11,解得p =169，所以-22169443.8，即灯泡与反射镜顶点的距离约为2y 2 Px ( p 0),由题意抛物线经过点(11,13)，代入抛物线3.8.故答案为:3.8.24.过点M 1,0的直线l与抛物线C :y2 4x交于A, B两点(A在M , B之间)，F是抛物线C的焦点，若S MBF 4S MAF , 则 ABF的面积为 .【答案】3.【解析】不妨设 A, B在第一象限，如图，设 A(0y)B(x2,y2),由题意F(1,0), TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark294 o Curren

15、t Document C-1.1.S MBF 4s MAF ,- MF y24 - MF y1 , , y24y1 HYPERLINK l bookmark304 o Current Document 22又M,A,B共线，._y_ x1 1v%y2十，即1 2x21y14y212一把y2-y2144y1代入得:小4y11yl214yj1，显然y1,解得y11, y24,S MAF 2 11 , S MBF 4 , S FAB S MBF S MAF225.已知O为坐标原点，椭圆2T.上 ,2ay2 i的离心率为2 , 一个顶点为B 0,i ,过椭 b2圆上一点P的两条直线PA, PC分别与椭

16、圆交于 A, C,设PA, PC的中点分别为 D, E,直线pa, pc的斜率分别是ki , k2(ki,k20),若直线OD, OE的斜率之和为 2,则4ki k2的最大值为【解析】不妨设ab,根据题意可知ab2a2 ib2，解得：a . 2,b i,c i2椭圆方程是-设 P %, %,A X2, y2,B X3, y32Xi22X222 yi2y2i,两式相减得i2XiX2整理为:XiX2XiX22yiy22 y2yiy2当 X1X20 ,且 X1X20时,yiy2Xx2yiX1X2ki koD0 ,即 Qd【答案】.3 1同理：koE12k22k1 2k22,1即一 k1k24k1k2

17、4k1k245k2 4klk1k2k24k1Q k1,k24k1k1k2k14k1k22x4 4k2 4k1k1k21 k2 4k1当且仅当4 k1k2k24 k1k1k2时等号成立，即k2 2k1 时,，一9故4k1 k2的最大值是一4x26.已知椭圆一1的左、右焦点分别为164.9故答案为：94F1,F2，点P在直线l:x J3y 8 2M 0上，当 F1PF2取最大值时,PF1PF222【解析】椭圆 y- 1的左右焦点分别为Fi( 2/3, 0)、与F2Q用,0) .164如图，根据平面几何知识知，当F1PF2取最大值时，经过Fi与F2的圆与直线l相切，此时圆心在y轴上，坐标为 A(0,

18、2),在直线l:x掷y 8 240中令y 0得B的坐标:B 8 2点0 ,在三角形BPFi和三角形BF2P中，BPFiBF2P,BPFiS BF2P ,|PFi | PBABPA2IPF2 | BF2BO OF2A、B两点，与准线交于 C点,优uuu右FCuur皿胆4FB，则 AB【解析】焦点坐标为 F i,0 .画出图像如下图所示，作 BD垂直准线x i交准线于D,根据抛物线的定义可知 BF BD ,由于FC 4FB，所以,设直线l的倾BC BC 3斜角为 ，则cos 1，所以tan 01 cos22/2，即直线l的斜率为2 J2，所3cos以直线l的方程为y 2 J2 x 1，代入抛物线方

19、程并化简得 2x2 5x 2 0 ,所以5 uuuXa Xb-,所以 AB259xX2p - 2 -.2228.在平面直角坐标系 xOy中，过点（0, 1）的直线l与双曲线3x2 y2 1交于两点A,B,若OAB是直角三角形，则直线 1的斜率为直线1的斜率显然存在，设直线为 y联立双曲线:3x2y2 1,消去y得:k22- 一x 2kx 2 0.若AOBuur uur90 ,则 OA OB0XaXbkxA 1kxB 10(1k2)XAXB k Xa Xb10 (1 k2)23 k2解得若OAB90 （A在左支）A点坐标（m, n)(OAB 900,联立双曲线无解，故不可能出现OAB 90 。若

20、 OAB90 （B在右支）,同理不可能故答案为:29.已知点A( 76,0)和点B( J6,0),记满足kpA kpB1 ,一的动点P的轨迹为曲线C .3（I ）求曲线C的方程;（n）已知直线l ： y k（x 1）与曲线C有两个不同的交点 M、N ,且l与x轴相交5iuuLr点E .若ME2黄，O为坐标原点，求 MON面积.【答案】（I ） x23y2 6 (x76) ； ( n)3/58【解析】（i ）设点x, y为曲线C上任意一点由 kpA kpB整理得x23y2 6(n )设 M xi,yiN x2,y2，且 E 1,0,uuu uuu,口由ME 2EN得 1xi, yi2 X21,

21、y2, , y12y2依题意，直线l显然不平行于坐标轴，且不经过点A或点B可化为x1ky1 ky 3y23 y2y1y2y22k3k25/ 32k1 3k25k21 3k2y12y2y22 y222k1 3k2 5k21 3k221消去y2,整理得k 一即k5 MON的面积S-|OE| y1y23:582 x 30.已知E,F2是椭圆C:-2 a2/ 1(a b 0)的两个焦点，P为C上一点，。为坐标原八、(1)若VPOF2为等边三角形,求 C的离心率;(2)如果存在点P,使得PFiPF2,且 45F52的面积等于16,求b的值和a的取值范围. e 61； (2)b 4, a的取值范围为4J2

22、,).(1)连结 PFi ,由VPOF2为等边三角形可知：在 F1PF2中,F1PF290,PF2c,PFi73c于是 2a PF1 PF2故椭圆C的离心率为e(2)由题意可知，满足条件的点1P(x, y)存在，当且仅当1y 2c162L 1b2，y 16由以及ab2 c2 得 y2b422 ,又由知y c咚，故b c由得x222-(c2 b2),所以 c2 b2,从而 a c.222b c 2b32 ,故 a 4V2 ；当b 4,4 、, 2时，存在满足条件的点 P .故b 4, a的取值范围为4 72,).2231.已知椭圆:C :xy 4 1(a b 0)的四个顶点围成的四边形的面积为2

23、J15,原点a b1的距离为迤.4(1)求椭圆C的方程;(2)已知定点P(0,2),是否存在过P的直线l ,使l与椭圆C交于A, B两点，且以|AB|为直径的圆过椭圆C的左顶点？若存在，求出l的方程：若不存在,请说明理由【答案】(1)21； (2)存在，且方程为y 325 x58Jx 2.5(1)直线1的一般方程为bxay ab 0依题意2abab a2 b22 15.304解得,.5,故椭圆.3C的方程式为2,22a b c(2)假若存在这样的直线当斜率不存在时，以AB为直径的圆显然不经过椭圆所以可设直线l的斜率为k ,则直线l的方程为y kx2.y kx 2J 2 ,，得 33x2 5y2

24、 155k22x 20kx0.400k2 20 35k20,B的坐标分别为x”x2,y2 ,x220 k3 5k2Xx252 ,3 5k2而 yy2kx1 2 kx21 2k %x2 2kx1x24.要使以即 y1y2AB为直径的圆过椭圆C的左顶点D,5,0uuvDAuuvDB0，x1. 5x2, 2k 1 x1x22k.5x290,2.520k0,所以 k 1 2 2k 、5 23 5k2- 3 5k2整理解得k 翌5或k还，所以存在过P的直线l ,使l与椭圆C交于B两点，且以AB为直径的圆过椭圆 C的左顶点，直线l的方程为y 迤x 2或52.32.设斜率不为0的直线l与抛物线x24 y交于

25、A，B两点,2与椭圆62y-1交于C ,4D两点，记直线 OA, OB, OC , OD的斜率分别为（1）若直线l 过 0,4 ,证明：OA OB ；（2）求证:k. k2-2的值与直线l的斜率的大小无关.k3 k4【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）设AB直线方程为:y kx 4设 A Xi,yiB%, y2)2xi2乂24 y1两式相乘得:4 y22xx216y1y2将AB直线方程代入抛物线x2 4kx16 0 x1x216，y1y216,x1x2yy20uuu uuuOA OB 0 OAOB（2）设直线1: ykxm ， A x1,y1B x2,y2C x3, y3D x4,y

26、4 .联立y kx m和x2 4kx贝U x1 x2 4k , xix24mk k y.鱼 &k k2 TOC o 1-5 h z x x24422x 6kmx 3m 12 0 , HYPERLINK l bookmark277 o Current Document 22联立y kx m和人 1得2 3k26426 km 4_22 一2 3k 3m 1204 6k此式可不求解的情况下,6 kmX3X43k2X3X423m2 122- )2 3k2所以k4kik3yX3yX42k m - 2kX3 X4m x3x42kX3X46 km2T 23m2 128k4k2k4-2m 4,一是一个与k无关

27、的值.833.已知动圆E经过点F 1,0 ,且和直线l :x 1相切.(I )求该动圆圆心E的轨迹G的方程;(n)已知点A 3,01的直线l与线段OA相交(不经过坐标原点O和点A ),且与曲线G交于B、C两点，求n ABC面积的最大值.【答案】(I ) y24x； (n)32 39E的轨迹是以F 1,0为焦点，直线1为准线的抛物线,故：曲线G的方程是4x .(n)设直线l的方程为x m淇中一3 mb0); 左焦点为 F1 ( - 1, 0),离心率 e=-.c=1 , a=l2,b2=a2- c2=12 日椭圆G的标准方程为：+1.b-(2)设 A (x1, y1), B (X2, y2),

28、C (x3, y3), D (x4, y4)y=kas+ 叫证明：由 消去y得(1+2k2) x2+4km1x+2m12 2=0 x +2y2=2A=8(2k2-m12+l)0-4k叫X1 +X2=,X1X2=1+水|AB|二l -Jsk2-m, 2+1=2一同理|CD|=2. .： , 2匚l+2k2由 |AB|二|CD|得 2.二12谓二叫汩1十2小二21J2k 2-102。+1lf2k2 mi 布12,mi+m2=0四边形ABCD是平行四边形，设AB, CD问的距离d=; mi+m2=0, s=|AB| $2d/Q/2k2 - in 1 +1(1+2/)2k2_m 十叫之-d72近L+2k2%)叫1+2小所以当2k2+1=2mi2时，四边形ABCD的面积S的最大值为2/235.已知