第十八章全国通用版中考数学：《平行四边形》与坐标系结合压轴题(二)—解析版

1、第十八章专题：平行四边形与坐标系结合压轴题(二)1.如图，在平面直角坐标系中，AB /OC, A (0, 12), B (a, c) , C (b, 0),并且a, b满足b= 府市 /口 + 16. 一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点 B 运动；动点Q从点。出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点 C运动，点P、Q分别从 点A、O同时出发，当点 P运动到点B时，点Q随之停止运动.设运动时间为t (秒)(1)求B、C两点的坐标；(2)当t为何值时，四边形 PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；(3)当t为何值时，APQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出

2、 P、Q两点的坐标.(1) , b= a-21 JT+16,.a=21, b=16,故 B (21, 12) C (16, 0)； (2)由题意得：AP=2t, QO=t,贝U： PB=21-2t , QC=16-t,当PB=QC时，四边形PQCB是平行四边形,.21-2t=16-t,解得：t=5,P (10, 12) Q (5, 0);(3)当 PQ=CQ 时，过 Q 作 QNAB,由题意得：122+t2=(16-t) 2, 解得：t=3.5,故 P (7, 12), Q (3.5, 0),当PQ=PC时，过P作PM x轴,由题意得：QM=t , CM=16-2t ,则 t=16-2t,解得

3、：t=16, 2t=32, 330).故 p( 32,12), q(16,33风0)2.如图1,在平面直角坐标系中，AB，y轴于点A, BC，x轴于点B,点D为线段BC的中点，若AB=a , CD=b ,且J2 a 8 v5 +/4我 a +2屈=b .连接AD ,在线段OC上取一点E,使/ EAD= / DAB .(1)贝U a=, b=(2)求证：AE=OE+CD ;【解答】a=4 v15 , b=2 后,(2)由(1)可知 AB=4 75, CD=BD=2 V5 , . AB=CB ,.AB y 轴于点 A, BCx 轴于点 B,，乙 BAO= / B= / AOC=90 ,四边形ABC

4、O是矩形，AB=CB , 四边形ABCO是正方形，延长 CO 至u M ,使得 OM=BD ,贝u ABDAOM , ，/4=/M, Z1 = Z2=Z3,. OA/BC, . /4=/2+/5=/5+/3=/EAM , . . / M= / EAM , . AE=EM=OE+OM=OE+BD BD=CD , .1. AE=OE+CD .(3)如图 2 中，设 AE=EM=x .在 RtAAOE 中，AO2+OE2=AE2, - x2= (4M=10,22(3)过点E作EFXCD,如图，由(2)有，CM=5 , CE=4, ME=DM=3在 RtCEM 中，由射影定理得， CE2=CFXCM

5、,16=CFX5,，CF=3.2,Ma CE=CMK EF (直角三角形的面积的两种计算)，EF=2.4,% E . DF=CD-CF=4.8 , BC+EF=6.4 , . . E (4.8, 6.4).已知正方形OABC在平面直角坐标系中，点 A, C分别在x轴，y轴的正半轴上，等腰直角三角形OEF的直角顶点O在原点，E, F分别在OA, OC上，且OA=4 , OE=2 .将AOEF绕点O逆时针旋转，得OEiFi,点E, F旋转后的对应点为Ei, Fi.(I )如图，求EiFi的长；如图，连接CFi, AEi,求证OAEiOCFi；(II)将AOEF绕点O逆时针旋转一周，当 OEi/CF

6、i时，求点Ei的坐标(直接写出结果即可)姝姝CBC石【解答】(I )解：二.等腰直角三角形 OEF的直角顶点O在原点，OE=2, / EOF=90 , OF=OE=2 ,. EF=2 血，将AOEF 绕点 O 逆时针旋转，得OEiFi, .EiFi=EF=2 J2 ； 证明：四边形OABC为正方形，OC=OA .将AOEF 绕点 O 逆时针旋转，得 OEiFi,AOEi=/COFi, OEF是等腰直角三角形，.OEiFi是等腰直角三角形， OEi=OFi.在 AOAEi 和 OCFi 中，OA=OC, /AOEi=/COFi, OEi=OFi.OAE 卢OCFi (SAS)；(n)解： OEX

7、OF,卜过点F与OE平行的直线有且只有一条，并与 OF垂直，当三角板OEF绕。点逆时针旋转一周时，则点F在以O为圆心，以OF为半径的圆上.过点F与OF垂直的直线必是圆 O的切线，又点C是圆O外一点，过点C与圆O相切的直线有且只有 2条，不妨设为CFi和CF2, 此时，E点分别在 Ei点和E2点,满足 CF1/OE1, CF2/OE2.当切点Fi在第二象限时，点 Ei在第一象限.在直角三角形CFiO中，OC=4, OFi=2 ,./COFi=60, .AOEi=60. .点 Ei 的横坐标=2cos60 =1,点Ei的纵坐标=J3，.二点Ei的坐标为(1,禽)； 当切点F2在第一象限时，点 E2

8、在岁四象限.同理可求：点E2的坐标为(i, ,3).综上所述，当OEi II CFi时，点Ei的坐标为(i , 73 )或(i, - J3 ).S3.如图，在直角坐标系中，长方形 ABCD (每个内角都是90)的顶点的坐标分别是 A (0, m), B (n, 0), (mn0),点E在AD上，AE=AB，点F在y轴上，OF=OB , BF的延长线与 DA的 延长线交于点 M , EF与AB交于点N .(i)试求点E的坐标(用含 m, n的式子表示)；(2)求证：AM=AN ;(3)若AB=CD=i2cm , BC=20cm ,动点P从B出发，以2cm/s的速度沿 BC向C运动的同时， 动点Q

9、从C出发，以vcm/s的速度沿CD向D运动，是否存在这样的 v值，使得4ABP与APQC全等？若存在，请求出 v值；若不存在，请说明理由.【解答】(1)过 E 作 EGXAO 于 G./ EGA= / EAB= / AOB=90 ,. / EAG+ / AEG=90 , / EAG+ / BAO=90 ,/ BAO= / AEG , AE=AB , EGAAAOB (AAS), . EG=OA=m , AG=OB=n . . E (m, m+n).(2) OB=OF, Z BOF=90 , . . / OFB= / OBF=45 ,. EGAAAOB , .-.AG=OB=OF , . . OA=FG=EG ,，/GFE=45 , EFB=90 , . . / NAE= / NFB=90 , / ANE= / FNB ,./ AEN= / ABM , / EAN= / BAM=9 0 , EA=BA , /.A EA