薄壁槽形截面压杆弹性整体屈曲数值计算研究

1、薄壁槽形截面压杆弹性整体屈曲数值计算研究黄丽华，史婷伟，徐嘉摘要：为研究薄壁槽钢整体屈曲下的数值算法的适用性，以4种不同杆端约束下的薄壁槽形截面压杆为研究对象，根据广义梁理论确定其发生弹性整体屈曲的有效长度及临界荷载，与开口薄壁理想压杆的线性及非线性解析解进行对比，得到一致的临界荷载。利用ABAQUS有限元分析软件建立壳体有限元模型，采用杆端截面形心集中加载，依据约束情况确定杆端约束，以及根据有效长度施加不同初始缺陷的计算模型，开展特征值算法和隐式弧长法数值计算分析。计算结果表明：当开口薄壁压杆的有效长度足够大时，临界荷载的特征值数值解与理论解一致，弧长法计算得到的非线性解误差相对较大。当有效

2、长度不够大时，弧长法计算得到的极限荷载与理论解基本一致，且弧长法可有效追踪后屈曲路径。关键词：薄壁槽钢截面；压杆；整体屈曲；后屈曲；数值计算；临界荷载；弧长法随着冶金技术的不断发展和钢产量的急剧增加，冷弯薄壁型钢以其自身突出的优点被广泛应用在桁架结构、塔架结构以及各类板壳结构的格构支撑中。薄壁构件的承载力主要由稳定条件控制，其中细长的受压薄壁构件，常发生弹性整体失稳。由于不同截面形式的薄壁构件的失稳形式复杂多样，薄壁构件的稳定性计算研究一直以来受到广泛关注。开口薄壁构件弹性整体屈曲分析的常用理论包括忽略位移耦合项的小变形理论，以及包含位移耦合项的非线性大变形理论。这两种理论都能给出理想压杆平衡

3、形式发生变化时的临界荷载，且基于MOHRI等提出的非线性大变形理论，能够确定压杆的后屈曲极限承载力。由于实际压杆的不完善性，理论计算结果通常是实际压杆承载力的上限值。基于薄板和梁的稳定性理论与数值分析相结合的半解析方法，常用于实际问题的分析和工程设计。有效宽度法（effective width method，EWM）是一种把截面单元化，通过在设计应力下使用有效的板宽来计算后屈曲承载力方法，但随着构件截面形式的复杂化，板件的有效宽度计算过程变得非常烦琐，在计算中难以实现。SILVESTRE等基于广义梁理论（generalized beam theory，GBT），推导了卷边可倾斜槽钢和Z形钢构件

4、在轴压、纯弯曲和偏压下的弹性畸变屈曲荷载计算公式。不足之处在于需编程计算，使用不方便。里斯本大学科研人员基于广义梁理论开发了GBTUL计算软件，能够实现对棱柱薄壁构件进行弹性屈曲和振动分析。该程序利用广义梁模态特征，使构件变形模式信息化和可视化，通过开展变形模式分析，可深入了解变形机制。直接强度法（direct strength method，DSM）是由SCHAFER提出、采用全截面特性进行冷弯薄壁型钢承载力计算的方法。该方法不仅能考虑截面畸变屈曲对构件承载力的影响，还无需对截面的各组成板件进行有效截面及其特性的计算，使计算更为简便，特别适用于求解截面形状复杂的构件。但在某些情况下，直接强度

5、法的精度低于有效宽度法。SCHAFER等将传统有限条法（finite strip method，FSM）与约束有限条法（constrained finite strip method，CFSM）结合起来开发的CUFSM软件，可对冷弯薄壁型钢构件进行屈曲分析，区分不同屈曲模式及其交互作用，并被广泛应用。随着荷载不断增加，实际轴压薄壁结构通常出现线性屈曲-非线性后屈曲-压溃3个阶段，结构进入非线性后屈曲并不意味着结构失去了承载力，仍有可能继续承载。后屈曲行为包含了几何非线性和材料非线性，因此很难通过解析方法分析失稳过程。目前，有限元方法已成为求解壳体结构屈曲及后屈曲最有效的途径，许多大型通用有限元

6、软件均包含了以非线性理论为基础的板壳结构屈曲及后屈曲求解模块，并均已在各种航空结构上得到了广泛应用。GUNALAN等通过ABAQUS软件分析卷边槽钢在两端固接条件下的承载力，得出澳大利亚-新西兰标准规范中的设计值偏低的结论。张磊等考虑横向正应力的影响，提出了新的薄壁构件稳定计算方法，对ANSYS软件中梁单元和壳体单元计算结果开展了讨论，提出新的壳体单元模型。熊晓莉等对开口薄壁柱弯扭屈曲中的Wagner效应进行了研究，揭示出薄壁构件弯扭屈曲时的三维空间变形可简化为绕转动中心轴转动的本质。韩庆华等对工程中可能出现的非线性屈曲计算值大于特征值屈曲计算值的机理进行探讨，分析了缺陷对不同类型的屈曲临界点

7、的影响。对柱壳结构求解非线性后屈曲问题可采用Newton-Raphon平衡迭代法，但会出现收敛问题。RIKS提出了位移控制弧长法（arc-length method，ALM），有效解决了收敛问题。后被POWELL等和CRISFIELD加以修正和发展，成为现在结构隐式非线性分析普遍采用的方法。该方法能够追踪整个结构的平衡路径，即能够跨越屈曲分叉点或极限强度点，较为准确有效地追踪整个失稳过程中的实际荷载、位移关系，从而获得结构失稳前后的全部信息。为建立合理的数值分析模型，有效开展开口薄壁压杆弹性稳定性分析，本文以薄壁槽形截面细长压杆为研究对象，利用广义梁理论确定压杆发生整体弹性失稳的有效长度和临界

8、荷载，推导开口薄壁压杆线性及非线性整体失稳的理论解，以此为依据探讨有限元数值分析模型的合理性，对比广义特征值法和弧长法的数值分析结果，建立开口薄壁受压构件的整体屈曲分析的可靠数值算法。01开口薄壁构件弹性屈曲理论1.1 线性特征值理论任意薄壁构件的简化图形如图1所示。其中，O为形心；坐标轴为形心主惯性轴；C为剪切中心，也称为弯曲中心。图1 薄壁构件简化图形Fig.1 Simplified diagram of thin-walled member经典的薄壁杆件稳定微分方程为：式中：E为弹性模量;G为剪切模量;P为轴向压力;v为剪切中心y向位移;w为剪切中心x向位移;x为轴向转角;（yc，zc）

9、为剪切中心的坐标;J 为自由扭转惯性矩;Iw为主扇形惯性矩。得临界荷载的行列式为：1.2 非线性弹性屈曲理论考虑大变形和耦合项的平衡方程表达式为：可以使用后向差分公式来精确求解式（6）式（8）。对于两端铰接构件，本文采用正弦函数的近似位移函数，式中：v0、w0和0均为位移幅值。将近似位移函数式（9）带入微分方程组式（6）式（8），利用伽辽金近似方法，得出下面的非线性方程组：由于3个耦合的代数方程组中有4个变量，首先设置一系列0，本文采用HOM4PS软件求解。HOM4PS是基于同伦法求解该非线性方程组的软件。因此可得到失稳荷载和位移幅值。其他三种边界条件采用类似方法求解，设置位移函数如下：02几

10、何模型及理论解2.1 计算模型本文以薄壁槽形截面压杆为研究对象，如图2所示。几何尺寸为：壁厚t为 0.7mm，宽度b为15mm，高度h为30mm，杆件长度为L。整个结构采用钢板冷弯制成，材料弹性模量为201 GPa，泊松比为0.35。图2 槽钢几何尺寸（单位：mm）Fig.2 Geometric size of the channel（Unit：mm）2.2 广义梁理论解利用GBTUL软件，根据广义梁理论（GBT）对空间薄壁构件进行整体屈曲分析。构件截面划分为连续折板，屈曲模态分解为一系列截面基本变形模态的线性组合，根据弗拉索夫假设和各基本模态单位翘曲、横向位移构造位移函数，计算截面刚度系数矩

11、阵。考虑构件的长度和边界约束情况，建立GBT平衡微分方程和边界条件，利用有限差分法、有限元法或伽辽金法求解次特征值问题，最终通过线性组合求得此构件屈曲应力及相应屈曲模态。利用GBTUL软件，四种约束条件下的一阶模态的弹性失稳荷载Pcr随柱长的变化曲线如图3所示。分析四种边界条件下的屈曲模式，得到杆件发生弹性整体屈曲的最小长度为650mm。四种边界条件下的临界荷载值如表1所示。由结果可见，根据广义梁理论计算出的临界荷载与弹性解析解一致。图3 四种约束条件下荷载-长度曲线Fig.3 Load-length curves under four different constraints2.3 屈曲荷

12、载的解析解将上述杆件几何尺寸代入式（5）和式（11）式（13），利用HOM4PS程序，求解非线性微分方程组，得到不同杆端约束下压杆承载力的解析解，如表1所示。由计算结果可知，根据线性和非线性控制方程计算得到的小变形下临界荷载值基本相同，非线性分析的极限承载力（Pu-nonlinear）大于等于临界荷载（Pcr-nonlinear）。采用非线性方程组计算大变形时，得到的后屈曲路径如图4所示。除一端固接、一端自由的边界条件下，荷载随位移的增大而减小外，其他三种约束形式下，随着弹性变形的增大，压杆承载力继续增加，由此可确定理想压杆失稳过程中的极限承载力。表1 不同杆端约束条件下临界荷载线性解析解与非

13、线性解析解比较Tab.1 Comparison of the critical loads betweenlinear analytical solutions and non-linear analyticalsolutions under different end constraints图4 不同杆端约束下的后屈曲路径Fig.4 Post-buckling path under four different constraints03有限元模型及数值解目前很多完善的工程计算软件均包含稳定性分析模块，只要合理地建立有限元数值分析模型，就能够快速准确地模拟各类屈曲过程。基于线性和非线性稳定性

14、理论，常用的数值分析方法主要包括两类：一类是基于欧拉稳定理论的广义特征值算法，另一类是求解极值稳定问题的增量解法弧长法。3.1 有限元模型本文以图2中的薄壁槽形截面压杆为算例，采用S4R壳单元建立有限元计算模型。综合考虑计算精度和效率，经多次试算最终确定网格尺寸为：4mm4mm。有限元模型如图5a）所示。弹性模量和泊松比分别Es=201GPa，=0.35。对于单轴对称的开口薄壁截面压杆，由于梁单元无法考虑薄壁构件中的Wagner效应的影响，通常在短杆中无法给出准确结果，因此壳单元计算模型更为合理。采用壳单元开展数值分析时，加载形式和约束处理方式对计算结果影响如下。（1） 加载形式施加在杆件端部

15、的荷载可采用两种形式：沿截面板壳边缘施加均布荷载或在形心位置施加集中荷载。本算例的计算结果表明，两种加载方式对临界荷载影响不大，但集中加载的计算结果更精确，且荷载-位移曲线更易提取，故建议采用集中荷载的加载方式开展数值分析。（2） 边界条件有限元模型中杆端约束的施加方式如图5b）d）所示。角点约束，即约束两块薄板的交点的3个互相垂直方向的线位移;多点约束，即约束两块薄板的交点及每块薄板的中点的3个互相垂直方向的线位移;全截面约束，即约束整个端部截面上所有节点的线位移。图5 槽钢有限元模型Fig.5 Finite element model of the channel steel不同约束形式下

16、的计算结果如表2所示。可以看出，全截面约束比角点约束和多点约束的约束能力更强。与理论值相比，有固接的约束下，全截面约束误差小;有铰接的约束下，角点约束误差小。因此，建议边界条件的确定视铰接和固接情况而定。表2 不同约束施加方法对临界荷载的影响Tab.2 Influence of different constraint methods oncritical loads3.2 广义特征值分析采用上述有限元模型，利用广义特征值算法得到的临界荷载如表4所示。与线弹性解析解对比可知，除一端固接、一端铰接件外，其他三种边界条件的特征值解与理论解基本一致，计算误差在4%以内；一端固接、一端铰接的约束条件下

17、，当杆件计算长度不断增加时，其临界荷载也越接近理论解。3.3 弧长法数值分析实际薄壁构件的失稳过程是非线性大变形问题，弧长法采用位移控制，可有效解决非线性迭代收敛问题，通过追踪杆件的平衡路径，准确地反映整个失稳过程中的屈曲路径。该算法成为各类大型计算软件中非线性稳定性分析的普遍使用方法。采用弧长法分析时，初始缺陷的设置对计算结果产生一定影响，因此需要对初始缺陷进行合理选择。一般情况下，由于缺少充足的缺陷的测量检验数据，单个构件缺陷形状的测试也不具有代表性，所以计算时要施加理论初始缺陷。根据北美冷成型钢结构设计规范（AISI/COS/NASPEC 2016），初始缺陷是通过对结构施加一个最大的初

18、始位移来实现的。构件发生弯扭屈曲时，初始缺陷取L/（1 000d），L为立柱长度，d为立柱截面高度。根据澳大利亚冷成型钢结构规范（AS/NZS 4600：2005）规定的缺陷值为L/1,000。两种缺陷下弧长法计算结果如表3所示。可以看出，不同边界条件下初始缺陷需采用不同值，当杆端约束较强时（如两端固接），初始缺陷取L/1,000;当杆端约束较弱时（一端固接、一端自由），初始缺陷取L/（1,000d）。四种杆端约束下的荷载-竖向位移曲线如图6所示。可以看出，前三种约束形式下，荷载-位移达到临界荷载后突然下降。此时，轴压光滑槽钢柱后屈曲承载力与理论解相差不到4%;而在两端固接条件下，槽钢发生弯扭

19、失稳。荷载-位移达到极限点后下降，沿着原荷载-位移曲线返回。该曲线的极值点与理论结果更为贴近。此时，轴压光滑槽钢柱后屈曲极限承载力为13.415kN，与理论解相差0.08%。由此可见，弧长法能够准确计算发生整体屈曲槽钢的极限荷载。表3 不同几何缺陷下弧长法计算结果比较Tab.3 Comparison of calculation results with arc-lengthmethod under different geometric defects注：缺陷I表示初始缺陷取L/（1,000d），缺陷II表示初始缺陷取L/1,000。图6 不同杆端约束下的屈曲路径Fig.6 Buckling

20、 paths under different end constraints04数值解与理论解对比根据本文建立的薄壁槽形截面压杆的有限元模型，采用广义特征值法和弧长法计算得到的临界荷载和极限荷载与理论解对比如表4所示。除一端固接、一端铰接的边界条件下，其他三种杆端约束，特征值法计算得到的临界荷载与理论解误差均在4%以内，原因是一端固接、一端铰接边界条件下，前两阶模态比较接近，随着杆件有效长度的增加，弯扭失稳模态分开，计算精度会不断提高。弧长法计算得到的极限荷载与理论解误差在4%以内，弧长法采用的是非线性迭代求解，因此随着杆件有效长度的降低，非线性程度提高，计算结果越精确。此外，弧长法可以追踪构

21、件的后屈曲路径，在开展非线性大变形屈曲分析时，弧长法更有优势。表4 屈曲荷载的数值解与理论解对比Tab.4Comparison of buckling loads betweennumerical solutions and theoretical solutions05结 论本文讨论了薄壁槽形截面细长压杆弹性屈曲的数值算法，探讨了采用不同加载形式、初始缺陷、约束条件等有限元模型对屈曲分析结果的影响。通过采用广义特征值法和弧长法计算压杆的临界荷载和极限荷载，并与经典的线性、非线性解析解和基于广义梁理论的半解析解进行对比，验证数值分析模型的可靠性。数值计算结果表明，采用杆端截面形心集中加载，依据

22、约束情况确定杆端约束，以及根据有效长度施加不同初始缺陷的数值计算模型，当开口薄壁压杆的有效长度足够大时，临界荷载的特征值解与理论解一致，弧长法计算得到的非线性解误差相对较大。当有效长度不够大时，虽然也发生整体弹性失稳，临界荷载的特征值解与理论解差别较大，此时弧长法计算得到的极限荷载与理论解基本一致。弧长法的非线性结果均略小于理论值，能够反映实际构件的非理想受压状态，且能够揭示压杆屈曲及后屈曲的全过程，在薄壁构件屈曲分析中更具优势。参考文献：1MOHRI F，AZRAR L，POTIER-FERRY M.Flexural-torsional post-buckling analysis of t

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