《平面向量的运算》平面向量及其应用教学课件(第4课时向量的数量积)

1、(4)夹角公式：cos =_.(2019全国卷)已知非零向量a，b满足|a|=已知|a|=3，|b|=5，且ab=-12，则a在b方向上的投影为_，b在a方向上的投影为_.一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态.若|a|=2，|b|=3，a，b的夹角为120，则a(4b)提示：不可以，数量积是两个向量之间的乘法，在书写时，一定要严格，必须写成“ab”的形式.先分别用基向量 表示 再利用向量数(2)对于向量a，b，若ab=0，则a=0或b=0.已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab=|a

2、|b|cos .两个向量的数量积没有方向，是实数，不是向量.(3)如果a与b的夹角是 我们说a与b垂直，记作ab.角度2向量垂直的应用(5)|ab|a|b|.所以2ab=b2，代入得a2=b2，所以|2a+b|=5和为零向量，可以建立向量模型解决.规定：零向量与任一向量的数量积为0.求解时要注意灵活使用数量积的运算律.设夹角为，因为(a-b)b，所以(a-(3)如果a与b的夹角是 我们说a与b垂直，记作ab.(2)当a与b同向时，ab=|a|b|；=| | |cos 120=58(2)当=0时，a与b同向；6.2平面向量的运算6.2.4向量的数量积第一页，共80页。第1页，共80页。1.向量的

3、夹角定义：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作 =a， =b，则AOB=(0)叫做向量a与b的夹角(如图所示).第二页，共80页。第2页，共80页。第三页，共80页。第3页，共80页。(1)范围：向量a与b的夹角的范围是0.(2)当=0时，a与b同向；当=时，a与b反向.(3)如果a与b的夹角是 我们说a与b垂直，记作ab.第四页，共80页。第4页，共80页。【思考】(1)等边ABC中，向量 所成的角是60吗？提示：向量 所成的角是120.第五页，共80页。第5页，共80页。(2)向量夹角的范围与异面直线所成的角的范围相同吗？提示：向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们分别是0，

4、和 第六页，共80页。第6页，共80页。2.向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab=|a|b|cos .规定：零向量与任一向量的数量积为0.第七页，共80页。第7页，共80页。【思考】(1)把“ab”写成“ab”或“ab”可以吗，为什么？提示：不可以，数量积是两个向量之间的乘法，在书写时，一定要严格，必须写成“ab”的形式.第八页，共80页。第8页，共80页。(2)向量的数量积运算的结果仍是向量吗？提示：向量的数量积运算结果不是向量，是一个实数.第九页，共80页。第9页，共80页。3.投影向量的概念如图

5、所示： =a， =b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则 叫做b在向量a上的投影向量，得| |=|b|cos |.第十页，共80页。第10页，共80页。第十一页，共80页。第11页，共80页。4.向量的数量积的性质设a与b都是非零向量，为a与b的夹角.(1)垂直的条件：abab=0.(2)当a与b同向时，ab=|a|b|；当a与b反向时，ab=-|a|b|.第十二页，共80页。第12页，共80页。(3)模长公式：aa=|a|2或|a|= (4)夹角公式：cos =_.(5)|ab|a|b|.第十三页，共80页。第13页，共80页。【思考】(1)对于任意向量a与b，“abab=0”总成立

6、吗？提示：当向量a与b中存在零向量时，总有ab=0，但是向量a与b不垂直.第十四页，共80页。第14页，共80页。(2)当“cos = ”为负值时，说明向量a与b的夹角为钝角，对吗？提示：不对，cos = =-1时，向量a与b的夹角为180.第十五页，共80页。第15页，共80页。5.向量数量积的运算律(1)ab=ba(交换律).(2)(a)b=(ab)=a(b)(结合律).(3)(a+b)c=ac+bc(分配律).第十六页，共80页。第16页，共80页。【思考】“若ab=ac，则b=c”成立吗？提示：不成立.第十七页，共80页。第17页，共80页。【素养小测】1.思维辨析(对的打“”，错的打

7、“”)(1)两个向量的数量积是向量.()(2)对于向量a，b，若ab=0，则a=0或b=0.()(3)(ab)2=a22ab+b2.()第十八页，共80页。第18页，共80页。提示：(1).两个向量的数量积没有方向，是实数，不是向量.(2).ab=0，还可能有ab.(3).第十九页，共80页。第19页，共80页。2.在ABC中，BC=5，AC=8，C=60，则 =()A.20B.-20C.20 D.-20 第二十页，共80页。第20页，共80页。【解析】选B. =| | |cos 120=58 =-20.第二十一页，共80页。第21页，共80页。3.若|a|=2，|b|=3，a，b的夹角为12

8、0，则a(4b)的值为()A.12B.-12C.12 D.-12 第二十二页，共80页。第22页，共80页。【解析】选B.由题意，得a(4b)=4(ab)=4|a|b|cos =423cos 120=-12.第二十三页，共80页。第23页，共80页。类型一向量数量积的计算及其几何意义【典例】1.(2018全国卷)已知向量a，b满足|a|=1，ab=-1，则a(2a-b)=() A.4B.3C.2D.0第二十四页，共80页。第24页，共80页。2.如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，BAD=60，E，F分别为BC，CD的中点，则 =()第二十五页，共80页。第25页，共80页。第二十六页，共8

9、0页。第26页，共80页。3.已知|a|=3，|b|=5，且ab=-12，则a在b方向上的投影为_，b在a方向上的投影为_.第二十七页，共80页。第27页，共80页。【思维引】1.利用向量数量积的定义与运算律计算.2.先分别用基向量 表示 再利用向量数量积的定义与运算律计算.3.向量a在向量b方向上的投影为|a|cos = 向量b在向量a方向上的投影为|b|cos =第二十八页，共80页。第28页，共80页。【解析】1.选B.因为|a|=1，ab=-1，所以a(2a-b)=2a2-ab=21-(-1)=3.第二十九页，共80页。第29页，共80页。2.选D.在菱形ABCD中，边长为2，BAD=

10、60，所以 =22cos 60=2，又因为 所以 第三十页，共80页。第30页，共80页。3.设a与b的夹角为，则有ab=|a|b|cos =-12，所以向量a在向量b方向上的投影为|a|cos = = 向量b在向量a方向上的投影为|b|cos = = =-4.第三十一页，共80页。第31页，共80页。答案：- -4第三十二页，共80页。第32页，共80页。【内化悟】如何解决几何图形中向量数量积的计算？提示：一般选择已知长度与夹角的向量作基底，用基底表示要求数量积的向量，再计算.第三十三页，共80页。第33页，共80页。【类题通】求平面向量数量积的方法(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公

11、式ab=|a|b|cos .求解时要注意灵活使用数量积的运算律.第三十四页，共80页。第34页，共80页。(2)若所求向量的模与夹角未知，应先选取已知模与夹角的两个向量，表示出所求向量，再代入运算.第三十五页，共80页。第35页，共80页。【习练破】1.已知等腰ABC的底边BC长为4，则 =_.第三十六页，共80页。第36页，共80页。【解析】如图，过A作ADBC，垂足为D.第三十七页，共80页。第37页，共80页。因为AB=AC，所以BD= BC=2，于是| |cos ABC=| |= | |= 4=2.所以 =| | |cosABC=24=8.答案：8第三十八页，共80页。第38页，共80

12、页。2.已知|a|=10，|b|=4，a与b的夹角=120.求：(1)ab.(2)a在b方向上的射影.(3)(a-2b)(a+b).(4)(a-b)2.第三十九页，共80页。第39页，共80页。【解析】(1)ab=|a|b|cos 120=104 =-20.(2)a在b方向上的射影为|a|cos 120=10 =-5.(3)(a-2b)(a+b)=a2+ab-2ab-2b2=a2-ab-2b2=|a|2-|a|b|cos 120-2|b|2=100-104 -242=88.第四十页，共80页。第40页，共80页。(4)(a-b)2=a2-2ab+b2=|a|2-2|a|b|cos 120+|b

13、|2=100-2104 +42=100+40+16=156.第四十一页，共80页。第41页，共80页。因为物理学中力是一个向量，所以求力的大已知|a|=10，|b|=4，a与b的夹角=120.已知非零向量F1，F2，F3满足F1+F2+F3=0，【解析】如图，过A作ADBC，垂足为D.将b2=|b|2=25代入方程组，解得|a|=利用向量数量积的定义与运算律计算.由题意，得a(4b)=4(ab)=向量a在向量b方向上的投影为|a|cos =向量垂直问题的处理思路所以a与a+b的夹角为30.向量垂直问题的处理思路(2)当“cos = ”为负值时，说明向量a与b的夹设夹角为，因为(a-b)b，所以

14、(a-(2019烟台高一检测)在ABC中，已知| |=(2019全国卷)已知非零向量a，b满足|a|=设三个力F1，F2，F3分别为向量F1，F2，F3.提示：不可以，数量积是两个向量之间的乘法，在书写时，一定要严格，必须写成“ab”的形式.在菱形ABCD中，边长为2，BAD=60，所以又因为|a|=|a+2b|，定义：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一4+9+6=19，所以 =解决与垂直相关题目的依据是abab=0，利用数量积的运算代入，结合与向量的模、夹角相关的知识解题.【解析】因为|a+b|2=(a+b)2=(a+b)(a+b)(2)若所求向量的模与夹角未知，应先选取已知模与夹角

15、的两个向量，表示出所求向量，再代入运算.(3)(a-2b)(a+b)=a2+ab-2ab-2b2【加练固】(2019烟台高一检测)在ABC中，已知| |=| |，AB=1，AC=3，M，N分别为BC的三等分点，则 =()第四十二页，共80页。第42页，共80页。【解析】选B.因为| |=| |，所以BAC=90.又因为M，N分别为BC的三等分点，第四十三页，共80页。第43页，共80页。第四十四页，共80页。第44页，共80页。类型二与向量模有关的问题【典例】1.(2017全国卷)已知向量a，b的夹角为60，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=_ .第四十五页，共80页。第45页，共80页

16、。2.(2019沂南一中高一检测)已知向量a，b满足|b|=5，|2a+b|=5 |a-b|=5 则|a|=_.第四十六页，共80页。第46页，共80页。【思维引】利用模长公式：aa=|a|2或|a|= = 解决.第四十七页，共80页。第47页，共80页。【解析】1. =(a+2b)2=|a|2+2|a|2b|cos 60+ =22+222 +22=4+4+4=12，所以 答案：2 第四十八页，共80页。第48页，共80页。2.由已知有 将b2=|b|2=25代入方程组，解得|a|= 答案： 第四十九页，共80页。第49页，共80页。【内化悟】根据模长公式，求向量的模的问题应首先做怎样的转化？

17、提示：求模问题一般转化为求模的平方.第五十页，共80页。第50页，共80页。【类题通】关于向量模的计算(1)利用数量积求模问题，是数量积的重要应用，解决此类问题的方法是对向量进行平方，将向量运算转化为实数运算.第五十一页，共80页。第51页，共80页。(2)拓展公式：(ab)2=|a|22ab+|b|2，(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2.第五十二页，共80页。第52页，共80页。【习练破】已知a，b满足|a|=4，|b|=3，夹角为60，则|a+b|=() A.37B.13C. D. 第五十三页，共80页。第53页，共80页。【解析】选C.|a+b| 第五十四页，共80页。第54页，共

18、80页。【加练固】已知向量a，b满足|a|=|b|=5，且a与b的夹角为60，求|a+b|，|a-b|，|2a+b|.第五十五页，共80页。第55页，共80页。【解析】因为|a+b|2=(a+b)2=(a+b)(a+b)=|a|2+|b|2+2ab=25+25+2|a|b|cos 60=50+255 =75.所以|a+b|=5 |a-b|2=(a-b)2=(a-b)(a-b)=|a|2+|b|2-2ab=|a|2+|b|2-2|a|b|cos 60=25，第五十六页，共80页。第56页，共80页。所以|a-b|=5.|2a+b|2=(2a+b)(2a+b)=4|a|2+|b|2+4ab=4|a

19、|2+|b|2+4|a|b|cos 60=175.所以|2a+b|=5 第五十七页，共80页。第57页，共80页。类型三向量的夹角与垂直问题角度1求向量的夹角【典例】(2019四平高一检测)已知a，b均为非零向量，且|a|=|b|=|a-b|，则向量a与a+b的夹角为_.第五十八页，共80页。第58页，共80页。【思维引】利用夹角公式：cos = 计算.第五十九页，共80页。第59页，共80页。【解析】设a与a+b的夹角为，因为|a|=|b|=|a-b|，所以a2=b2=(a-b)2=a2+b2-2ab，故ab= |a|2，所以|a+b|= |a|，第六十页，共80页。第60页，共80页。co

20、s = 所以a与a+b的夹角为30.答案：30第六十一页，共80页。第61页，共80页。【素养探】解决向量的夹角与垂直问题时，常常需要结合图形分析问题，突出体现了数学抽象和直观想象的核心素养.若将本例条件改为“|a|=3|b|=|a+2b|”，试求a与b夹角的余弦值.第六十二页，共80页。第62页，共80页。【解析】设a与b夹角为，因为|a|=3|b|，所以|a|2=9|b|2.又因为|a|=|a+2b|，所以|a|2=|a|2+4|b|2+4ab=|a|2+4|b|2+4|a|b|cos =13|b|2+12|b|2cos ，第六十三页，共80页。第63页，共80页。即9|b|2=13|b|

21、2+12|b|2cos ，故有cos =- 第六十四页，共80页。第64页，共80页。角度2向量垂直的应用【典例】已知非零向量m，n满足4|m|=3|n|，m，n的夹角为，cos = .若n(tm+n)，则实数t的值为 ()A.4B.-4C. D.- 第六十五页，共80页。第65页，共80页。【思维引】利用向量垂直的充要条件求参数.第六十六页，共80页。第66页，共80页。【解析】选B.由4|m|=3|n|，可设|m|=3k，|n|=4k(k0)，又因为n(tm+n)，所以n(tm+n)=ntm+nn=t|m|n|cos +|n|2=t3k4k +(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-

22、4.第六十七页，共80页。第67页，共80页。【类题通】1.求向量夹角的基本步骤第六十八页，共80页。第68页，共80页。2.向量垂直问题的处理思路解决与垂直相关题目的依据是abab=0，利用数量积的运算代入，结合与向量的模、夹角相关的知识解题.第六十九页，共80页。第69页，共80页。【习练破】1.在四边形ABCD中， 且 =0，则四边形ABCD是()A.矩形B.菱形C.直角梯形D.等腰梯形第七十页，共80页。第70页，共80页。形ABCD是()ab=0，还可能有ab.=|a|b|cos .如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，BAD=60，(2019沂南一中高一检测)已知向量a，b满足|b

23、|=两个向量的数量积没有方向，是实数，不是向量.【解析】因为|a+b|2=(a+b)2=(a+b)(a+b)=0，即对角线互相垂直，所以四边形ABCD为菱所以a与a+b的夹角为30.=|a|2+2|a|2b|cos 60+因为| |=| |，所以BAC故ab= |a|2，已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab=|a|b|cos .角度2向量垂直的应用先分别用基向量 表示 再利用向量数= 向量b在向量a方向上的投影为|b|由F1+F2+F3=0，得-F3=F1+F2，又因为|a|=|a+2b|，提示：一般选择已知长度与夹角

24、的向量作基底，用基底表示要求数量积的向量，再计算.4|a|b|cos =13|b|2+12|b|2cos ，=a2-ab-2b2=|a|2-|a|b|cos 120-2|b|2类型三向量的夹角与垂直问题当a与b反向时，ab=-|a|b|.【解析】选B.因为 即一组对边平行且相等， =0，即对角线互相垂直，所以四边形ABCD为菱形.第七十一页，共80页。第71页，共80页。2.(2019全国卷)已知非零向量a，b满足|a|=2|b|，且(a-b)b，则a与b的夹角为()第七十二页，共80页。第72页，共80页。【解析】选B.设夹角为，因为(a-b)b，所以(a-b)b=ab-b2=0，所以ab=

25、b2，所以cos = = 又0，所以a与b的夹角为 ，故选B.第七十三页，共80页。第73页，共80页。【加练固】已知非零向量a，b满足a+3b与7a-5b互相垂直，a-4b与7a-2b互相垂直，求a与b的夹角.第七十四页，共80页。第74页，共80页。规定：零向量与任一向量的数量积为0.设夹角为，因为(a-b)b，所以(a-2|b|，且(a-b)b，则a与b的夹角为()垂足为B1，则 叫做b在向量a上的投影向量，得故ab= |a|2，已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab=|a|b|cos .“若ab=ac，则b=c”成立吗？【解析】设a与b的夹角为，|a-b|2=(a-b)2=