线性代数解题指导：第一章 矩阵

1、PAGE 第一章1.1 基本内容1.1.1 矩阵的概念（1）定义 由个元素排成的m行，n列的矩阵元素表称为维是的矩阵，简记为。注1 本书中我们讨论的主要是实矩阵，即A的元素为实数的情形。注2 当时，称A为n阶方阵。注3 称与为同维（阶）矩阵，如果两个同维矩阵A与B的对应元素相等，则AB。（2）特殊矩阵零矩阵：元素全为零的矩阵，记作0行矩阵：列矩阵：三角阵：称为上三角，满足 称为下三角，满足对角阵： 数量阵：单位阵：，常记作或，有时也记作或。对称阵：反对称阵：注1 行（列）矩阵通常称为行（列）向量。并习惯用小写字母表示，其每一元素称为分量。分量个数称为维数。注2 上述所列的特殊矩阵，除零矩阵、行

2、或列矩阵外,均为方阵。注3 对反对称阵来说，必有。注4 任一方阵A均可表示为一个对称阵和一个反对称阵之和，即1.1.2 矩阵的运算加法：设，则数乘：设，k为数，则乘法：设，则，其中 注 两矩阵可乘的条件：左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数。（4） 转置：设，则称为A的转置，记作或。（5）运算规律：下表给出了矩阵与数的运算规律之比较。运算数矩阵说明加法a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)a+0=aA+B=B+A(A+B)+C=A+(B+C)A+0=A能够相加的矩阵必须是同维矩阵数乘（ab）A=a(bA)=b(aA)(a+b)A=aA+bAa(A+B)=aA+aBa,b是数A，B是同维矩阵乘

3、法a*1=a1*a=aA*I=AI*A=A要注意I的维数(ab)c=a(bc)(AB)C=A(BC)A的列数须等于B的行数B的列数须等于D的行数A(b+c)=ab+ac(b+c)d=bd+cdA(B+C)=AB+AC(B+C)D=BD+CDB与C须同维，A的列数须等于B的行数，B的列数须等于D的行数Ab=ba一般ABBA例如若,且则a=b若消去律一般不成立，但当K（或L）可逆时，AB必成立A必须是方阵，且k，l为非负整数一般当A，B为同阶方阵，且ABBA，k为非负整数时，有转置B为同维矩阵，k为数A的列数须等于B的行数1.1.3矩阵的初等变换与初等矩阵（1）矩阵A的初等变换有如下三类：第一类：

4、将A的第i行（列）与第j行（列）对换，记为。第二类：以非零常数k乘A的i行（列），记作。第三类：将A的第i行(列)的k倍加到第j行（列）上去，记作。（2）初等矩阵是单位阵I经过一次初等变换后得到的矩阵，初等变换与初等矩阵之间的关系初等矩阵左（右）乘A，相当与对A进行一次相应的初等行（列）变换，例如：，。注1 若矩阵A经过有限次初等变换得到矩阵B，则称B与A等价，此时必有等式成立，其中和均为初等矩阵。注2 任一矩阵A经有限次初等变换后均可化为形如的矩阵，其中r为A的秩，称矩阵为A的标准型。1.1.4 可逆矩阵的定义设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使ABBAI，则称A为可逆矩阵，称B为的你矩阵。

5、注1 可逆矩阵必是方阵。注2 A若为可逆，其逆必唯一，故A的呢矩阵记作，即有注3 可逆矩阵又称为非退化阵或非奇异阵或满秩阵，不可逆阵又称为退化阵或奇异阵或降秩阵。1.1.5 可逆矩阵的性质（1）若A可逆，则，均可逆，且，（2）若A可逆，数，则kA可逆，且（3） 若A，B是同阶可逆阵，则AB可逆，且注 若A，B为同阶的可逆矩阵，则AB不一定可逆。1.1.6 可逆矩阵的判别方法利用定义：若ABBAI，则必有A可逆，且。利用行列式：若，则A可逆。利用性质（3）：将矩阵分解成可逆矩阵的乘积。利用矩阵的秩：A为n阶方阵，若，则A可逆。利用线性方程组：若方程组有唯一解，则A可逆。利用向量组的线性无关性：若

6、方阵A的行（或列）向量线性无关，则A可逆。利用初等矩阵：若A可分解为有限个初等矩阵之积，则A可逆。利用特征值：证明数零不是A的特征值，则A可逆。利用反证法：这是常用方法。注1 方法（1）在具体使用时，实际上只需验证ABI或BAI，即两者只要有一个成立时，就必有，当然此时A，B必须是同阶矩阵。注2初等矩阵都是可逆阵，且其逆也是初等矩阵（），因此，对任一矩阵A，必存在可逆阵P，Q，使，这称为A的标准分解。注3方法（7）说明可逆阵必与单位阵等价，这一结论也是我们利用初等变换求逆矩阵的理论依据。1.1.7 逆矩阵的计算方法利用初等变换 或注 只能用行初等变换 只能用列初等变换利用伴随阵 注 在具体计算

7、时这一公式适用于较低阶的矩阵（3） 利用分块矩阵（4） 凑法：当条件中有矩阵方程时，通过矩阵运算规律从矩阵方程中凑出ABI的形式，从而可得，这一方法适用于抽象矩阵求逆。1.1.8 分块矩阵的定义于运算定义用若干条纵线和横线把一个矩阵分成若干个小块。每一小块称为矩阵的一个子块和子矩阵，则一这些子块为元素的原矩阵称为分块矩阵。运算进行分块矩阵的加、减、乘法和转置运算，可降子矩阵当作通常矩阵的元素看待。注1 同维矩阵，只有用同样的分块方法时，才能进行分块相加。注2 分块乘法只有当左边矩阵分法于右边矩阵的行分法一致时才能进行。注3分块转置除了行列互换外，每一子块也需转置，即若则1.1.9 利用分块矩阵

8、求逆矩阵对分块对角阵若则A可逆且对若则A可逆且对或其中B为可逆阵，C为可逆阵，则A可逆，且或注 当矩阵的零元素较多时，可考虑分块，时告诫矩阵的运算转化为低阶矩阵的运算，这是简化矩阵运算的一个途径。1.1.10 用列（行）方块易推得的一些结论将A按列分块其中是A的第j列，则其中为单位阵的第j列。将A按行分块其中为A的第i行，则注 由（1），（2）可得到将列分块则的计算也可转化为方程组的求解问题。关于正交阵 定义：若，即，称A为正交阵。结论：将A列分块 ，则由可得同理，由可的A的行向量组具有同样的结论。1.4 典型例题分析矩阵乘法例1 设，B，求AB，BA，解 AB BA注1 ，交换律不满足。注2

9、 ，可有。注3 ，但，消去律不满足。例2 已知A，求与A可交换的一切矩阵。解 解法一 若B与A可交换，则由ABBA知，B必为二阶方阵。 设B，则 AB BA根据ABBA，有解得，由此可得到与A可交换得任一矩阵是B其中为任意实数。解法二 将A分解为AI由于单位阵I与任何矩阵都可交换，故问题变为求与C可交换得矩阵，设其为BCBBC由于CBBC得任意，故与A可交换的矩阵为B其中为任意实数。例3 已知是n维列向量，A，B，求AB与BA。解 显然A、B均为n阶方阵，有矩阵运算规律可得AB=由于，所以ABI。由于A，B是同阶方阵，故由ABI，可得必有BAI。注1 对n维列向量来说，与由很大不同，由此也说明

10、多任一矩阵是未必相同的，应看仔细，不能混为一谈。注2 对矩阵运算，应尽量先由运算规则进行符号运算，至最后结果再将具体数字代入算得结果。方阵幂的计算常用方法有： （1）利用乘法结合律 （2）递推法 （3）利用数学归纳法（4）利用分块矩阵（5）利用矩阵对角化例4 已知，A，求。解 由3，A知例5 设P，Q，APQ，计算QP及。解 QPI例6 已知，求。解：（递推法）因为4，所以，于是当n为偶数时 当n为奇数时 例7 ，求。解：，其中，于是，而25，故，故，所以例8 设，求。解 解法一由于与可交换，故又，从而所以注 这种做法一般来说是将A写成AB+C,然后用二次式展开，但注意前提条件是BCCB且（m

11、很小）。解法二因为，观察这些规律，可推得此结论正确与否，还需用数学归纳法证明，为此，假设nk时成立当nk1时故nk1时结论也成立，于是上述结果正确。解法三 （利用分块矩阵）将A列分块A，其中为的第i列，则由，得假设nk时成立 ，则当nk1时，由数学归纳法知，对一切n有解法四 （利用初等矩阵）显然，A是初等矩阵，则，相当于对施行n次列初等变换（将第一列加到第三列），故例9 设，以表示矩阵多项式，即，如果，求。解 解法一令，则容易计算，由于，所以解法二由于所以逆矩阵的计算例10 （1）设,求。 （2）设，其中是可逆方阵，求。解 （1） 解法一 （初等变换法）所以解法二（分块矩阵），其中，则（2）类

12、似于（1）的解法二A可分块为其中，则，于是例11 计算例6中矩阵A的逆矩阵。解 解法一（利用定义）由例6知，从而，由逆矩阵定义知解法二 （利用正交阵）显然，的列向量满足，设，则为正交阵，从而，故注 本题也可用初等变换法，但运算较繁。例12 设，求。解 （利用单位阵技巧）注 单位阵技巧主要是指巧妙使用下面二式这一方法对未具体给出的矩阵的有关逆的推倒有较大用处。例13 已知n阶方阵A满足。（1）求。（2）是否可逆，若可逆，求其逆。解 这是典型的利用“凑法”的例子。（1）由，可得，从而由于所以，由，可得，即从而注 这一方法不仅可以求出矩阵的逆，同时也可证明矩阵可逆。（2）因为所以，由，可得当当。若。

13、若，则有非零解，故，即不可逆。当时，有。若，则可逆。若，则有非零解，故，即不可逆。例14设A是n阶方阵，。解 据例13的思路由于，故知可逆，且有（4）求解矩阵方程例15 设A，B满足，且，求矩阵B。解 ，也即，由于可逆，所以例16 设n阶矩阵A、B满足。（1）证明可逆。（2）已知，求矩阵A。解 （1）由，即即。可得，所以可逆，且（2）由得注 A也可直接由求得，但运算较繁。5）有关矩阵可逆得证明题例17 已知可逆，试证亦可逆，且。证 本题因为已经给出了，故证明只需验证即可，即验证故知可逆，且注 若没有给出结论，一般证法如下：因为可逆，所以存在方阵C，使从而对则，即即例18 设A是n阶方阵，是n维

14、非零列向量，且，证明（1）的充要条件是。（2）时，是不可逆矩阵。证 （1）若，则，即得到。因为是n维非零列向量，所以n阶方阵，于是。反之，若。（2）证法一（反证法）若A可逆，因为，故由（1）知，两边乘，得，从而，这与已知矛盾，故A不可逆。证法二（利用方程组）当时，考察由，说明齐次线性方程组有非零解，从而，故A不可逆。证法三（利用矩阵的秩）当时，由（1）可得，即，于是由于，即，所以可得出，即n阶方阵A不可逆。证法四（利用行列式）当时，有，因，所以数1是的特征值，于是，即有，也即，故A不可逆。6）有关矩阵的证明题例19 对实对称阵A，若。证 设，因为，所以由得于是，故。注 本例得一般结论是： 对任

15、一实矩阵A,若。例20 设A和B均为n阶方阵，证明AB和BA的主对角线上元素这和相等。证 设， ，且记，则CAB的主对角线上元素之和为而DBA的主对角线上元素之和为故AB与BA的主对角线上元素之和相等。注1 称n阶方阵A对角元素之和为A的迹，记作天tr(A).本例说明，对任何两个同阶方阵A，B，有tr(AB) tr(BA)。注2 本例可变形成证明：对任意n阶方阵A和B都有。例21 设A、B是n阶方阵，且满足 ，求证。证 由于，故由已知可得两边分别左乘、右乘A得故可得。例22 设A为n阶可逆对称矩阵，B为n阶对称矩阵，当可逆时，证明为对称矩阵。证 证法一证法二 由于可逆的对称矩阵的逆矩阵仍为对称矩阵，因此，只需证明为对称矩阵即可。而由A，B均为对称矩阵可知故亦为对称阵。例23设A是n阶方阵，且可逆，