数字信号处理：dsp02 信号频谱和傅氏变换

1、数字信号处理1. 信号频谱和傅氏变换8/11/20221马尽文1.2 傅立叶变换、信号与频谱傅立叶变换与频谱设 为 上的连续信号，在一定条件下，有如下傅立叶变换： 和傅立叶逆变换： 从物理意义上看逆变换中积分也是一种求和，其中每一项为 ，它是频率为 的一个谐波，其振幅和相位由 确定（ 可看作常数）。则称 为 的频谱。 的模和相位角被称为振幅谱和相位谱。8/11/20222马尽文1.2 傅立叶变换、信号与频谱B. 几种基本信号的频谱（1）方波及其频谱 8/11/20223马尽文1.2 傅立叶变换、信号与频谱（2）三角波及其频谱8/11/20224马尽文1.2 傅立叶变换、信号与频谱（3）钟形波及

2、其频谱 -正态分布（钟）型信号 8/11/20225马尽文1.2 傅立叶变换、信号与频谱两边同时积分，得另外，由正态密度函数的性质得因此，我们得出： -同样是一个钟型函数。8/11/20226马尽文1.2 傅立叶变换、信号与频谱（4）其它三个基本信号及其频谱半余弦波单边指数衰减波双边指数衰减波8/11/20227马尽文1.2 傅立叶变换、信号与频谱C. 频谱的基本性质性质1（共轭性质） 若信号 的频谱为 ，则 的频谱为 。特别是当信号 是实信号时，则有证明：根据傅立叶变换， 的频谱为：当 为实值时，则 ，故 。注意：对于实信号，由于 ，因此只需要 的谱就够了。8/11/20228马尽文1.2

3、傅立叶变换、信号与频谱性质2（时移性质）若信号 的频谱为 ，则 的频谱为 。 证明：根据傅立叶变换， 的频谱为：同样可得 的频谱为 。 8/11/20229马尽文1.2 傅立叶变换、信号与频谱若 ，则 的频谱满足即振幅谱保持不便，而相位谱相差一个 的线性函数 。性质4（对称性）设信号 的频谱为 。若将 中的变量换为 ，则 可看作一个频谱，其所对应的信号为 。证明：8/11/202210马尽文1.2 傅立叶变换、信号与频谱例1（理想低通滤波器及其信号）已知方波的频谱为 ，根据对称性可知，频谱所对应的信号为：当 乘以其它频谱有过滤高频的作用，因此被称为理想低通滤波器。8/11/202211马尽文1

4、.2 傅立叶变换、信号与频谱性质4（频移性质）设信号 的频谱为 ，则有 信号 频谱8/11/202212马尽文1.2 傅立叶变换、信号与频谱证明：信号 的频谱为同样可得 的频谱为 。另外，由于 则得到8/11/202213马尽文1.2 傅立叶变换、信号与频谱性质4的意义： （1） ； （2） 的频谱由 的频谱来确定，计算上带来了方便。例2（理想带通频谱及其信号）理想带通频谱为8/11/202214马尽文1.2 傅立叶变换、信号与频谱若 ，则理想带通频谱就是理想低通频谱。即则有从而得 8/11/202215马尽文1.2 傅立叶变换、信号与频谱性质5（翻转定理）设信号 的频谱为 ，则 的频谱为 。

5、证明： 根据傅立叶变换， 的频谱为性质5（时间展缩定理）设信号 的频谱为 ， 不等于0的常数，则 的频率为 。 8/11/202216马尽文1.2 傅立叶变换、信号与频谱证明：当 ， 的频谱为当 ， 的频谱为8/11/202217马尽文1.2 傅立叶变换、信号与频谱频谱的基本性质线性叠加性共轭性共轭性 为实信号对称性时移性时移性8/11/202218马尽文1.2 傅立叶变换、信号与频谱频谱的基本性质（续）时移性时间展缩性翻转性时域微分性频域微分性8/11/202219马尽文1.3 傅立叶级数与积分、离散与连续频谱A.傅立叶级数与积分在 上的信号 的频谱为 ，有关系：在 上的信号 的离散频谱为

6、，有关系：共同点：展开式中都是一些简谐波的叠加。不同点：前者是将频率 从 连续叠加，所形成的函数已不再具有周期特性， 被称连续谱。后者的频率 是按 变化叠加，所形成依然是周期函数，周期为 ， 被称为离散谱。8/11/202220马尽文1.3 傅立叶级数与积分、离散与连续频谱B. 离散谱与连续谱之间的关系考虑有限长信号则可得到其连续频谱：根据离散频谱的定义得8/11/202221马尽文1.3 傅立叶级数与积分、离散与连续频谱从上述关系可以看出：（1）对于有限长信号 ， 其频谱 的离散值 可以确定 ，信号又可以确定连续谱 。则连续谱与离散谱是等价的。也就是说，连续谱是由离散谱（即可数个值）所确定的。 （2）数学关系式8/11/202222马尽文1.3 傅立叶级数与积分、离散与连续频谱积分后得到：连续抽样定理：设信号 为有限长连续信号，其连续频谱为 ，则以 为间隔对 取值（称为抽样）得 ，这些离散值 可以恢复出 的信号 ，并且可以恢复出连续谱 。 该定理被称为