一元二次方程的应用题

1、一元二次方程专题讲练专题一：一元二方程的有关概念1考点分析中考对本节内容的考查重点是列出一元二次方程，对于一元二次方程的定义及一般形式的考查多以填空、选择等题型出现，该节内容多与实数运算、代数式的变形、函数等内容联系起来出题，方程知识是中考命题的热点2典例剖析例1（2009年甘肃庆阳）若关于x的方程的一个根是0，则 分析：只要将已知的根代入方程即可解：（1）将x=0代入方程得：k-1=0，解得：k=1点评：本题重点考查学生对方程根的概念的理解和掌握，这样只要将方程的根代入原方程即可解决问题例2（2009年山西省）请你写出一个有一根为1的一元二次方程： 分析：本题属于自编题中较简单的一类，只要符

2、合要求即可解：答案不唯一，例如：x2=1，x2-x=0等点评：本例是一道开放性试题，主要考查一元二次方程有解时，根的特殊值与方程系数的关系，自编题已经成为近几年的中考的热点内容之一专练一： 1已知是关于的方程的一个根，则_2下列方程中有实数根的是( )(A)x22x3=0 (B)x21=0 (C)x23x1=0 (D)3关于x的一元二次方程x2bxc0的两个实数根分别为1和2，则b_；c_4已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是 5已知是一元二次方程的实数根，那么代数式的值为 6如果2是一元二次方程x2c的一个根，那么常数c是（ ）。A、2 B、2 C、4 D、4专题二：一元二方程的有

3、关解法1考点分析本部分重点考查一元二次方程的四种基本解法，其中的配方法、因式分解法也是中学数学中的重要思想方法，今后在学习二次函数时还有很多用处，直接开平方法单独出题较少，公式法是解一元二次方程的最一般的方法，这四种方法单独考查以填空题、选择题为主，综合考查多以公式法解方程与列方程解应用题、函数等知识为背景进行考查2典例剖析例1（2009年甘肃白银）在实数范围内定义运算“”，其法则为：，求方程（43）的解分析：本题先根据运算法则，转化为一元二次方程，再直接利用开平方法解之解： ， 点评：本题是一道新定义型的计算题，只要转化成常规的一元二次方程即可，本题既可用直接开平方法又可用因式分解法本题主要

4、是考查学生对新定义运算的理解和阅读能力以及转化能力例2（2009年山西省）解方程：分析：本题不可以利用直接开平方法，可以利用配方法或公式法解解：移项，得配方，得例3.(2009武汉)解方程：分析：本题重点考查一元二次方程的公式解解：，点评：以上两例重点考查学生对一元二方程的解法的理解和掌握，在一元二次方程的四种方法中，优先选取顺序依次为：直接开平方法 分解因式法 公式法 配方法专练二：1. 方程的解是 2方程x2+2x=0的解为 3方程的解是（），4方程的解为 。5三角形一边长为，另两边长是方程的两实根，则这是一个三角形专题三：实践与探索1考点分析一元二次方程的应用是中考命题的热点，命题形式比

5、较灵活，既可单独成题，又可综合函数来命题，本节考查的主要知识点包括增长率、利润等问题，这些与经济有关的应用题是近几年各地中考的热点，题型包括填空题、选择题、解答题，解答题中，许多题目与函数相关，综合性较高，应用题主要考查收集和处理信息的能力、分析和解决问题的能力及创新实践能力2典例剖析例1（2009年中山）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？分析：只要根据题意列出一元二次方程，然后计算出结果即可解：设每轮感染中平均每一台电脑会

6、感染台电脑，依题意得：，或，（舍去），答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台点评：本题是一道一元二次方程的实际应用问题，只要注意列方程解应用题的一般步骤：审、设、列、解、验、答等步骤，同时第（2）又是一个小探究说理题，只要利用根的判别式问题是不难解决的例2（2009年衢州）2009年5月17日至21日，甲型H1N1流感在日本迅速蔓延，每天的新增病例和累计确诊病例人数如图所示(1)在5月17日至5月21日这5天中，日本新增甲型H1N1流感病例最多的是哪一天？该天增加了多少人？(2)在5月17日至5月21日这5天中，日本平均每天新增加甲型H1N1流感确诊

7、病例多少人？如果接下来的5天中，继续按这个平均数增加，那么到5月26日，日本甲型H1N1流感累计确诊病例将会达到多少人？(3)甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天传染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感？累计确诊病例人数新增病例人数0421961631932671775673074161718192021日本2009年5月16日至5月21日甲型H1N1流感疫情数据统计图人数(人)050100150200250300日期分析：只要

8、理解题意，根据等量关系，列出方程即可解：(1)18日新增甲型H1N1流感病例最多，增加了75人；(2)平均每天新增加人，继续按这个平均数增加，到5月26日可达52.65+267=530人；(3)设每天传染中平均一个人传染了x个人，则，解得(x = -4舍去)再经过5天的传染后，这个地区患甲型H1N1流感的人数为(1+2)7=2 187（或1+2+6+18+54+162+486+1 458=2 187），即一共将会有2 187人患甲型H1N1流感 点评：本题是一道以社会热点为背景综合应用题，它综合了一元二次方程的根的概念、解法以及统计知识等重要知识，综合地考察学生的应用能力、分析和解决问题的能力

9、专练三：1据2007年5月8日台州晚报报导，今年“五一”黄金周我市各旅游景点共接待游客约334万人，旅游总收入约9亿元已知我市2005年“五一”黄金周旅游总收入约6.25亿元，那么这两年同期旅游总收入的年平均增长率约为（ ）2据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增长率。(取1.41)3某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至每件32.4元.（1）若该商店两次两次调价的降价率相同，求这个降价率；（2）

10、经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件.若该商品原来每月可销售500件，那么两次调价后，每月可销售该商品多少件？4、桌子的桌面长为6米，宽为4米，台布面积是桌面面积的2倍，如果将台布铺在桌子上，各边垂下的长度相同，求这块台布的长和宽5、某商场在“五一节”的假日里实行让利销售，全部商品一律按九销售，这样每天所获得的利润恰是销售收入的20%，如果第一天的销售收入4万元，且每天的销售收入都有增长，第三天的利润是1.25万元，（1）求第三天的销售收入是多少万元？（2）求第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是多少？ 6、为了把一个长100m宽60m 的游泳池扩建成一个周长为600 m的大型水上

11、游乐场，把游泳池的长增加x m，那么x等于多少时，水上游乐场的面积为20000？如果能，求出x的值；如果不能，请说明理由。7、今年，我国政府为减轻农民负担，决定在5年内免去农业税.某乡今年人均上缴农业税25元，若两年后人均上缴农业税为16元，假设这两年降低的百分率相同.（1）求降低的百分率；（2）若小红家有4人，明年小红家减少多少农业税？（3）小红所在的乡约有16000农民，问该乡农民明年减少多少农业税.8、某超市经销一种成本为元/kg的水产品，市场调查发现，按元/kg销售，一个月能售出500kg，销售单位每涨1元，月销售量就减少，针对这种水产品的销售情况，超市在月成本不超过元的情况下，使得月

12、销售利润达到元，请你帮忙算算，销售单价定为多少？参考答案：专练一：1-2，1；2C；3-3，2；44；5；6C；专练二：10，2；2-2，0；3C；45，-3；5直角； 专练三：1C；2解：设我省每年产出的农作物秸杆总量为a，合理利用量的增长率是x，由题意得：30%a（1x）2=60%a，即（1x）2=2，x10.41，x22.41(不合题意舍去)。x0.41，即我省每年秸秆合理利用量的增长率约为41%。3、由题意得：40（1-x）2=32.4，解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）；4、解：设台布各边下垂相同宽度为米，由题意得：解之得：（不符题意，舍去），所以，答：台布的长是8米和宽是6米

13、5、（1）6.25 (2) 25% 6、（1）长增加100米，宽增加40米或长不增加，只把原来的宽增加140米；长增加50米，宽增加90米；不能。7、解：（1）设降低的百分率为，由题意得：，（不符题意，舍去）降低的百分率为（2）（元），（元），（元）（3）略8、解：售价元，0，当时，销售量为：成本：16000元10000元（不合题意，舍），时，销售量为：，成本为8000元；答：定价为80元。一元二次方程的应用题某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5 000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未

14、租出的商铺每间每年交各种费用5 000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益（收益租金各种费用）为275万元？-解：（1） 30 0005 0006, 能租出24间. （2）设每间商铺的年租金增加x万元,则 （30）（10 x）（30）10.5275， 2 x 211x50， x5或0.5， 每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元. 某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成.甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程.（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？（2）若甲工程队独做a天

15、后，再由甲、乙两工程队合作 天（用含a的代数式表示）可完成此项工程；（3）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？-解：(1)设乙独做x天完成此项工程，则甲独做（）天完成此项工程.由题意得：20（）=12分整理得：解得：，3分经检验：，都是分式方程的解，但不符合题意舍去4分答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天、30天5分（2）设甲独做a天后，甲、乙再合做（20）天，可以完成此项工程.7分（3）由题意得：1解得：9分答：甲工程队至少要独做36天后，再

16、由甲、乙两队合作完成剩下的此项工程，才能使施工费不超过64万元.10分随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点据某市交通部门统计，2007年底全市汽车拥有量为150万辆，而截止到2009年底，全市的汽车拥有量已达216万辆（1）求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2010年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市从2010年

17、初起每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆-解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为 1分根据题意，得 2分解得（不合题意，舍去） 答：该市汽车拥有量的年平均增长率为 1分（2）设全市每年新增汽车数量为万辆则2010年底全市汽车拥有量为万辆，2011年底全市的汽车拥有量为万辆 2分根据题意，得 1分解得 答：该市每年新增汽车数量最多不能超过万辆 1分为执行“两免一补”政策，某地区2009年投入教育经费2000万元，预计2011年投入经费3000万元，设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则所列方程为 -已知则_.购物中的一元二次方程现实生活中，只要你有一双善于发现的慧眼，你就会惊奇的感觉到：

18、生活，时时刻刻都充满着数学，整个生活就是用数学那美丽的花环编织起来的，绚丽多彩，让人陶醉。下面，请同学们欣赏！ 例1 某商场销售一批名牌衬衫平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天多售出2件。 求：(1)若商场平均每天要盈利1 200元，每件衬衫应降价多少元? (2)若要使商场平均每天盈利最多，请你帮助设计方案 解：(1)设每件衬衫应降价x元，则(40-x)(20+2x)l200整理，得x2-30 x+2000解得x110，x220 因为要尽快减少库存，x20 (2)商场每天盈利(40-x)(20+2x)-2(x-15)2+1250 当x15时，商场盈利最多，共1250元答：(1)每件衬衫应降价20元(2)每件衬衫降价15元时，商场盈利最多。点评：商场购物是我们每个人都经历过的事情，但你注意、观察、感悟过吗？例2 某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元。设平均每次降价的百分率为x，则，列方程正确的是( ) A. 580(1+x)21185 B1185(1+x)2=580 C. 580(1-x)2=1185D1185(1-x)2=580 分析：由题意得：1185(1-x)2=580解：D点评：购买手机这件事情也充满着