2022年中国数学奥林匹克试题

1、20 X年中国数学奥林匹克CMO试题第一天1. 如图 1,在圆内接 ABC 中,A 为最大角, 不含点 A 的弧 BC 上两点 D 、 E 分别为弧ABC、 ACB的中点；记过点 A 、 B 且与 AC 相切的圆为 O ,过点 A 、 E 且与 AD相切的圆为 O ,O 与 O 交于点 A 、 P ；证明： AP 平分 ABC ；2. 给定质数 p ；设 A a ij 是一个 p p 的矩阵,满意 ija |1 i、j p 1,2, , p 2；答应对一个矩阵作如下操作：选取一行或一列, 将该行或该列的每个数同时加上 1 或同时减去 1.如可以通过有限多次上述操作将 A 中元素全变为 0,就称

2、 A 是一个“ 好矩阵”；求好矩阵 A 的个数；3.证明：对于任意实数M2,总存在满意以下条件的严格递增的正整数数列a a 2,：（1）对每个正整数 i ,有iaMi；m 以及b b 2,b m 1,1使得（2）当且仅当整数n0时,存在正整数nb a 1 1b a 2 2b a . m m其次天4.设f x xaxba、b是给定的正实数,n2为给定的正整数；对满意的最大值；x 1x 2x n1的非负实数x x 2,x ,求Fminf x i,f xj5.设 n为无平方因子的正偶数,1ijnk 为整数,p 为质数,满意证明： n 可以表示为 abbcp2n p|n p|nk2. ca ,其中,a

3、 b c 为互不相同的正整数；6.求满意下面条件的最小正整数k ：对集合S1,2,2022的任意一个 k 元子集 A ,都存在 S 中的三个互不相同的元素a 、 b 、 c ,使得 ab 、 bc 、 ca 均在集合 A 中；参考答案第一天1.如图 2,联结 EP 、 BE 、 BP 、 CD ；B、C ,分别记BAC 、ABC 、ACB 为A 、X 、 Y 分别为 CA 延长线、 DA 延长线上的任意一点；由已知条件易得ADDC AEEB ；结合 A 、B 、D 、E 、 C 五点共圆得BAE901AEB90C,ABPCAP ,22CAD901ADC90B；22由 AC 、AD 分别切O 、

4、O 于点 A 得APBBAX180A ,及APEEAY180DAE180BAECADA 18090C90BA90A222APE 、 BPE并且无需考虑故BPE360 APB APE 90 A2BPE 中,分别运用正弦定理并结合APE在APE 与AEBE ,得sinPAEPEPEsinPBE,故 sinPAEsinPBE ,又由于sinAPEAEBEsinBPE均为钝角,所以,PAE 、PBE 均为锐角,于是,PAEPBE ,故BAPBAEPAEABEPBEABPCAP ；2.由加减法的交换律和结合律可以将针对同一行或同一列的操作合并进行,各操作间的次序；假设全部操作的最终结果是对第 i 行每个

5、数减去 ix ,对第 j 列每个数减去 jy ,其中x y j 1 i、j p 可以是任意整数；由题设知 a ij x i y 对全部的 i、j 1 i、j p 成立；由于表中各数互不相同,就 x x 1 2 , , x 互不相同,p y y 1 2 , , y 互不相同；不妨设 px 1 x 2 x ,这是由于交换 ix 与 jx 的值相当于交换第 i 行和第 j 行,既不转变题设也不转变结论； 同样,不妨设 y 1 y 2 y ；于是, 假设数表的每一行从左到右是递增的,每一列从上到下也是递增的；由上面的争论知a 111,a 122或a 212,不妨设a 122；否就,将整个数表关于主对角

6、线作对称,不转变题设也不转变结论；下面用反证法证明：1,2, , p 全在第一行中；假设 1,2, , 2 k p 在第一行中,k 1 不在第一行中；于,a 21 k 1；将连续的 k 个整数称为一个“ 块”,只需证明：表格的第一行恰由如干个块构成,即前 k 个数为一个块,之后的 k 个数又是一个块,等等；如如不然,设前 n 组 k 个数均为块,但之后的 k 个数不成为块 （或之后不足 k 个数）,由此知对 j 1,2, , , n y j 1 k 1 , y j 1 k 2 , , y jk 构成块； 从而, 表格的前 nk 列共可分成 pn 个1 k 的子表格 a i , j 1 k 1

7、, a i , j 1 k 2 , , a i jk i 1,2, , p j 1,2, , n ,每个子表格中的 k个数构成块；现假设a 2,nk1a 1, nk1x 2x 1a 21a 11k ,故a 2,nk1ak ；从而 ab 必定在前nk 列中；这样 ab 含在某个前面所说的1k 的块中,但 a、 ak 都不在该块中,冲突；于是,第一行恰由如干个块构成；特殊地,有k|p ；但 1kp ,而 p 是质数,这导致冲突；p1,k1p2,kp .于是,数表的第一行恰为1,2, p ,而第 k 行必定为 k1因此,好矩阵 A 在交换行, 交换列, 以及关于主对角线作对称下总可转化为唯独的形式；

8、3.所以,好矩阵的个数等于2 2 . .1aM2,以及a 2a 11；对k2,取整递推地构造正整数序列a n如下：取整数2 k 2 2 k 1数 a 2 k 1 M 2 ka a 2 k k a；下面证明这一序列满意条件；i 1 i 1由 定 义 知 a m a m 1 a m 2 a 对 1 m 1 均 成 立 , 且 对 任 意 正 整 数 k 有2 ka 2 k a 2 k 1 M；于是,这一序列是严格递增的正整数序列且满意条件（1）；2 n 1 2 n 1对任意正整数 n 有 n a i a 2 n 及 n a i a 2 n；i 1 i 1最 后 只 需 说 明 ： 0 不 能 表

9、示 成 b a 1 b a 2 b a m 的 形 式 , 其 中 ,b b 1 2 , , b m 1,1；当 m 1 时,b a 1 1 0；当m1 时,|b a 1b a 2b a m|a mam1a m2a 10；这样便验证了所构造的序列满意全部条件；其次天4.解法 1 由xjbminf x i,f xjminxiax ib,xjaxjb x iax ib xja1x iaxjbx ibxjax xj1x ixjabab ,就222 C nabF1ijnx xja2b1ijnx ixj2 C nab1inx i2inx i2a2bn1inx i211111inx2n21abC2ab11

10、1inx i2 n21ab2 C nab1in122n111n21abn n1abn21 1 nabnab2n2当x 1x1 2 x n 时,上式等号成立,故 n 对 n 归纳证明下述理一般的命题；F 的最大值为n21 1 nabnab；解法 2 命题 对满意x 1x 2x ns 的非负实数x x 2,x （ s是任意固定的非负实数） ,Fminf x i,f xj1ijn的最大值在x 1x 2x ns时取到；n事实上,由 F 的对称性,不妨设x 1x 2x ；留意到,f x 在非负实数集上是单调递增的；就F n1 f x 1n2 f x 2f x n1, 一 次 项 系 数 为当n2时,Ff

11、 x 1fs,等号在x 1x 时成立；22假设结论在 n 时成立,考虑n1的情形；对x 2x 3x n1sx 用归纳假设有Fnf x 11n n1fsnx 1g x 12其 中g x 为 关 于 x 的 二 次 函 数 , 其 二 次 项 系 数 为1nn122abn1ab2s；2 nn因此,对称轴为n1a2bn2 s n1abs2n1 s2 n ns1 ab n1s 22 nn12 n2 n1n2明显,上式不等号左边2 n21 s右边,所以,当x 1ns1时,g x 1取得最大值；因此, F 取得最大值时,x2x 3x n1snx 1n1x 1；由数学归纳法,命题得证；5.由于 n 是偶数,

12、故p2；又p n ,故p k ；不妨假设 0kp 取ak bpk ,就cknk pknk2kpkpp由条件知 c 是整数, a 、 b 是不同的正整数；下面只需证明：c0,并且 ca 、 .由均值不等式有nk2np,故nk2k由此知c0.如 ca,就nk2kk,即nk2pp由于 n 是偶数,故 k 为偶数,这样 n被 4 整除,这与 n 无平方因子冲突；如 cb ,就np2k2.n 被 4 整除,冲突；由于 n 是偶数,故 k 为奇数,这同样导致 综上,选取的 a 、 b 、 c 满意条件；命题获证；6.设 abc ,令xab yac zbc.就xyz xyz,且 xyz 为偶数 .axyaz

13、,bxbzy,cyzx,反之,如存在 x 、 y 、 zA 满意性质,就取222有 a 、 b 、cZ,1abc2022,且xab yc zc .于是,题述条件等价于对任意的 k 元子集 A ,均有 x 、 y 、 z A ,满意性质；如 A 1,2,3,5,7, ,2022,就 A 1007,且集合 A 中不含有满意性质的三个元素；因此 k 1008.下面证明：任意一个 1008 元子集均含有三个元素满意性质；接下来证明一个更一般的结论：对任意整数n n4,集合 1,2,2 n 的任意一个n2元子集均含有三个元素满意性质；对 n 进行归纳；当n4时,设集合A 是 1,2,8 的一个六元子集,就A3,4,8至少有 4 个元素；如A3,4,8中含有三个偶数,就4、6、8A 且满意性质；如A3,4,8中恰含有两个偶数,就它仍应含有至少两个奇数,取这两个奇数,就4、6、8 中至少有两个偶数与这两个奇数可以形成一个满意性质的三元数组,由于至少有两个偶数,故存在三个数满意性质；如A3,4,8中恰含有一个偶数,就它含有全部三个奇数,此偶数与5、7 即构成满意性质的三元数组；因此,当n4时,结论成立；1的情形；n2,就由归纳假假设结论对n n4成立,考虑n设集合 A 是 1,2,2n2的一个n3元子集, 如A1,2,2 2A 的情形；设知结论成立；于是,只