一次回归正交设计

1、第五讲回归设计及统计分析设目标性状y与Zl、Z2.Zm等因素有关，我们可以应用回归分析的方 法建立y与诸因素的回归方程，以此对y进行预测和控制，或筛选），的最优 指标。Zl、Z2 Zm构成一个因子空间，每一组Zl、Z2 Zm值对应一个y值。 如何在因子空间中选择最适当的试验点，以最少的试验点寻求y的最优区域, 这就要将回归分析与正交设计结合起来应用，称为回归正交设计。按回归模 型的次数，回归正交设计又分为一次回归正交设计和二次回归正交设计。一次回归正交设计-次回归正交设计主要是应用2水平正交表进行设计，其设计和分析步骤如下。确定试验因素的变化范例如研究m个栽培因素8、及.而与作物产量y的数量关

2、系，首先需确 定各个栽培因素的变化范围。设因素勾的变化区间为（Zlj，Z2j），则Zlj和Z2j分 别为因素勾的下水平和上水平。那么为因素勾的零水平。为因素ZJ的变化区间。.对各因素的水平编码编码就是对各个因素的取值作如下线性变换:77Xj =式中Xj为编码值。如:4 j + 妾 jz -Z 勺 一=Z = -17、 弓厂勺24 j + 2 jz，iH. 2j 7改=1X 勺一勺2这样就建立了 Zj与为的对应关系:下水平一 Z1JX1J (-1)零水平 k Zoj%0j （0 ）上水平 ZOjX0J （+1）通过上面的编码可知，当Zj在区间（我，Z2J）变化时，它的编码值Xj就在区 间（1，+

3、1）内变化。多个因素的编码工作可在因素水平编码表（表1）上进行。Z/因素Z1Z：.Zm下水平ZhZ12乙m零水平ZoiZo2Zom上水平z22Za变化间距AiAz.Amj表1因素水平编码表对因素的水平进行编码后，y对Zl、Z2Zm的回归问题就转化为对由、X2而的回归问题。在Zl、Z2Zm因子空间选择试验点的问题就转化为XI、X2.Xm为坐标轴的编码空间选择试验点。在二次回归设计中也要进行 因素的编码工作。.选择合适的二水平正交表常用的二水平正交表有乙4。）、乙8（27）、乙2（211）、L16（215）等。选用哪一种 二水平正交表要依据因素个数及需要研究的交互作用而定。正交表确定以后, 把表中

4、的“2”改为“.1”。这样正交表中的既表示因素的不同水平，也 表示Xj的取值。表2列举了经代换后的儿张常用二水平正交表。表2常用二水平正交表4（2，）试验号XX 3X3111121-1-13-11-14-1-11试验号XiX211121131-141-15-116-117-1-18-1-1Ls(27)X3XlX2Xi X3X2X3Xl X2 X311111-11-1-1-11-11-1-1-1-1-1111-1-11-1-1-11-1111-1-11-1111-1L12(2n)试验号X/X2X3X4X5X6X7X8X9X/0X111111111111112111111-1-1-1-1-1311

5、-11-1111-1-1-141-111-11-1-111-151-1-11-111-11-1161-1-1111-11-1117-11-1111-1-11-118-11-11-11-1111-19-1111-111-1-11110-1-1-11111-1-11-111-1-11111111-1-112-1-111-11-11-1-11如设i 一个3因素试验，可选用乙8（2，）正交表，表中Xl X2工3分别代表3、Z2、Z3的编码值。若因素间有互作存在，在回归中可用非线性项X1X2、XI 为、X2 X3等表示。每种交互作用占改造后二水平正交表的1列，该列的取值 可由某两列上元素对应相乘得到。如

6、表2乙8(27)中列的元素是由与 X2列上的对应元素相乘而得。用二水平正交表设计的这种试验具有正交性。若以表示在第a试验中第j个变量的编码值，于是在试验计划中有|任_列的和0 a任两列的内积知七=a具有以上两个性质的设计为正交设计。.建立回归方程对于3因素试验，若考虑因素间的交互作用，则回归方程为y=b。+ +b2x2 +y + +妇祥例如用乙8（2，）正交表设计该试验，那么它的结构矩阵为11111111信息矩阵（系数矩阵）为A = X =_0相关矩阵为I*-1C = A =001/8作.常数项矩阵为B = XY =am a/n-1 J a4.bm bm-l -J%（Q = 1，2,，8）为试

7、验结果，于是可算出回归系数矩阵那么各类回归系数即由下式算出咨=1/8眼必（，=12,3）% =j = L2,3.i 力 j）_回归系数的具体计算可在正交表上进行（表3）.表中但为各回归系数，Q 为偏回归平方和。从而建立回归方程。表3 3因素一次回归正交设计计算表试验号X。Xi2.VA/ A2XjX3X2X3试验结果11111111yi2111-11-1-1y：311-11-11-1V3411-1-1-1-11V451-111-1-11ys61-11-1-11-1V671-1-111-1-1V781-1-1-1111ys光XxaiyaSXrWa端站.方4公8888888b. = Bjd.爵8Bi

8、/S时8妃8B&SQjfBj时g：/s此/8此/8氐/8从以上计算可看出,各变量的偏回归平方和Qj=bJBJ=nbj ,|=与偏回归系数勿的平方成正比。但的绝对值越大，也越大。这就意味着，在利 用正交表所得到的回归方程中，每一个回归系数但的绝对值大小，反映|=了对应变量为对y作用的大小。这是因为经过无量纲编码后，所以变量 的取值都是1和1,它们在所研究的区域内取值是平等的，且不受单位的 影响，因此所求回归系数但直接反映了因素勾作用的大小，回归系数的 符号反映因素作用的性质。在要求不太高的情况下，一次回归正交设计可 省略方差分析，直接把回归系数与零相差不大的因素从回归方程中剔除, 不需重新计算其

9、它回归系数，剔除因素对结果的影响可并入试验误差。但 对精度要求较高的试验，应继续进行回归关系的显著性测验。.回归方程及回归系数的显著性测验 一次回归正交设计的方差分析如表4O表4 一次回归正交设计的方差分析表X1X21a：=变异来源自由度平方和均方F值回归如=，(? +1)/2SS回 Q + 0 +SS回1 df回ss/或回SSM离回归如=必.-伽ss离=ss总- SS回ss 离/*%总#总=-1SS总=盅-B亦1.0=.0.aX1.ss离/或离.1.Qm = B；Jn.Q.n.0,XmSSM对回归方程的显著性假设测验可通过表4中的F测验进行。但这种测验只是说明m个变量对试验结果的影响是显著的

10、,|=而在研究区域内回归方程与实测值的拟合情况，即采用一次回归模型是不是最合适，从以上 测验中没有得到这方面的信息。为了了解回归方程的拟合情况，需在零水 平（S S或）安排一些重复试验，如在安排p次重复试验所得试验结果 为）漏）掠，其平均数为死,则p 2%误=（）奇-），0）,酒误=-1由此可用t测验对回归方程中的拟合情况进行测验：|禹_%|何”误Jss 离+SS 误 /+1/p若求得14顷始+皿），则认为所与殳无显著差异，一次回归方程与实测值 拟合得较好。反之，就认为用一次回归来描述问题不够确切，可考虑建立 高次方程。拟合度测验也可通过F测验进行：SS拟二SS离- SS误df拟=df离-df

11、误F =拟/逝拟1 ss误/或误若FiFo.O5,则说明回归方程的拟合度较好。一般先进行拟合测验，在方程拟合情况较好的情况下，再进行回归方程的显著性测验。故将拟合度测验的F值记作Fi,而回归显著性测验的F值记作F2o回归系数的显著性测验可由表4的尸测验进行，也可通过检验给出o服从心皿的1分布。V例研究氮、磷、钾施用量对大豆籽粒产量的影响，试作一次回归 正交设计，并对试验结果进行分析。1.确定各试验因素水平并进行编码首先各因素的上、下水平，将3个因素的变化范围分别定在（2,6）、 （3,9）、（3,9）,单位为斤/亩。然后计算各因素的零水平和变化间距，列出 因素水平编码表（表5）o表5因素水平编

12、码表因素变化间距一-1水平编码0+1Z1氮（尿素）2斤/亩246Z2磷（三料磷）3斤/亩369Z3钾（硫酸钾）3斤/亩369制定实施方案选择屁（2，）正交表，实施方案如表6o表6氮、磷、钾肥料三因素试验实施方案试验X2试验设计矩阵实;施方案X3尿素（斤房）三料磷 （斤/亩）侃酸钾（斤房）号X11111699211469331-1163941-146335-1112996-1142937-1-112398-1-1-1233表7试验结构及数据分析试验号X0XIX2X3X1X2Xl X3X2 X3y（公斤/ 亩）11111111155.32111-11-1-1180.7311-11-11-1180.

13、7411-1-1-1-11178.351-111-1-11121.761-11-1-11-1153.671-1-111-1-1112.081-1-1-1111116.191000000158.3101000000163.3111000000166.0121000000150.8计算回归系数，建立回归方程产量结果列在表7的最后一列。计算可在表7上进行。各项数值的计 算过程如下：= 1x155.3+1x180.7+1x150.8 = 1836.8用二 xd，= 1x155.3+1x180.7+0 x150.8 = 191.6= x2x3 y = 1 x 155.3+(-1) x 180.7+0 x

14、150.8 = 55.6d = I2 +12 +12 =12i= I2 -I-12 +(/) + O2 =8= (工2与)2 = F + (-12) + +12 + +。2 = 8,191.6 ” *=1 = 23.951 dA 12, 打小-55.6= 6.95d” 8G =如0 = 23.95x191.6 = 4588.82Q23 = b23B2i = (-6.95)x (-55.6) = 386.42 由以上计算得如下回归方程：y = 153.1 + 23.95工+3.025.s -7.375玉-8.7752 +1.625x3 -6.95x2x3回归方程的假设测验先计算各项平方和与自由度

15、12112121Q2 = Ey；-7T(ZyJ： = .y-7f = 287663.44 = 6510.59 = 12-1 = 11a=l Ia=i a=iSS|，| = N0 = 4588.82 + 73.205+ +386.42 = 6120.7垢二 3x(3 + l)/2 = 6 TOC o 1-5 h z SS 顷=SS. SS 问=65100.59 6120.7 = 389.89 m起凹df离=11-6 = 5121 121SS误= 】(%)= 12022.42-淀638必=133.78 df., =4-1 = 3 。=94 a=94SS 拟=SS 离 一 SS 误=389.89-1

16、33.78 = 256.11 df拟=5-3 = 2首先对回归方程的拟合度进行测验，可用尸测验和测验两种方法。尸测验二 A6.ll/2 = 2 77 0.01，12 0.05,3、23 ，0.10，2、，13彳、显者 (2) F测验-73.205F,= 0.9477.98厂 435.125F. = 3.38377.98222.7,9077.98= 0.2777.98蛙= 4.9677.98查表得F(ho,i,5 = 4.06, %05 侦=6.61, FOO11S = 16.3,由以上测验知氏 %.05,片、弓 %.10，尸2、%不显著。与t测验结果相同。将不显著的变量X2和XI X3从回归方程中剔除，则回归方程为y = 153.1 + 23.95x1 7.375x3 8.775玉易6.95x2a:3作业：有一3因素一次回归正交设计试验，其试验结构矩阵及结果列于下表