电磁场与电磁波理论基础chapter静电场恒流电场

1、电磁场与电磁波教学课件静电场与恒定电流电场宋喆zh内容提要静电场的基本方程电位与电位方程静电场的边界条件电容、电场能量与电场力恒定电流电场导电媒质内恒流电场与静电场的比拟温故而知新，可以为师矣电磁场定律数学表达备注F211定律 F12 kk 4点电荷之间的作用力2 r 2a21,D dF dq EvB定律穿过封闭曲面的电通力 定律电磁场对电荷作用力dBk Idl a-定律通电直导线产生磁场 kr,4r 2 B 0磁通连续性 原理磁力线闭合 ds dlHJ环路 定律满足传导电流条件C:SS E t B法拉第电磁感应 定律时变磁场产生电场学而不思则罔，思而不学则殆Maxwell 方程组 D r,

2、t H r , t dl D r , t dsI t Hr, tJr, ttSSt E r , t dl B r , t ds B r, t Imt E r, t Jr, ttSStmD r , t ds q(t)VVD r, t r, t B r, t m r, t B r , t ds q (t)m电磁场量是距离 r 和时间 t 的函数，且具有对称性，满足对偶原理； r , t r , t H r , t E r , t ;D r , t B r , t Jr , t Jr , t ;mm这里引入了等效磁流和磁荷的概念，使得方程更完整。Maxwell方程组中的电场和磁场相互耦合，是但在某些

3、特殊情况下，电场和磁场可以单独的电磁现象的两个方面；来，即静态场。积分形式微分形式静电场的基本方程（1）1. 静态场的基本概念静态场是指电磁场中的场量和源 量都不随时间发生变化的场。 0D 0,B 0,ttt静态场包括静电场、恒定电场和恒定磁场，它们是时变电磁场的特例。静电场 相对观察者且电荷量不随时间变化的电荷产生的电场。恒定电场 在导电媒质中，由恒定电生的电场。恒定磁场 由恒定电流或永磁体产生的磁场，亦称为静磁场。静态场对应的Maxwell方程组： H JcS H dl Ic静态场中的电场与磁场J 0 0 E 0E dl 0cSSD VJcD ds q(t)B ds 0相互独立！VB 0电

4、 流 连 续 性积 分 形 式微 分 形 式静电场的基本方程（2）2. 静电场的基本方程 E 0 E ds E dl 0D C:SS Ddv D ds dvD E VS:VV3. 静电场的边界条件n E1 E2 0 E2torE1t n D D D2norD1n12s静电场的基本方程表明：场量 E 的旋度为零，静电场是无旋场；场量 D 的散度非零，静电场是有源场。电位与电位方程（1）1. 电位静电场是无旋场： E 0 ，考虑矢量恒等式： 0 ，可推出：E称为标量电位从数学的角度看，位函数的形式并不唯一，且不必具有物理意义；，。E dl E ds 0CS静电场是“保守的”，理想导体是等位体，其表

5、面是一个等位面。电荷受电场力作用而产生位移，电场力所做的功可表示为： dlA El由于静电场的无旋特性，电场力的做功只取决于受力电荷的起点与终点。由此可引出电位差（电势差）。电位与电位方程（2）2. 电位差将 E 两边点乘 dl ，并将坐标展开： E dl dl x dx y dy z dz d将上式从P点到Q点做线积分：Qd P QA E dl lPQPP、Q两点的电位差等于电场力将正电荷从 P 点移动到 Q 点所做的功，电场力使正电荷从高电位移至低电位；电位差也称为“电压”，用U 表示，：伏特（V）；电位差有确定值，它只与起点和重点的位置有关，而与积分路径无关！若将Q点选在无穷远处（零电位

6、）则电场力做功在数值上等于P点的电位能。电位与电位方程（3）参考电位的选取标量电位函数的形式并不唯一，例如，加上一个常数 C 后，仍可表示同一个 C ,E C 为了使静电场中每一点的标量电位具有确定值，需要选取一个参考零电位：选则参考点令参考点电位为零静电场中每点有确定电位场中每点与参考点的电位差根据已知电荷分布求解电位时需注意：选取正确的坐标系，并分区间处理；参考点应使电位表达式有意义；参考点应使电位表达式尽量简单；选取合适的参考零电位点；同一个问题中只有一参点。根据定律求出电场后，计算电位电位与电位方程（4）3. 已知电荷分布求电场电位点电荷的电场电位（等位面）CBE dl E dl dl

7、B ACEABDBAE dl E dl AD 1 1 qrBE dr 4 r4 rA2rBrrAA当选取无穷远处为参考点时，点电荷在空间各点的电位表达式最简单：qr AA4 r4 rA2A当源点电荷不在坐标原点时，空间任一场点A 的电位函数为q4 ROA4r rAq电位与电位方程（5）电荷系的电场电位（有限空间分布）当 n 个点电荷离散分布时，可根据叠加原理计算，注意必须选取同一个 参考零电位点（若分布在有限空间，则仍可选取无穷远处为零电位点）：nqk 4 r r rkRk4k 1k 1当电荷为连续分布时，可应用电荷密度计算（体/面/线）： rr r VSLVSLdv dvv4v 4 Rrrr

8、 r ds dsssr44 Rr r r dlr r dl l4l 4 Rrr电位与电位方程（6）场源电荷分布至无限远（Page 38）设电荷均匀分布在一无限长直线上，电荷线密度为 l ，求空间各点电位。选取柱面坐标系(,)， 确定几何关系。根据定律，可求出此电荷分布条件下的空间电场分布：lE a2 RR根据电位函数的定义，可求出空间任意两点A、B的电位差： dl0BCB E dlE dl EABAACllRBln R/ RdR 2 R2BARA可选择空间场中距离线电荷为 R0 的某点为参考零电位点，则空间任一点电位可表示为：l2ln R0 / RA A R0 不可选在无穷远处！电位与电位方程

9、（7）4. 电位、电场强度、电力线标量电位、矢量电场强度和电力线可以表征同一电场的不同特性；根据电位函数可以求出电场分布：E O / l dl PE dl 根据电场分布可以求出电位差：lPOP电力线上点的切线方向与电场强度方向一致；电力线的密度表示电场强度的大小。电场中电位的等值线/等值面称为等位线/等位面，电荷在等位面上移动时，电场力对电荷不做功（电场强度矢量必与等位面正交）。电位与电位方程（8）#. 计算实例（Pa e 39）计算电偶极子的电位和电场强度。电偶极子由空间中两个等量、异号且相隔很近的点电荷组成。选取球面坐标系(R, , )， 确定几何关系。此问题可归属为离散电荷分布在有限空间

10、：r2 r1 q 1/ r 1/ r q44 rr 121 2由于电偶极子的间距 l 很短，因此到如下近似：r2 r1 r l / 2 cos r l / 2 cos l cosr l,rr r2 1 2 ql cos4 r 2p r由此，电位函数可写为： ，p ql4 r3为电偶极矩。根据电场强度和电位函数的关系，可以求出电偶极子在空间的电场分布：电位与电位方程（9）#. 计算实例（Pa e 39，续） a1 a1 ar r sin rrE p cos a1 p cos ar 4 r 2r 4 r 2r p cos a p sin4 r3 a2 r3rp4 r3a2 cos a sin r虚

11、线：电力线；实线：等位线请用绘制本图电位与电位方程（10）5. 静电位的偏微分方程 E 0ED E E D E Simon Denis Poisson(1781 1840)FrenchWikipedia 2有源区域Pierre-Simon, marquis de Laplace(1749 1827)2 0（Laplace）方程无源区域FrenchWikipedia静电场的边界条件（1）1. 场量 E 、D 的边界条件静电场作为振荡电磁场的一种特例，其边界条件可由电磁场的边界条件导出：n E E2 0E Eor连续；电位移矢量的法向分量在11t2t分界面上的差等于分界面上的自n ssD1 D2

12、0 D2n 0orD1n由电荷密度，若不存在电荷，则电位移矢量的法向分量连续。2. 静电场电力线的折射定律E2nED2n若分界面上无电荷2E1 sin1 E2 sin2 E2t DE1tD E cos E cosD1n 11S2n12221ntan1 11 与 2 之间的关系与分界E1ntan22面两侧媒质的介电常数有关。E1静电场的边界条件（2）3. 电位的边界条件21P2设 P1、P2为极其靠近媒质分界面的两个点，其电l位分别为1、 2 ，当两点间距l 0时，有：Pl 01 E1212 snD1 D21n2n 同时，12sDE 理想介质表面：理想导体表面( = 0)：12sn电荷会212n

13、n导体在静电场中会发生静电感应现象。为使导体在电场力作用下移动，从而达到静电平衡。依次现象总场为零，如下推论：1.静电感应引起的电荷在导体表面，而电场为零;2.3.处于静电平衡的导体表面为等位面，电场强度垂直于导体表面；介质与导体分界面上的边界条件为：Et = 0, Dn = s静电场的边界条件（3）#. 计算实例1 （Page 43）平行板电容器极板平面的尺寸远大于它们之间的距离 d ，极板间加恒定电压 U0，极板间介质的介电常数为 ，其中一半空间有密度为 的体电荷分布，媒质分界面与极板平行，求极板间电位分布。（不考虑边缘效应）x由于不考虑边缘效应，电场呈一维分布（x）；，U0d2 / ,

14、0,PoissonLaplace0 x d / 2d /2 x d12O2求解偏微分方程（关于 x ）：确定边界条件：1 0 0,22x 0 1 ,x C1 x C221 d /2 d /2 x2 0,12d2,x 12无面电荷分布2 C x C2 xx x2234xd /2 xd /2 2 d U0 ,x d静电场的边界条件（4）#. 计算实例1 （Page 43，续）将边界条件代入微分方程，求解待定系数： 2 C x C 0 x23d8U0221C1x0d C3 x C4 dx C1 x C2 02xC2x d2dU2C3 80 dx C1 C3 d 2Cx d248C3 x C4 U0d

15、静电场中，Poisson方程和Laplace方程是最常见的方程，分别对应有源区域和无源区域。在解题时，首先列出电位函数，确定待定系数，进而充分利用边界条件（原函数、导函数）。静电场的边界条件（5）#. 计算实例2 （Page 44）无限长同轴线，已知内、外导体半径分别为R1、R2，内外导体间介质的介电常数为 ，内导体电位为U，外导体电位为零，求内外导体间电场及内外导体上电荷分布。选取圆柱坐标系，电位函数 仅随R 而变，则 R d 02 1d C ln R CR dR dR 12 R1 UE 边界条件：，进而根据 求解。 R2 0 sDn计算结果： UUU R1 ,s R2 E R a，RR s

16、R R R ln2R1 ln2R2 ln2R1R1R1静电场的边界条件（6）#. 常用坐标系下的梯度、散度、旋度与Laplace算符正交坐标系直角系（x, y, z）圆柱系（R, , z）圆球系（R, , ）梯度Ux U y U z UxyzR U 1 U z URR zr U 1 U 1URr r sin 散度AAx Ay Azxyz AR AR 1 A Az RR R z Ar 2 A 1 A A cot 1A rRr r r sin 旋度Ax Az Ay y Ax Az yz zx z Ay Ax xy R 1 Az A AR Az R z zR z A A 1 AR RRR r 1 A

17、 A cot 1A r sin 1Ar A A A A 1 Ar r sin rr rrr 2U2U 2U 2Ux2y2z2 2U1 U 1 2U2 22 RR R R2U 2U 2 U 1 2U U r 2r r r 2 2 cot 12U r 2 sin2 2z2电容、电场能量与电场力（1）1. 两导体间的电容电容是导体系统的一种基本属性，描述了导体系统电荷的能力。U，QC QU导体所带电荷与导体电位之比。孤立导体：C Q / 电容C 只与导体几何性质及周围的媒质相关，而与所带电荷、自身电位无关；C q 4 a例如，空间中半径为a 的带电球： 4 a00两个导体：C Q / 1 2 与 q

18、 和 无关电容C 只与导体几何性质及周围的媒质相关； sSsSQSd 例如，空间中半径为a 的带电球：C d / 0Ed12s0电容、电场能量与电场力（2）#. 计算实例1 （Page 45）无限长同轴线，已知内、外导体半径分别为R1、R2，内外导体间介质的介电常数为 ，计算该同轴线的分布电容。 R U U, Rs1R ln Rs2R ln R2 2 12RR11由于面电荷均匀分布，因此内外导体长度的电荷为： R 2 R R 2U2U, R 2 R R l11s1ln R2l22s2ln R2R2 1R1同轴线的分布电容为：C0l U该结果亦反映出导体电容只与其几何尺寸、相对位置及空间填充媒质

19、ln R2R1的特性相关，而与电压、电量无关，电容是导体系统的一种基本属性。电容、电场能量与电场力（3）#. 计算实例2计算无限长双线传输线的分布电容，已知导线半径为 a，双线间距为 D，且满足 D ay由于 D a ,可认为电荷均匀分布在导线表面，且可视为线电荷。利用定律，可计算出沿 x 方向的电场分布：Ex 计算双导线间的电位差：xDalln D aU dx Exdx200D x xaaa l00计算双导线间的分布电容： Cln D a0ln DUaa电容、电场能量与电场力（4）2. 多导体系统的电容、电容矩阵在三个或三个以上导体组成的系统中，空间电场是各导体上电荷产生的电场的叠加，系统中

20、每个导体的电位受到所有带电导体上电荷的影响，此时需引入“部分电容”概念，方可确定两两导体间的电容。一，状、大小、相对位置及空间媒质的分布有关，而与系统外无关，所有电通矢量的力线封闭于系统中，则此系统称为静电独立系统。N个导体与“地”多导体系统，取“地”为电位零点，当任何一个导体带电时，系统中所有导体将具有确定的电位。由于电位函数是一标量，因此，空间中任一点 A 的电位为系统中每个导体所带电荷在该点产生电位的线性叠加：A q2 AnqnA电容、电场能量与电场力（5）依此类推，可以列出 n 个导体的 n 个线性独立的电位方程：为互电位系数ijq q122 q2n导体 j 电荷对导体 i 电位的贡献

21、2qn qq n1nnn1qk2nnii导体 i 电荷对导体 I 电位的贡献nq2qn jk j0, j, k只与各导体的几何尺寸、jk相对位置及空间媒质有关，而与导体电位和电量无关。 jkqjkkjkq 0qk 1n电容、电场能量与电场力（6）若已知带电导体电位，可通过逆运算求出电荷量和静电感应系数：q 1 ：静电感应系数表明导体电位对导体电荷的贡献n1nnn1nn nnn1q1 111 122 1kk 1nn为互静电感应系数ijq导体 j 电位对导体 i 电荷的贡献 22112222kk2nnq kk11k 22kkkknn为自静电感应系数iiq导体 i 电位对导体 i 电荷的贡献 nn1

22、1n 22nkknnn jk 0, j k0, kkk jk q j, j k静电感应系数的特点：jkkkk 0k 1k 1n1电容、电场能量与电场力（7）若选定 k为参考导体，则该导体对零电位的电压为 k = Uk0则有： j k k j Uk 0 Ukjqk k11 kkk knn k1 k k 1 kkk kn k k n k1 k 1 k1 k 2 kn k kn k n kkqkUCkk自 部分电容N C Cqkkjkjkkkk 0Uk 1 Uk 2 Ukn 0, Uk 0 0j kqkNCj kC U CU互部分电容kjkjkkk 0kjUkjUUUUU0, U0k j1k j1k

23、 0k 1knkj电容、电场能量与电场力（8）#. 计算实例（Pa51）计算图示两导体间的等效电容。导体1与导体2的电荷与电压间的线性关系为：C12 C11U10 C12U12q112q C U CU 221212220C11C22计算两个导体间等效电容时，要求 q1 = -q2 = q:q C11U10 C12U12 C21 UC12,q C U CUU122121222021 C22qC11qC11C22C CUCCC C C1212C CU1211221122121122两导体间的等效电容是由其部分电容组成的串、并联电容网络的等效电容。电容、电场能量与电场力（9）3. 电场的能量电荷在电

24、场力的作用下产生位移，说明电场力对电荷做功，电场具有能量。系统充电并稳定后的电场能量，与充电过程无关。充电过程中，n 个导体的电荷电量从 0 q q，电场电位从0 外加能源为了使导体系统增加微量电荷而克服电场力做功：nndA k d k dkk 1k 1在电场建立过程中， 从 0 变到 1 ，积分得到整个过程中外加能源做功：nn12n11q d q d q A dA Wkkkkkke00k 1k 1k 1因假定电场建立过程中量损耗，故外加能源做功全部转变为电场能量。电容、电场能量与电场力（10）当带电导体呈连续分布时，充电后的电荷分布亦呈连续分布： 12 12dvWeV ds当电荷在曲面上分布

25、时： WesS对静电场能量的几点说明：、，积分区域理应为整个空间，但由于在没有电荷分布的区域积分为零，因此可以只在 0 的区域进行积分；能量分布在有电场存在的地方，并不仅仅存在于电荷分布的区域，因此/2 不能代表能量密度。电容、电场能量与电场力（11）4. 电场的能量密度 1 1dv D dv由定律，得：We22VV D D D 考虑矢量恒等式：，：D E dF 1 Ddv 1D dvWedq 22VVE 11r dv 1 S D ds 22 VdvDv a v4 R2RR2 1 1 D ds D Edv 1R E dl 22SV 1lD E2能量密度e 12WD EdveV ds lim 1

26、 1 R2dR 0SDR S RR2电容、电场能量与电场力（12）#. 计算实例（Pa53）平板电容器的电容为 C，外加电压为 U。以电场能量密度的体积分计算该平板电容器所的电能。由于不考虑边缘效应，极板间电场均匀分布据述知识，可计算如下：E U ,D E UdU0ddU2 1D E2e2d 2电路理论中亦给出相同结论U 21 s1We V edv 2d 2 sd 2UCU222dQ21由于电容器极板上电荷量 Q = CU，We 2 QU ,2CWe因此电容器所电能还可表示为：电容、电场能量与电场力（）5. 电场力 F qE直接计算“合力”在很多情况下不易实现，可通过带电体受电场力作用而 F

27、V v Edv定义： 计算电场力引入“虚位移”F Ss Eds6. 广义力与广义坐标广义坐标：力转动力矩压强表面张力dW dA dWedWdWe：F：系统电场能量增量；dA F dg Fdg能量守恒定律g广义电场力； W Wedg：dA：广义坐标下的位移；广义电场力所做功。Fggg恒定电流电场（1）1. 导电回路中电源内的局外电场Jc E传导电流：电荷在导体中的定向Jv v运流电流：带电质点在空间中的定向位移电流：电场随时间变化形成位移电流DJdt恒定电流：电荷（电流）不随时间变化，对应的电场为恒流电场局外力 Fs 等效为在电源的局外电场对电荷的作用力。局外电场： dFs，由电源负极指向正极，

28、将正电荷EsAEqBdq推向正极；与此同时，由于电荷积聚而产生电荷电场 Eq， EsE Eq当时，局外场克服电荷电场，继续推动正电荷。s恒定电流电场（2）当电源外部由导电媒质连接正、负极时，电荷电场将促使电荷移动形成电流。电荷 q 沿此闭合回路一周，总电场做功：A F dl qE dlCC E dl0 qEs innerEqEs dl q Es dl dl qinnerC qinner，它恒等于零，因此，可进一步写为：A q， dl，令C Es称为电源电动势，伏特（V）。恒定电流电场（3）2. 恒流电场的基本方程 E 0方程表明：恒流电场在导体外部的媒质中的性质和静电场相似，其相似性随导体内电

29、导率的增加而增加。导电媒质外 D 0 D E 0 EJ v 0E J导电媒质内 0 J 2 J Et方程表明：在导体，恒流电场的电场强度是无旋。Laplace方程。恒定电流电场（4）3. 恒流电场的边界条件不同导电媒质分界面上的边界条件（ 1与 2 不同） n E1 E2 0 E 0tan1 112 12ntan J0n J J 02212n12恒定电流电场（5）导电媒质与理想媒质分界面的边界条件（ 1 0 ） 0 J1 0 J J 011n2n一在理想媒质中：1 0 J1 1E1 0 0, J 02 E222在导电媒质中： J2n, E2n J1nnE1 E20 0导电媒质表面：分界面处：

30、n J Jn D D E 1211n11ns恒定电流电场（6）具有漏电电流的两非理想介质分界面的边界条件（导电特性、介质特性）n E E 0 E 0 E2tE1t12 J J J 0n JJ 0 1n2n12D2n s n D D介质特性：D1n12s当 1 2时，1 2 1E1n 2 E2n J2nJ1nD E E D 01n 11n由面电荷！2n22ns 1 2 J 1 2 J 1 2 J s1n2nn12 12 12恒定电流电场（7）#. 计算实例（Pa61）同轴线内导体外半径为 R1，外导体内半径为 R3，内外导体间填充有两层非理想介质，介质的分界面为 R2，它们的介电常数分别为 1、

31、2，电导率分别为1、2。设内外导体间外加电压为 U，求两介质中的电场强度及介质分界面和同轴线内外导体表面的面电荷密度。选定坐标系：圆柱系确定分界类型：两非理想介质分界面（漏电电流）2 , 21 ,1需要使用的边界条件：RR1n E1 E2 0 EER1t2t2R J2nDn J J 0J1n312D 1nn D D 2ns12s恒定电流电场（8）I，半径为 R（R1 R R3）的圆柱面上电流均为 I，由同轴线的圆柱对称性可知，同一圆柱面上各点电流密度矢量应为径向，且大小相等。因此有：J1J2I R1 R R2 R2 R R3 a2 R IR a2 RR两非理想介质分界面处 R = R2，电流密度矢量的法向分量连续：J1n= J2n，有：E1I R1 R R2 a2 RR1E2I aR2 R R32RR2恒定电流电场（9）上述表达式中，电流 I 是未知量，可由已知内外导体间电压确定：I21RI2 2RRRRRU 2E dR 3E dR 2dR 3dRR1R2R1R2 ln R2 ln R32 U21IRRI 12 1221 2 ln