高三一轮数学（理）总复习-§11.2　古典概型与几何概型【系列三】

1、11.2 古典概型与几何概型高考理数考点一古典概型1.古典概型的两个特点(1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)等可能性:每个基本事件出现的可能性相等.2.古典概型的概率公式(1)在基本事件总数为n的古典概型中,每个基本事件发生的概率都是相等的,即每个基本事件的概率都是.(2)对于古典概型,任何事件的概率为P(A)=.知识清单考点二几何概型1.几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.2.几何概型的特点(1)无限性:在一次试验中,基本事件的个数是无限的.(2)等可能性:每个基本事件发生的

2、可能性是均等的.3.几何概型的计算公式设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域,事件A所对应的区域用A表示(A),则P(A)=.4.几何概型与古典概型的区别与联系(1)共同点:基本事件都是等可能的.(2)不同点:基本事件的个数一个是无限的,一个是有限的.基本事件可以抽象为点,对于几何概型,这些点尽管是无限的,但它们所占据的区域却是有限的,根据等可能性,这个点落在该区域的概率与该区域的度量成正比,而与该区域的位置和形状无关.1.事件A的概率的计算,关键是分清基本事件个数n与事件A中所含的结果数nA.因此,必须解决好下面三个方面的问题:(1)本试验是否是等可能的;(2)本试验的基本事件有多少个

3、;(3)事件A是什么,它包含多少个基本事件.2.用列举法把古典概型试验的基本事件一一列举出来,然后求出n、nA,再利用公式P(A)=求出事件的概率,这是一个形象、直观的好方法,但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏.也可用排列、组合求基本事件数.3.求复杂事件的概率问题,关键是理解题目的实际含义,必要时将所求事古典概型及其求解方法方法1方法技巧件转化为彼此互斥事件的和,或者是先去求对立事件的概率,进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率.4.含有“至多”“至少”等类型的概率问题,从正面突破比较困难或者比较烦琐时,可考虑其反面,即其对立事件,然后应用对立事件的性质P

4、(A)=1-P()进一步求解.例1(2017四川成都实验外国语学校二诊,9)若函数f(x)=ln(x2+1)的值域为0,1,2,从满足条件的所有定义域集合中选出2个集合,则取出的2个集合中各有三个元素的概率是(A)A.B.C.D. 解题导引解析令ln(x2+1)=0,得x=0,令ln(x2+1)=1,得x2+1=e,x=,令ln(x2+1)=2,得x2+1=e2,x=.则满足值域为0,1,2的定义域集合有:0,-,-,0,-,0,-,0,0,-,0,-,-,0,-,-,0,-,0,-,-,.则满足这样条件的定义域集合的个数为9,从满足条件的所有定义域集合中选出2个集合,基本事件总数n=36,取

5、出的2个集合中各有三个元素的集合个数为m=6,取出的2个集合中各有三个元素的概率P=.故选A.1.判断试验是否为几何概型,要切实理解并掌握几何概型的两个基本特点:无限性和等可能性.2.求解几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围.当考察对象为点,点的活动范围在线段上时,用线段长度比计算;当考察的对象在某块区域时,用面积比计算;当考察对象在某个空间时,用体积比计算.3.在解决面积型几何概型时,要充分借助线性规划的可行域、定积分等相关知识进行求解.几何概型的概率求法方法2例2(2016课标全国,10,5分)从区间0,1随机抽取2n个数x1,x2,xn,y1,y2,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为(C)A.B.C.D. 解析如图,数对(xi,yi)(i=1,2,n)表示