2021-2022学年辽宁省抚顺市第一中学高一下学期6月月考数学试题（解析版）

1、2021-2022学年辽宁省抚顺市第一中学高一下学期6月月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知向量，若，则（ ）A. 8B. 8C. 2D. 2【答案】C【解析】【分析】由向量数量积直接求解.【详解】由题意得，解得故选：C2. 要得到函数图象，只需将函数的图象（ ）A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】C【解析】【分析】根据图像平移的规律，算出答案即可.【详解】设函数的图象平移个单位得到函数的图象，则，所以，解得，所以向右平移个单位长度.故选：C.3

2、. 已知某圆锥的高为3，底面半径为，则该圆锥的侧面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由圆锥的侧面展开图是扇形，利用扇形的面积公式直接列式计算即可得出答案.【详解】解：由题意得，该圆锥的侧面积为故选：A.4. 记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ）A. B. 3C. D. 2【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理求解.【详解】解：由题意得，由正弦定理得，得故选：B5. 已知轮船在灯塔的北偏东45方向上，轮船在灯塔的南偏西15方向上，且轮船，与灯塔之间的距离分别是千米和千米，则轮船，之间的距离是（ ）A. 千米B. 千米C. 千米D. 千米【答案】D【解析】

3、【分析】根据题意作出示意图，分析角度后，再利用余弦定理解题即可.【详解】如图，由题意可知千米，千米，由余弦定理可得，则千米故选：D.6. 在正四棱锥中，为的中点，为的中点，则从点沿着四棱锥的表面到点的最短路径的长度为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对点到点的路径进行分类讨论，将相应平面延展为同一平面，结合余弦定理可求得结果.【详解】分以下几种情况讨论：（1）当点沿着平面、到点，将平面、延展为同一平面，如下图所示：易知、均为等边三角形，延展后，所以，四边形为菱形，所以，且，因为、分别为、的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，此时；（2）当点沿着平面、到点，将平面、延展至

4、同一平面，如下图所示：连接，则，且，因为，由余弦定理可得；（3）当点沿着平面、到点，连接，如下图所示：则，由余弦定理可得；（4）当点沿着平面、到点，将这三个侧面延展为同一平面，如下图所示：易知、三点共线，且，由余弦定理可得.综上所述，从点沿着四棱锥的表面到点的最短路径的长度为.故选：C.【点睛】方法点睛：（1）计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状；（2）对于几何体内部折线段长的最值，可采用转化法，转化为两点间的距离，结合勾股定理求解.7. 衡量钻石价值的4C

5、标准之一是切工理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石几乎反射了所有进入钻石的光线现有一理想切工的钻石，其横截面如图所示，其中为等腰直角三角形，四边形BCDE为等腰梯形，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】如图，延长CD和BE交于点F，证明四边形ABFC为正方形，再利用平面向量的线性运算求解.【详解】解：如图，延长CD和BE交于点F，由题得,所以四边形ABFC为矩形，又,所以四边形ABFC为正方形，又，所以分别是中点，所以故选：C8. 记的内角，的对边分别为，若的面积为2，则当的周长取到最小值时，（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由余弦定理、面积

6、公式及函数的单调性可求解.【详解】由题意得，因为，所以由余弦定理，得，得，则因为函数在上单调递增，所以当最小时，的周长最小又（当且仅当时，等号成立），所以故当的周长取到最小值时，故选：A二、选择题：本题共4小题，每个小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 下列结论正确的有（ ）A. 三棱柱有6个顶点B. 四棱台有8条棱C. 五棱锥有6个面D. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形【答案】ACD【解析】【分析】根据简单几何体的定义和结构特征可得答案.【详解】三棱柱有6个顶点，四棱台有12条棱，五棱锥有6个面，正棱锥的侧面是全等的

7、等腰三角形.故选：ACD.10. 已知复数，满足，则（ ）A. B. C. D. 在复平面内对应的点位于第一象限【答案】ACD【解析】【分析】首先根据复数代数形式的运算法则求出、，再一一计算可得；【详解】解：由题意得，所以，所以，所以，所以在复平面内对应的点为位于第一象限.故选：ACD11. 已知函数，则下列命题正确的是（ ）A. 的图象关于直线对称B. 的图象关于点对称C. 在上单调递减D. 对任意的m，在上不单调【答案】AD【解析】【分析】根据三角恒等变换公式化简可得，再根据正弦函数的性质分别求解对称轴、对称点、单调区间再逐个判断即可【详解】对A，令，解得，所以的图象关于直线对称，则A正确

8、；对B，令，解得，当时，则B错误；对C，令，解得，所以的单调递减区间是，则C错误；对D，因为的最小正周期，所以，所以对任意的m，在上不单调，则D正确故选：AD12. 记的内角，的对边分别为，且，下列结论正确的有（ ）A. B. C. 是直角三角形D. 若，则的面积为【答案】BCD【解析】【分析】对于A，利用三角函数恒等变换公式对化简可求出角，对于B，由已知条件结合正弦定理可求出角，对于C，由选项AB可判断三角形的形状，对于D，由结合选项AB可求出三角形的面积【详解】因为，所以.又，所以，则或，所以A错误，因为，所以，所以，则，而C为三角形内角，故，所以B正确，若，则，故一定是直角三角形，所以C

9、正确，若，则，故面积为，所以D正确，故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 如图，在长方体中，M，N分别是EH和FG的中点，则在三条直线AD，CD，BF中，与直线MN是异面直线的共有_条【答案】2【解析】【分析】由MN/CD，判断出MN与CD;由异面直线的判定定理判断出直线AD，BF均与MN异面【详解】因为MN/CD，MN与CD共面;由异面直线的判定定理可得：直线AD，BF均与MN异面故答案为：214. 已知，则_，_【答案】 . 3 . 2【解析】【分析】根据已知化简计算可得，进而可求得结果.【详解】由题意得，即，所以故答案为：3，-2.15. 如图，在一场足球比赛

10、中，甲同学从点处开始做匀速直线运动，到达点时，发现乙同学踢着足球在点处正以自己速度的向做匀速直线运动，已知，.若忽略甲同学转身所需的时间，则甲同学最快拦截乙同学的点是线段上离处_m的点.【答案】5【解析】【分析】甲同学最快拦截乙同学的地点是点，则，进而在中结合余弦定理求解即可.【详解】解：如图，设甲同学最快拦截乙同学的地点是点，则，所以，在中，整理可得，解得或（舍去）.、故甲同学最快拦截乙同学的点是线段上离处5m的点.故答案为：.16. 如图，三棱锥的底面的斜二测直观图为，已知底面，则三棱锥外接球的体积_【答案】#【解析】【分析】先由斜二测画法得，再结合底面求出外接球半径，即可求解.【详解】由

11、题意得，且所以由斜二测画法得，在原图中，所以三棱锥外接球的半径，则故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知复数（1）若，求的值；（2）若为纯虚数求的值【答案】（1） （2）【解析】【分析】根据复数的概念和性质求解即可.【小问1详解】由，可知为实数，所以，得或当时，不符合题意，舍去，当时，符合题意，故【小问2详解】由题意得，解得，即18. 已知单位向量，的夹角为，且向量，（1）用，表示出一个与共线的非零向量；（2）求与夹角的余弦值【答案】（1）（答案不唯一） （2）【解析】【分析】(1)将 看做基底，根据向量共线的规则，设 即可；(2

12、)用数量积求夹角即可.【小问1详解】由题意得，所以与共线的非零向量可以是 ，不妨设 ，则该向量为；【小问2详解】因为，所以，故；综上，与共线的非零向量为， 与 夹角的余弦值为 .19. 如图，在三棱柱中，分别为，的中点（1）证明：，四点共面（2）证明：，三线共点【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】(1)通过线线平行证明线线共线，从而达到四点共面；(2) 先延长，相交于点，再通过点线面的关系可证明结论.【小问1详解】如图，连接，是的中位线，且，四边形是平行四边形，四点共面【小问2详解】如图，延长，相交于点，平面，平面，平面，平面平面平面，三线共点20. 已知函数部分图像如图

13、所示（1）求的解析式；（2）若在上的值域为，求的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据题给条件依次求得参数即可求得的解析式；（2）先根据（1）的结果化简条件，再利用在上的值域为，列出关于的不等式，即可求得的取值范围【小问1详解】由图可知的最小正周期记为T，则，得因为，所以由，得，即，又因为，所以，所以【小问2详解】由（1）可知，当时，则，即又， 所以，解得，即的取值范围是21. 如图，在圆锥中，为底面圆上的三个点，且，（1）证明：平面（2）求四棱锥的体积【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）设线段上靠近的三等分点为，连接，再结合条件证明四边形为平行四边形，分析求解即可；（2）作于点，则为的中点，再求出梯形的面积，由圆锥性质得到平面的距离为，再利用公式求解即可.【小问1详解】如图，设线段上靠近的三等分点为，连接，因为，所以，所以，且，因为，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以因为平面，平面，所以平面【小问2详解】作于点，则为的中点，所以，所以梯形的面积为，因为，所以到平面的距离为，所以四棱锥的体积为22. 如图，记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A的角平分线交BC于点D，O为的重心，过O作，交AD于点P，过P作于点E.（1）求的取值范围；（2）若四边形BDPE与的面积之比为，求的取值范围.【