冲量及动量定理

1、重写牛顿第二定律的微分形式考虑一过程，时间从t1-t2，两端积分一、 动量定理左侧积分表示力对时间的累积量，叫做冲量。于是得到积分形式2-1 动量定理 动量守恒定律 这就是质点的动量定理：物体在运动过程中所受到的合外力的冲量，等于该物体动量的增量。动量定理的几点说明：(1)冲量的方向： 冲量 的方向一般不是某一瞬时力 的方向，而是所有元冲量 的合矢量 的方向。(2)在直角坐标系中将矢量方程改为标量方程(3)动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。 打击或碰撞，力 的方向保持不变，曲线与t轴所包围的面积就是t1到t2这段时间内力 的冲量的大小，根据改变动量的等效性，得到平均力。将积分用平均力代替

2、动量定理写为平均力写为平均力大小：(4)应用动量定理必须在同一惯性系中。例 动量定理解释帆船“逆风行舟”船前进方向风吹来取一小块风dm为研究对象初末由牛顿第三定律前进方向风对帆的冲量大小方向与 相反 F横 F阻龙骨例题1 质量m=3t的重锤，从高度h=1.5m处自由落到受锻压的工件上，工件发生形变。如果作用的时间(1) t=0.1s， (2) t=0.01s 。试求锤对工件的平均冲力。 解：以重锤为研究对象，分析受力，作受力图： 解法：锤对工件的冲力变化范围很大，采用平均冲力计算。 取竖直向上为正， 在竖直方向利用动量定理。初状态动量为末状态动量为0得到解得代入m、h、 t的值，求得：(1)(

3、2)例题2-2 矿砂从传送带A落到另一传送带B，其速度v1=4m/s，方向与竖直方向成30角，而传送带B与水平成15角，其速度v2=2 m/s如传送带的运送量恒定，设为k=20 kg/s，求落到传送带B上的矿砂在落上时所受到的力解:设在某极短的时间t内落在传送带上矿砂的质量为m，即m=kt，这些矿砂动量的增量为于是其量值可用矢量差方法求得参看图 (b) 设这些矿砂在t时间内的平均作用力为F，根据动量定理，作用力F的方向与(mv)的方向相同，图(b)中的角可由下式求得： 补充例题 一绳跨过一定滑轮，两端分别拴有质量为m及的m物体A和B， m大于m。B静止在地面上，当A自由下落距离h后，绳子才被拉

4、紧。求绳子刚被拉紧时两物体的速度，以及能上升的最大高度。mmBAh解：以物体A和B为系统作为研究对象，采用隔离法分析受力，作出绳拉紧时的受力图：AB 绳子刚好拉紧前的瞬间，物体A的速度为：取竖直向上为正方向。 绳子拉紧后，经过短暂时间的作用，两物体速率相等，对两个物体分别应用动量定理，得到：忽略绳重，考虑到绳不可伸长，有：解得：当物体B上升速度为零时，达到最大高度1. 质心的概念和质心动量定义质心 C 的位矢为： 质心位置是质点位置以质量为权重的平均值。为便于研究质点系总体运动，引入质心概念。二、质点系的动量定理rcCmizri yx0由质心 C 的位矢： 质点系的动量可以看成一个“质点”的动

5、量，这个“质点”集中了质点系全部质量并以质心速度运动。rcCmizri yx0 2.质点系的动量定理 P 表示质点系在时刻 t 的动量一对内力推广：由两质点系统推广到n个质点系统。质点系动量定理:作用于系统合外力冲量等于系统动量的增量。(1) 只有外力可改变系统的总动量(2) 内力可改变系统内单个质点的动量说明：注意内力不改变质点系的动量初始速度推开后速度 且方向相反，也有推开前后系统动量不变 如果系统所受的外力之和为零（即 ），则系统的总动量保持不变。这个结论叫做动量守恒定律.条件定律时时=常量时直角坐标系下的分量形式三、 动量守恒定律3.自然界中不受外力的物体是没有的，但如果系统的内力外力

6、，可近似认为动量守恒。2.若合外力不为 0，但在某个方向上合外力分量为 0，这个方向上的动量守恒。1.对于一个质点系，若合外力为 0，系统的总动量保持不变，但系统内部的动量可以相互转移。明确几点碰撞、爆炸4.动量守恒意味着质心保持其匀速直线运动（或静止）的状态不变。例题2-3 如图所示,设炮车以仰角 发射一炮弹，炮车和炮弹的质量分别为M和m，炮弹的出口速度为v，求炮车的反冲速度V。炮车与地面间的摩擦力不计。解: 把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖直方向上的外力有重力 和地面支持力 ，而且 ，在发射过程中 并不成立（想一想为什么？），系统所受的外力矢量和不为零，所以这一系统的总动量不守恒。

7、vmM经分析，对地面参考系而言，炮弹相对地面的速度 ，按速度变换定理为它的水平分量为于是，炮弹在水平方向的动量为m(vcos -V)，而炮车在水平方向的动量为-MV。根据动量守恒定理有由此得炮车的反冲速度为 补充例题 质量为m1 和m2的两个小孩，在光滑水平冰面上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l。问他们将在何处相遇？解:把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向不受外力，此方向的动量守恒。 建立如图坐标系。以两个小孩的中点为原点，向右为x轴为正方向。设开始时质量为m1 的小孩坐标为x10,质量为m2的小孩坐标为x20，他们在任意时刻的速度分别v1为v2,相应坐标为x1和x2由运动学公式得Cm2m