2020年中考数学压轴题突破专题1 新定义材料阅读

1、2020年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练专题1新定义材料阅读类创新题【真题再现】1（2019年南京第27题）【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）|x1x2|+|y1y2|【数学理解】（1）已知点A（2，1），则d（O，A）函数y2x+4（0 x2）的图象如图所示，B是图象上一点，d（O，B）3，则点B的坐标是（2）函数y（x0）的图象如图所示求证：该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）

2、3（3）函数yx25x+7（x0）的图象如图所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标【问题解决】（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）12（2019年南通第28题）定义：若实数x，y满足x22y+t，y22x+t，且xy，t为常数，则称点M（x，y）为“线点”例如，点（0，2）和（2，0）是“线点”已知：在直角坐标系xOy中，点P（m，n）（1）P1（3，1）和P2（3，1）两点中，点是“线点”；（2）若点P是“线点

3、”，用含t的代数式表示mn，并求t的取值范围；（3）若点Q（n，m）是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A，B，当|POQAOB|30时，直接写出t的值3（2019年常州第26题）【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想【理解】（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；（2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数

4、，可得等式：n2；【运用】（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形当n3，m3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y7当n4，m2时，如图4，y；当n5，m时，y9；对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y（用含m、n的代数式表示）请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立4（2019年镇江第26题）【材料阅读】地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的O）人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺

5、的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角的大小是变化的【实际应用】观测点A在图1所示的O上，现在利用这个工具尺在点A处测得为31，在点A所在子午线往北的另一个观测点B，用同样的工具尺测得为67PQ是O的直径，2PQON（1）求POB的度数；（2）已知OP6400km，求这两个观测点之间的距离即O上的长（取3.1）5（2018年南京第27题）结果如此巧合!下面是小颖对一道题目的解答题目：如图，eqoac(,Rt)ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD3，BD4，求ABC的面积解：设ABC的内切圆分

6、别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x根据切线长定理，得AEAD3，BFBD4，CFCEx根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2（3+4）2整理，得x2+7x12所以eqoac(,S)ABCACBC（x+3）（x+4）（x2+7x+12）（12+12）12小颖发现12恰好就是34，即ABC的面积等于AD与BD的积这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下面的探索已知：ABC的内切圆与AB相切于点D，ADm，BDn可以一般化吗？（1）若Ceqoac(,90)，求证：ABC的面积等于mn3倒过来思考呢？（2）若ACBC2mn，求证C90改变一下条件（3）若C60，用m、n表示ABC的面积6（2018年

7、南通第28题）【定义】如图1，A，B为直线l同侧的两点，过点A作直线1的对称点A，连接AB交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”【运用】如图2，在平面直坐标系xOy中，已知A（2，），B（2，）两点（1）C（4，），D（4，），E（4，）三点中，点是点A，B关于直线x4的等角点；（2）若直线l垂直于x轴，点P（m，n）是点A，B关于直线l的等角点，其中m2，APB，求证：tan；（3）若点P是点A，B关于直线yax+b（a0）的等角点，且点P位于直线AB的右下方，当APB60时，求b的取值范围（直接写出结果）【专项突破】【题组一】1（2019鼓楼区一模）把一个函数图

8、象上每个点的纵坐标变为原来的倒数（原函数图象上纵坐标为0的点除外）、横坐标不变，可以得到另一个函数的图象，我们称这个过程为倒数变换4例如：如图，将yx的图象经过倒数变换后可得到y的图象特别地，因为yx图象上纵坐标为0的点是原点，所以该点不作变换，因此y的图象上也没有纵坐标为0的点（1）请在下面的平面直角坐标系中画出yx+1的图象和它经过倒数变换后的图象（2）观察上述图象，结合学过的关于函数图象与性质的知识，猜想：倒数变换得到的图象和原函数的图象之间可能有怎样的联系？写出两个即可说理：请简要解释你其中一个猜想（3）请画出函数y（c为常数）的大致图象（22019鼓楼区二模）提出问题：用一张等边三角

9、形纸片剪一个直角边长分别为2cm和3cm的直角三角形纸片，等边三角形纸片的边最小值是多少？探究思考：几位同学画出了以下情况，其中C90，BC2cm，ADE为等边三角形（1）同学们对图1，图2中的等边三角形展开了讨论：图一中AD的长度图中AD的长度（填“”，“”或“”）等边三角形ADE经过图形变化AD可以更小请描述图形变化的过程（2）有同学画出了图3，但老师指出这种情况不存在，请说明理由（3）在图4中画出边长最小的等边三角形，并写出它的边长经验运用：（4）用一张等边三角形纸片剪一个直角边长为1cm和3cm的直角三角形纸片，等边三角形纸片的边长最小是多少？画出示意图并写出这个最小值53（2019建

10、邺区一模）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”（1）如图，四边形ABCD内接于O，点E在CD的延长线上，且AEAD证明：四边形ABCE是“等对角四边形”（2）如图，在“等对角四边形”ABCD中，DABBCD53，B90，AB17，BC18，求CD的长（sin53，cos53，tan53）（3）如图，在RtACD中，ACD90，DAC30，CD4，若四边形ABCD是“等对角四边形”，且BD，则BD的最大值是（直接写出结果）【（4（2020河南一模）问题提出】在ABC中，ABACBC，点D和点A在直线BC的同侧，BDBC，BAC，DBC，且+120，连接AD，求ADB的度数不必解答

11、）【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当90，30时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造ABD的轴对称图形ABD，连接CD（如图2），然后利用90，30以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：DBC的形状是三角形；ADB的度数为【问题解决】在原问题中，当DBCABC（如图1）时，请计算ADB的度数；【拓展应用】在原问题中，过点A作直线AEBD，交直线BD于E，其他条件不变若BC7，AD2请直接写出线段BE的长为6【题组二】（52019溧水区一模）1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BCa，ABb填空：当点A位于时，线段AC的长取得

12、最大值，且最大值为（用含a，b的式子表示）（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC4，AB1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；直接写出线段BE长的最大值（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），点P为线段AB外一动点，且PA2，PMPB，BPM90，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标6（2019淮阴区一模）在解决数学问题时，我们常常从特殊入手，猜想结论，并尝试发现解决问题的策略与方法【问题提出】求证：如果一个定圆的内接四边形的对角线互相垂直，那

13、么这个四边形的对边的平方和是一个定值【从特殊入手】我们不妨设定圆O的半径是R，四边形ABCD是O的内接四边形，ACBD请你在图中补全特殊位置时的图形，并借助所画图形探究问题的结论【问题解决】已知：如图，定圆O的半径是R，四边形ABCD是O的内接四边形，ACBD求证：证明：77（2018秦淮区一模）【数学概念】若四边形ABCD的四条边满足ABCDADBC，则称四边形ABCD是和谐四边形【特例辨别】（1）下列四边形：平行四边形，矩形，菱形，正方形其中一定是和谐四边形的是【概念判定】（2）如图，过O外一点P引圆的两条切线PS、PT，切点分别为A、C，过点P作一条射线PM，分别交O于点B、D，连接AB

14、、BC、CD、DA求证：四边形ABCD是和谐四边形【知识应用】（3）如图，CD是O的直径，和谐四边形ABCD内接于O，且BCAD请直接写出AB与CD的关系8（2020丰台区模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PMQN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点（1）如图1，已知点A（0，3），B（2，3）设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值是，最大值是；在P1（），P2（1，4），P3（3，0）这三个点中，与点O是线段AB的一对平衡点的是（2）如图2，已知圆O的半径为1，点D的坐标为（5，0），若点E（x，2）在第一象限

15、，且点D与点E是圆O的一对平衡点，求x的取值范围8（3）如图3，已知点H（3，0），以点O为圆心，OH长为半径画弧交x轴的正半轴于点K，点C（a，b）（其中b0）是坐标平面内一个动点，且OC5，圆C是以点C为圆心，半径为2的圆，若弧HK上的任意两个点都是圆C的一对平衡点，直接写出b的取值范围【题组三】9（2019邗江区一模）【操作体验】如图，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得APB30，如图，小明的作图方法如下：第一步：分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AB上方交于点O；第二步：连接OA，OB；第三步：以O为圆心，OA长为半径作O，交l于P1，P2；所以图

16、中P1，P2即为所求的点（1）在图中，连接P1A，P1B，说明AP1B30；9【方法迁移】（2）如图，用直尺和圆规在矩形ABCD内作出所有的点P，使得BPC45，（不写做法，保留作图痕迹）【深入探究】（3）已知矩形ABCD，BC2ABm，P为AD边上的点，若满足BPC45的点P恰有两个，则m的取值范围为（4）已知矩形ABCD，AB3，BC2，P为矩形ABCD内一点，且BPC135，若点P绕点A逆时针旋转90到点Q，则PQ的最小值为（102019如皋市一模）定义：把函数y（m0）的图象叫做正值双曲线把函数y（m0）的图象叫做负值双曲线（1）请写出正值双曲线的两条性质；（2）如图，直线l经过点A（

17、1，0），与负值双曲线y（m0）交于点B（2，1）P是射线AB上的一点，过点P作x轴的平行线分别交该负值双曲线于M，N两点（点M在点N的左边）求直线l的解析式和m的值；是否存在点P，使得eqoac(,S)AMN4eqoac(,S)APM？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由11（2019通州区一模）平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点

18、矩形”，如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”矩形IJCH是点A，B，C的“最佳三点矩形”如图2，已知M（4，1），N（2，3），点P（m，n）nNP（1若m1，4，则点M，的“最佳三点矩形”的周长为，面积为；若m1，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；（2）若点P在直线y2x+4上求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；（3）若点P（m，n）在抛物线yax2+bx+c上，且当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为12时，2m1或1m3，直接写出抛物线的解析式1012（2

19、019顺义区一模）在平面直角坐标系xOy中，A、B为平面内不重合的两个点，若Q到A、B两点的距离相等，则称点Q是线段AB的“似中点”（1）已知A（1，0），B（3，2），在点C（1，3）、D（2，1）、E（4，2）、F（3，0）中，线段AB的“似中点”是点；（2）直线y与x轴交于点M，与y轴交于点N若点H是线段MN的“似中点”，且在坐标轴上，求H点的坐标；若P的半径为2，圆心P为（t，0），若P上存在线段MN的“似中点”，请直接写出t的取值范围【题组四】13（2019海门市一模）定义：在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形M，如果线段OP与图形M有公共点时，就称点P为关于图形M的“亲近点”已

20、知平面直角坐标系xOy中，点A（1，），B（5，），连接AB12P22P32（1）在P（1，），（3，），（5，）这三个点中，关于线段AB的“亲近点”是；（2）若线段CD上的所有点都是关于线段AB的“亲近点”，点C（t，）、D（t+6，），求实数t的取值范围；（3）若A与y轴相切，直线l：y过点B，点E是直线l上的动点，E半径为2，当E上所有点都是关于A的“亲近点”时，直接写出点E横坐标n的取值范11围14（2019海门市二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），B（2，4），连结AB若对于平面内一点P，线段AB上只要存在点Q，使得PQAB，则称点P是线段（2）若点P1，P2是线段A

21、B的“卫星点”点P1在点P2的左侧），且P1P21，P1P2xAB的“卫星点”（1）在点C（4，2），D（2，），E（，2）中，线段AB的“卫星点”是点；（轴，点F坐标为（0，2）若将eqoac(,P)1P2F的面积记为S，当S最大时，求点P1的坐标；直线FP1的解析式ymx+2（m0），直线FP2的解析式ynx+2（n0），求的取值范围15（2019朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），称d（P1，P2）|x1x2|+|y1y2|为P1、P2两点的直角距离（1）已知：点A（1，2），直接写出d（O，A）；（2）已知：B是直线yx+3上的一个

22、动点如图1，求d（O，B）的最小值；如图2，C是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求d（B，C）的最小值1216（2019建湖县二模）【操作发现】如图（1），在OAB和OCD中，OAOB，OCOD，AOBCOD45，连接AC，BD交于点MAC与BD之间的数量关系为；AMB的度数为；【类比探究】如图（2），在OAB和OCD中，AOBCOD90，OABOCD30，连接AC，交BD的延长线于点M请计算的值及AMB的度数；【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有30角的大小不同的直角三角板ABC、DCE组成的图形，其中ACBDCE90，AD30且D、E、B在同一直线上，CE1，BC，求点A、

23、D之间的距离【题组五】17（2018咸宁）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”理解：（1）如图1，已知eqoac(,Rt)ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD中，ABC80，ADC140，对角线BD平分ABC求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；，（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”EFHHFG30，连接eqoac(,EG)，若E

24、FG的面积为2，求FH的长1318（2019梁溪区一模）如图，已知矩形ABCD，AB4，BC5请用尺规作图画出符合要求的图形，并标注必要的字母及结论（保留作图痕迹，不要求写作法）（1）在图1的矩形ABCD中画出一个面积最大的菱形（2）我们通常把长与宽之比为：1的矩形称为标准矩形，请你在图2的矩形ABCD中画出一个面积最大的标准矩形19（2019东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P、Q两点为“等距点”，如图中的P、Q两点即为“等距点”（1）已知点A的坐标为（3，1）在点E（0，3）、F（3，3

25、）、G（2，5）中，点A的“等距点”是；若点B在直线yx+6上，且A、B两点为“等距点”，则点B的坐标为；（2）直线l：ykx3（k0）与x轴交于点C，与y轴交于点D若T1（1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两点，且T1、T2为“等距点”，求k的值；当k1时，半径为r的O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M、N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围14（202018南通三模）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线（eqoac(,1

26、)）如图，在ABC中，AD为角平分线，B50，C30，求证：AD为ABC的优美线（eqoac(,2)）在ABC中，B46，AD是ABC的优美线，且ABD是以AB为腰的等腰三角形，求BAC的度数（eqoac(,3)）在ABC中，AB4，AC2，AD是ABC的优美线，且ABD是等腰三角形，求优美线AD的长【题组六】21（2019常州二模）小韦同学十分崇拜科学家，立志成为有所发现、有所创造的人，他组建了三人探究小组，探究小组对以下问题有了发现：如图b，已知一次函数yx+1的图象分别与x轴和y轴相交于点E、F过一次函数yx+1的图象上的动点P作PBx轴，垂足是B，直线BP交反比例函数y的图象于点Q过点

27、Q作QCy轴，垂足是C，直线QC交一次函数yx+1的图象于点A当点P与点E重合时（如图a），POA的度数是一个确定的值请你加入该小组，继续探究：（1）当点P与点E重合时，POA；（2）当点P不与点E重合时，1）中的结论还成立吗？如果成立说明理由；如果不成立，说明理由并求出POA的度数15（222018溧水区一模）我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角（0180且90），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点，如图1，经过平面内一点P作坐标轴的平行线PM和PN，分别交x轴和y轴

28、于点M，N点M、N在x轴和y轴上所对应的数分别叫做P点的x坐标和y坐标，有序实数对（x，y）称为点P的斜坐标，记为P（x，y）（1）如图2，45，矩形OABC中的一边OA在x轴上，BC与y轴交于点D，OA2，OCl点A、B、C在此斜坐标系内的坐标分别为A，B，C设点P（x，y）在经过O、B两点的直线上，则y与x之间满足的关系为设点Q（x，y）在经过A、D两点的直线上，则y与x之间满足的关系为（2）若120，O为坐标原点如图3，圆M与y轴相切原点O，被x轴截得的弦长OA4，求圆M的半径及圆心M的斜坐标如图4，圆M的圆心斜坐标为M（2，2），若圆上恰有两个点到y轴的距离为1，则圆M的半径r的取值范

29、围是1623（2019常州一模）我们定义：有一组对角为直角的四边形叫做“对直角四边形”如图1，四边形ABCD中，AC90，则四边形ABCD是“对直角四边形”（1）“对角线相等的对直角四边形是矩形”是命题；（填“真”或“假”）（2）如图2，在对直角四边形ABCD中，DAB90，AD+CDAB+eqoac(,BC)试说明ADC的面积与ABC的面积相等；（3）如图eqoac(,3)，在ABC中，C90，AC6，BC8，过AB的中点D作射线DPAC，交BC于点O，BDP与ADP的角平分线分别交BC，AC于点E、F图中是“对直角四边形”的是；当OP的长是时，四边形DEPF为对直角四边形24（2019常州

30、模拟）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍”矩形如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“加倍”矩形解决问题：（1）当矩形的长和宽分别为3，2时，它是否存在“加倍”矩形？若存在，求出“加倍”矩形的长与宽，若不存在，请说明理由（2）边长为a的正方形存在“加倍”正方形吗？请做出判断，并说明理由【真题再现】1（2019年南京第27题）【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和

31、B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）|x1x2|+|y1y2|17【数学理解】（1）已知点A（2，1），则d（O，A）3函数y2x+4（0 x2）的图象如图所示，B是图象上一点，d（O，B）3，则点B的坐标是（1，2）（2）函数y（x0）的图象如图所示求证：该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）3（3）函数yx25x+7（x0）的图象如图所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标【问题解决】（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐

32、标系，画出示意图并简要说明理由）【分析】（1）根据定义可求出d（O，A）|0+2|+|01|2+13；由两点间距离：d（A，B）|x1x2|+|y1y2|及点B是函数y2x+4的图象上的一点，可得出方程组，解方程组即可求出点B的坐标；（2）由条件知x0，根据题意得，整理得x23x+4eqoac(,0)，由0可证得该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）3（3）根据条件可得|x|+|x25x+7|，去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值；（4）以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数yx的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E，过点E作EH

33、MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处，可由d（O，P）d（O，E）证明结论即可【解析】（1）由题意得：d（O，A）|0+2|+|01|2+13；设B（x，y），由定义两点间的距离可得：|0 x|+|0y|3，0 x2，x+y3，解得：，B（1，2），故答案为：3，（1，2）；（2）假设函数根据题意，得的图象上存在点C（x，y）使d（O，C）3，x0，18，x2+43x，x23x+40，eqoac(,b)24ac70，方程x23x+40没有实数根，该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）3（3）设D（x，y），根据题意得，d（O，D）|x0|+|x25x+7

34、0|x|+|x25x+7|，又x0，d（O，D）|x|+|x25x+7|x+x25x+7x24x+7（x2）2+3，当x2时，d（O，D）有最小值3，此时点D的坐标是（2，1）（4）如图，以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数yx的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E，过点E作EHMN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处理由：设过点E的直线l1与x轴相交于点F在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点P作直线l2l1，l2与x轴相交于点GEFH45，EHHF，d（O，E）OH+EHOF，同理d（O，P）O

35、G，OGOF，d（O，P）d（O，E），上述方案修建的道路最短点睛：考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有新定义，解方程（组）二次函数的性质等2（2019年南通第28题）定义：若实数x，y满足x22y+t，y22x+t，且xy，t为常数，则称点M（x，y）为“线点”例如，点（0，2）和（2，0）是“线点”已知：在直角坐标系xOy中，点P（m，n）（1）P1（3，1）和P2（3，1）两点中，点P2是“线点”；（2）若点P是“线点”，用含t的代数式表示mn，并求t的取值范围；（3）若点Q（n，m）是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A，B，当|POQAOB|30时，直接写出t的值19【分析】（

36、1）若x，y满足x2+2yt，y2+2xt且xy，t为常数，则称点M为“线点”，由新定义即可得出结论；（2）由新定义得出m2+2nt，n2+2mt，得出m2+2nn22m0，m2+2n+n2+2m2t，分解因式得出（mn）（m+n2）0，得出m+n2，mn4t，由完全平方公式得出（m+n）24mn0，得出mn1，即可得出结果；（eqoac(,3)）证出AOB是等腰直角三角形，求出POQ120或60，得出P、Q两点关于yx对称，再分两种情况讨论，求出t的值即可【解析】（1）当M点（x，y），若x，y满足x22yt，y22xt且xy，t为常数，则称点M为“线点”，又P1（3，1），则32217，（

37、1）2235，75，点P1不是线点；P2（3，1），则（3）2217，122（3）7，77，点P2是线点，故答案为：P2；（2）点P（m，n）为“线点”，则m22nt，n22mt，m22nn2+2m0，m22n+n22m2t，（mn）（m+n+2）0，mn，m+n+20，m+n2，m22n+n22m2t，（m+n）22mn2（m+n）2t，即：（2）22mn+222t，mn4t，mn，（mn）20，m22mn+n20，（m+n）24mn0，（2）24mn0，mn1，mn4t，t3；（3）设PQ直线的解析式为：ykx+b，则，解得：k1，直线PQ分别交x轴，y轴于点A、B，AOB90，AOB是等

38、腰直角三角形，|AOBPOQ|30，POQ120或60，P（m，n），Q（n，m），P、Q两点关于yx对称，若POQ120时，如图1所示：作PCx轴于C，QDy轴于D，作直线MNAB20P、Q两点关于yx对称，PONQONPOQ60，AOB是等腰直角三角形，AONBON45，POCQOD15，在OC上截取OTPT，则TPOTOP15，CTP30，PT2PC2n，TCn，mn+2n，由（2）知，m+n2，解得：m1，n1，由（2）知：mn4t，t3，（1）（1）4t，解得：t6，若POQ60时，如图2所示，作PDx轴于D，QCy轴于C，作直线MNABP、Q两点关于yx对称，PONQONPOQ30

39、，AOB是等腰直角三角形，AONBON45，PODQOC15，在OD上截取OTPT，则TPOTOP15，DTP30，PT2PD2n，TDn，mn2n，由（2）知，m+n2，21解得m1，n1，由（2）知：mn4t，t3，（1解得：t）（1，）4t，综上所述，t的值为：6或、点睛：本题是三角形综合题目，考查了新定义“线点”轴对称图形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、坐标与图形性质、待定系数法求直线的解析式、因式分解、完全平方公式、三角函数以及分类讨论等知识；本题综合性强，有一定难度3（2019年常州第26题）【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法

40、计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想【理解】（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；（2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n21+3+5+7+2n1；【运用】（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形当n3，m3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y7当n4，m2时，如图4，y6；当n

41、5，m3时，y9；对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得yn+2（m1）（用含m、n的代数式表示）请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立【分析】（1）此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理（2）由图可知n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2，每层棋子分别为1，3，5，7，2n1故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答（3）根据探画出图形究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，即可得出结论【解析】（1）有三个eqoac(,Rt)其面积分别为ab，ab和c2直角梯形的面积为（a+b）（a+b）由图形可

42、知：（a+b）（a+b）ababc2整理得（a+b）22ab+c2，a2+b2+2ab2ab+c2，a2+b2c222故结论为：直角长分别为a、b斜边为c的直角三角形中a2+b2c2（2）n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2，每层棋子分别为1，3，5，7，2n1由图形可知：n21+3+5+7+2n1故答案为1+3+5+7+2n1（3）如图4，当n4，m2时，y6，如图5，当n5，m3时，y9算法y个三角形，共3y条边，其中n边形的每边都只使用一次，其他边都各使用两次，所以n边形内部共有（3yn）2条线段；算法n边形内部有1个点时，其内部共有n条线段，共分成n个三角形，每增加一个点，都必在

43、某个小三角形内，从而增加3条线段，所以n边形内部有m个点时，其内部共有n+3（m1）条线段，由（3yn）2n+3（m1）化简得：yn+2（m1）故答案为：6，3；n+2（m1）点睛：本题考查了图形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关键4（2019年镇江第26题）【材料阅读】地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的O）人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的

44、夹角的大小是变化的【实际应用】观测点A在图1所示的O上，现在利用这个工具尺在点A处测得为31，在点A所在子午线往北的另一个观测点B，用同样的工具尺测得为67PQ是O的直径，PQON（1）求POB的度数；（2）已知OP6400km，求这两个观测点之间的距离即O上的长（取3.1）23【分析】（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HDBC于D，CHBH交BC于点C，则DHC67，证出HBDDHC67，由平行线的性质得出BEOHBD67，由直角三角形的性质得出BOE23，得出POB902367；（2）同（1）可证POA31，求出AOBPOBPOA36，由弧长公式即可得出结果【解析】（1）设点B的切

45、线CB交ON延长线于点E，HDBC于D，CHBH交BC于点C，如图所示：则DHC67，HBD+BHDBHD+DHC90，HBDDHC67，ONBH，BEOHBD67，BOE906723，PQON，POE90，POB902367；（2）同（1）可证POA31，AOBPOBPOA673136，3968（km）24点睛：本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、弧长公式等知识；熟练掌握切线的性质和弧长公式是解题的关键5（2018年南京第27题）结果如此巧合!下面是小颖对一道题目的解答题目：如图，eqoac(,Rt)ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD3，BD4，求ABC的面积解：设ABC的内切圆分

46、别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x根据切线长定理，得AEAD3，BFBD4，CFCEx根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2（3+4）2整理，得x2+7x12所以eqoac(,S)ABCACBC（x+3）（x+4）（x2+7x+12）（12+12）12小颖发现12恰好就是34，即ABC的面积等于AD与BD的积这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下面的探索已知：ABC的内切圆与AB相切于点D，ADm，BDn可以一般化吗？（1）若Ceqoac(,90)，求证：ABC的面积等于mn倒过来思考呢？（2）若ACBC2mn，求证C90改变一下条件（3）若C60，用m、n表示ABC的面积25（【分析】1

47、）由切线长知AEADm、BFBDn、CFCEx，根据勾股定理得（x+m）2+（x+n）2（m+n）2，即x2+（m+n）xmn，再利用三角形的面积公式计算可得；（2）由由ACBC2mn得（x+m）（x+n）2mn，即x2+（m+n）xmn，再利用勾股定理逆定理求证即可；（3）作AGBC，由三角函数得AGACsin60（x+m），CGACcos60（x+m）、BGBCCG（x+n）（x+m），在eqoac(,Rt)ABG中，根据勾股定理可得x2+（m+n）x3mn，最后利用三角形的面积公式计算可得【解析】设ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，根据切线长定理，得：AEADm

48、、BFBDn、CFCEx，（1）如图1，在eqoac(,Rt)ABC中，根据勾股定理，得：（x+m）2+（x+n）2（m+n）2，整理，得：x2+（m+n）xmn，所以eqoac(,S)ABCACBC（x+m）（x+n）x2+（m+n）x+mn（mn+mn）mn，（2）由ACBC2mn，得：（x+m）（x+n）2mn，整理，得：x2+（m+n）xmn，AC2+BC2（x+m）2+（x+n）22x2+（m+n）x+m2+n22mn+m2+n2（m+n）226AB2，根据勾股定理逆定理可得C90；（3）如图2，过点A作AGBC于点G，在eqoac(,Rt)ACG中，AGACsin60（x+m），C

49、GACcos60（x+m），BGBCCG（x+n）（x+m），在eqoac(,Rt)ABG中，根据勾股定理可得：整理，得：x2+（m+n）x3mn，eqoac(,S)ABCBCAG（x+m）2+（x+n）（x+m）2（m+n）2，（x+n）（x+m）x2+（m+n）x+mn（3mn+mn）mn点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握切线长定理的运用、三角函数的应用及勾股定理及其逆定理等知识点6（2018年南通第28题）【定义】如图1，A，B为直线l同侧的两点，过点A作直线1的对称点A，连接AB交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”【运用】如图2，在平面直坐标

50、系xOy中，已知A（2，），B（2，）两点（1）C（4，），D（4，），E（4，）三点中，点是点A，B关于直线x4的等角点；（2）若直线l垂直于x轴，点P（m，n）是点A，B关于直线l的等角点，其中m2，APB，求证：tan；（3）若点P是点A，B关于直线yax+b（a0）的等角点，且点P位于直线AB的右下方，当APB60时，求b的取值范围（直接写出结果）27【分析】（1）求B点的对称点B，连AB，求直线AB解析式，得到与直线x4的交点即可；（2）由对称性证明AGPBHP，求A度数，利用锐角三角形函数定义求正切值即可；（3）构造以AB为弦，所对圆周角为60，且圆心在AB下方的圆，点P为圆上的点

51、，利用P点为直线yax+b的等角点分情况讨论直线yax+b（a0）与圆相交、相切的情况【解析】（1）点B关于直线x4的对称点为B（10，），直线AB解析式为：y，当x4时，y故答案为：C；（2）如图，过点A作直线l的对称点A，连AB，交直线l于点P作BHl于点H点A和A关于直线l对称，APGAPG，BPHAPG，APGBPH，又AGPBHP90，AGPBHP，mn2，即，即m，APB，APAP，AA，在eqoac(,Rt)AGP中，tan；（3）点P位于直线AB的右下方，APB60时，点P在以AB为弦，所对圆周角为60，且圆心在AB下方，如图若直线yax+b（a0）与圆相交，设圆与直线yax+

52、b（a0）的另一个交点为Q由对称性可知：APQAPQ，又APB60，APQAPQ60，ABQAPQ60，AQBAPB60，BAQ60AQBABQ，ABQ是等边三角形28线段AB为定线段，点Q为定点若直线yax+b（a0）与圆相切，易得P、Q重合，直线yax+b（a0）过定点Q连OQ，过点A、Q分别作AMy轴，QNy轴，垂足分别为M、NA（2，），B（2，），OAOBABQ是等边三角形，AOQBOQ90，OQ，AOM+NOQ90，又AOM+MAO90，NOQMAO，AMOONQ90，AMOONQ，ON2，NQ3，Q点坐标为（3，2）设直线BQ解析式为ykx+b，将B、Q坐标代入得，解得，直线BQ

53、的解析式为：y设直线AQ的解析式为：ymx+n，将A、Q两点代入得，解得，直线AQ的解析式为：y3若点P与B点重合，则直线PQ与直线BQ重合，此时，b若点P与点A重合，则直线PQ与直线AQ重合，此时，b7又yax+b（a0），且点P位于AB右下方，b且b2或b；29点睛：本题为代数几何综合题，综合考查了一次函数、圆以及锐角三角函数的相关知识，解答关键是数形结合【专项突破】【题组一】1（2019鼓楼区一模）把一个函数图象上每个点的纵坐标变为原来的倒数（原函数图象上纵坐标为0的点除外）、横坐标不变，可以得到另一个函数的图象，我们称这个过程为倒数变换例如：如图，将yx的图象经过倒数变换后可得到y的图

54、象特别地，因为yx图象上纵坐标为0的点是原点，所以该点不作变换，因此y的图象上也没有纵坐标为0的点（1）请在下面的平面直角坐标系中画出yx+1的图象和它经过倒数变换后的图象（2）观察上述图象，结合学过的关于函数图象与性质的知识，猜想：倒数变换得到的图象和原函数的图象之间可能有怎样的联系？写出两个即可说理：请简要解释你其中一个猜想（3）请画出函数y【分析】（1）画出y（c为常数）的大致图象的图象；（2）猜想一：倒数变换得到的图象和原函数的图象之间如果存在交点，则其纵坐标为1或1；猜想二：倒数变换得到的图象和原函数的图象的对称性相同，比如原函数是轴对称图形，则倒数变换的图象也是轴对称图象；（3）分

55、三种情况画图：c0c0c0；（【解析】1）在平面直角坐标系中画出yx+1的图象和它经过倒数变换后的图象如图：图中去掉（1，0）的点（2）猜想一：倒数变换得到的图象和原函数的图象之间如果存在交点，则其纵坐标为301或1；猜想二：倒数变换得到的图象和原函数的图象的对称性相同，比如原函数是轴对称图形，则倒数变换的图象也是轴对称图象；猜想一：因为只有1和1的倒数是其本身，所以如果原函数存在一个点的纵坐标为1或1，那么倒数变换得到的图象上必然也存在这样对应的纵坐标为1或1，即两个函数图象的交点（3）当c0时，当c0时，当c0时，31（22019鼓楼区二模）提出问题：用一张等边三角形纸片剪一个直角边长分别

56、为2cm和3cm的直角三角形纸片，等边三角形纸片的边最小值是多少？探究思考：几位同学画出了以下情况，其中C90，BC2cm，ADE为等边三角形（1）同学们对图1，图2中的等边三角形展开了讨论：图一中AD的长度图中AD的长度（填“”，“”或“”）等边三角形ADE经过图形变化AD可以更小请描述图形变化的过程（2）有同学画出了图3，但老师指出这种情况不存在，请说明理由（3）在图4中画出边长最小的等边三角形，并写出它的边长经验运用：（4）用一张等边三角形纸片剪一个直角边长为1cm和3cm的直角三角形纸片，等边三角形纸片的边长最小是多少？画出示意图并写出这个最小值【分析】（1）图1和图2中分别作高线AG

57、和AH，根据AG和AH的大小决定结论，由AB相等，所以根据BGBH可知：AGAH，可得结论；画图进行说明即可；（2）计算DC的长，可知：BCDC，所以图3这种情况不存在；（3）当D与B重合时，AD最小，如图4，此时ADAB；（4）首先考虑特殊的情况：AC高线AH时，如图6，ACAH时，如图7，C在边DE上，ACAH时，如图8，综上，可以得到当AB与AD共线时，AD是最小的，计算此时的值即可【解析】（1）在图1和图2中分别过A向DE作垂线AG和AH，32eqoac(,Rt)ACB中，BC2，AC3，AB，由图1和图2可知：BHBG，AGAH，ADE为等边三角形，D60，sin60，图一中AD的长

58、度图中AD的长度，故答案为：；如图eqoac(,5)，将ADE绕点A被逆时针方向旋转一定的角度，再以A为位似中心，将ADE缩小，使得点B再次落在边DE上；（2）如图3，ADAE，ACDE，DAE60，DACDAE30，在eqoac(,Rt)DAC中，tanDAC，33即tan30，DC，BC2，BCDC，而这与题意矛盾，所以图3这种情况不存在；（3）当D与B重合时，AD最小，如图4，此时ADAB；则它的边长是cm；（eqoac(,4)）作等边ADE的高AH，AHsin60AD，当AD最小时，AH最小，考虑以下三种情况：当AC是等边ADE的高时，如图6，如图7，C在边DE上，此时ACAH，如图8

59、，B在边DE上，此时AHAC，34所以在图7中，AD越往右偏，则AH越小，综上，可以得到当AB与AD共线时，AD是最小的，如图9，AB与AD共线时，AD最小，过C作CFAB于F，eqoac(,Rt)ACB中，AC3，BC1，AB，eqoac(,S)ABC，CFCF13，AF，eqoac(,Rt)DFC中，tan60，DF，ADAF+DF，答：等边三角形纸片的边长最小值是（）cm3（2019建邺区一模）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”（1）如图，四边形ABCD内接于O，点E在CD的延长线上，且AEAD证明：四边形ABCE是“等对角四边形”（2）如图，在“等对角四边形”ABCD

60、中，DABBCD53，B90，AB17，BC18，求CD的长（sin53，cos53，tan53）（3）如图，在RtACD中，ACD90，DAC30，CD4，若四边形ABCD是“等对角四边形”，且BD，则BD的最大值是4（直接写出结果）【分析】（1）证明BE，即可证明四边形ABCE是“等对角四边形”；（2）过点D作DEAB于点E，DFBC于点F，先证明四边形EBFD为矩形，于是35BEDF，BFDE，在eqoac(,Rt)CDF中，tanFCDtan53，可设DF4x，CF3x，则CD5x则BEDF4x，DEBF183x，AE174x，在eqoac(,Rt)ADE中，A53，tanA，于是3D