全国各地中考数学压轴题汇编几何综合

1、全国各地中考数学压轴题汇编几何综合参考答案与试题解析一解答题（共 18 小题）1（2018无锡）如图，四边形 ABCD 内接于O，AB=17，CD=10，A=90，cosB= ， 求 AD 的长解：四边形 ABCD 内接于O，A=90，C=180A=90，ABC+ADC=180作 AEBC 于 E，DF AE 于 F，则 CDFE 是矩形，EF=CD=10在 RtAEB 中，AEB=90，AB=17，cosABC= ，BE=ABcosABE=，AE=，AF=AEEF=10=ABC+ADC=180，CDF=90， ABC+ADF=90，cosABC= ，sinADF=cosABC= 在 RtAD

2、F 中，AFD=90，sinADF= ，AD= = =62（2018 南京）如图，在四边形 ABCD 中，BC=CD，C=2BADO 是四边形 ABCD 内一点，且 OA=OB=OD求证：BOD=C；四边形 OBCD 是菱形证明：（1）延长 OA 到 E，OA=OB，ABO=BAO，又BOE=ABO+BAO，BOE=2BAO，同理DOE=2DAO，BOE+DOE=2BAO+2DAO=2（BAO+DAO） 即BOD=2BAD，又C=2BAD，BOD=C；（2）连接 OC，OB=OD，CB=CD，OC=OC，OBCODC，BOC=DOC ，BCO=DCO，BOD=BOC+DOC，BCD=BCO+D

3、CO，BOC= BOD，BCO= BCD，又BOD=BCD，BOC=BCO，BO=BC，又 OB=OD，BC=CD，OB=BC=CD=DO，四边形 OBCD 是菱形3（2018 淮安）如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，切点为 A，BC 交O 于 点 D，点 E 是 AC 的中点试判断直线 DE 与O 的位置关系，并说明理由；若O 的半径为 2，B=50，AC=4.8，求图中阴影部分的面积解：（1）直线 DE 与O 相切理由如下： 连接 OE、OD，如图，AC 是O 的切线，ABAC，OAC=90，点 E 是 AC 的中点，O 点为 AB 的中点， OEBC，1=B，2=3，OB=O

4、D，B=3，1=2，在AOE 和DOE 中，AOEDOE，ODE=OAE=90，OAAE，DE 为O 的切线；（2）点 E 是 AC 的中点，AE= AC=2.4，AOD=2B=250 =100，图中阴影部分的面积=2 22.4=4.84（2018连云港）如图，矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，延长 CE，BA 交于点 F， 连接 AC，DF求证：四边形 ACDF 是平行四边形；当 CF 平分BCD 时，写出 BC 与 CD 的数量关系，并说明理由解：（1）四边形 ABCD 是矩形， ABCD，FAE=CDE，E 是 AD 的中点，AE=DE，又FEA=CED，FAECDE，CD=FA

5、，又CDAF，四边形 ACDF 是平行四边形； （2）BC=2CD证明：CF 平分BCD， DCE=45，CDE=90，CDE 是等腰直角三角形， CD=DE，E 是 AD 的中点，AD=2CD，AD=BC，BC=2CD5（2018 南京）如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，连接 DE过点 A 作 AF DE，垂足为 F，O 经过点 C、D、F，与 AD 相交于点 G求证：AFGDFC；若正方形 ABCD 的边长为 4，AE=1，求O 的半径（1）证明：在正方形 ABCD 中，ADC=90， CDF+ADF=90，AFDE，AFD=90，DAF +ADF=90，DAF= CDF

6、 ，四边形 GFCD 是O 的内接四边形， FCD +DGF=180，FGA +DGF=180，FGA= FCD ，AFG DFC （2）解：如图，连接 CG EAD= AFD=90，EDA= ADF ， EDA ADF ， = ，即 = ，AFG DFC ，=，在正方形 ABCD中，DA=DC ，AG=EA=1 ，DG=DA AG=4 1=3 ，CG=5 ，CDG=90 ， CG 是O 的直径，O 的半径为 6（2018 无锡）如图，矩形 ABCD中，AB=m ，BC=n ，将此矩形绕点 B 顺时针方向旋转 （090）得到矩形 A BC D ，点 A 在边 CD 上1 1 1 1（1）若 m

7、=2，n=1，求在旋转过程中，点 D 到点 D 所经过路径的长度；1（2）将矩形 A BC D 继续绕点 B 顺时针方向旋转得到矩形 A BC D ，点 D 在 BC 的延1 1 1 2 2 2 2长线上，设边 A B 与 CD 交于点 E，若2=1，求 的值解：（1）作 A HAB 于 H，连接 BD，BD ，则四边形 ADA H 是矩形1 1 1AD=HA =n=1，1在 Rteq oac(,A)eq oac(, )HB 中，BA =BA=m=2， 1 1BA =2HA ，1 1ABA =30，1旋转角为 30，BD= =D 到点 D 所经过路径的长度= 1（2）BCEBA D ，2 2=

8、 = ，CE=1=，2 24 2 2 4AC=，BH=AC=，m n =6，m m n =6n ，1=6， =（负根已经舍弃）7（2018泰州）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，ABC 的平分线交O 于 点 D，DEBC 于点 E （1）试判断 DE 与O 的位置关系，并说明理由；（2）过点 D 作 DFAB 于点 F，若 BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积解：（1）DE 与O 相切，理由：连接 DO，DO=BO，ODB=OBD，ABC 的平分线交O 于点 D，EBD=DBO，EBD=BDO，DOBE，DEBC，DEB=EDO=90，DE 与O 相切；（2）ABC 的平分线交O

9、 于点 D，DEBE，DFAB， DE=DF=3，BE=3，BD=6，sinDBF= = ，DBA=30，DOF=60，sin60=DO=2则 FO=，=，故图中阴影部分的面积为： 3=2 8（2018扬州）如图，在平行四边形 ABCD 中，DB=DA，点 F 是 AB 的中点，连接 DF 并延长，交 CB 的延长线于点 E，连接 AE（1）求证：四边形 AEBD 是菱形；（2）若 DC=，tanDCB=3，求菱形 AEBD 的面积（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADCE，DAF=EBF，AFD=EFB，AF=FB，AFDBFE，AD=EB，ADEB，四边形 AEBD 是平行四边

10、形，AEBDBD=AD，四边形 AEBD 是菱形（2）解：四边形 ABCD 是平行四边形，CD=AB=，ABCD ，ABE=DCB，tanABE=tanDCB=3， 四边形 AEBD 是菱形， ABDE，AF=FB，EF=DF，tanABE=3，BF=EF=DE=3，S菱形= ABDE=3=159（2018宿迁）如图，AB、AC 分别是O 的直径和弦，ODAC 于点 D过点 A 作 O 的切线与OD 的延长线交于点 P，PC、AB 的延长线交于点 F求证：PC 是O 的切线；若ABC=60，AB=10，求线段 CF 的长解：（1）连接 OC，ODAC，OD 经过圆心 O， AD=CD，PA=P

11、C，在OAP 和OCP 中， ，OAPOCP（SSS）， OCP=OAPPA 是半O 的切线， OAP=90OCP=90，即 OCPCPC 是O 的切线（2）OB=OC，OBC=60， OBC 是等边三角形， COB=60，AB=10，OC=5，由（1）知OCF=90，CF=OCtanCOB=510（2018淮安）如果三角形的两个内角 与 满足 2+=90，那么我们称这样的三角 形为“准互余三角形”（1）若ABC 是“准互余三角形”，C90，A=60，则B= 15；（2）如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=4，BC=5若 AD 是BAC 的平分线，不难证明ABD 是“准互余三角形”试

12、问在边 BC 上是否存在点 E （异于点 D），使得 ABE 也是“准互余三角形”？若存在，请求出 BE 的长；若不存在，请说明理由 （3）如图，在四边形 ABCD 中，AB=7，CD=12，BDCD，ABD=2BCD，且 ABC 是“准互余三角形” ，求对角线 AC 的长解：（1）ABC 是“准互余三角形”，C90，A=60， 2B+A=60，解得，B=15，故答案为：15；（2）如图中，在 RtABC 中，B+BAC=90，BAC=2BAD， B+2BAD=90，ABD 是“准互余三角形”，ABE 也是“准互余三角形”，只有 2A+BAE=90，A+BAE+EAC=90，CAE=B，C=C

13、=90，CAECBA，可得 CA2=CECB，CE=，BE=5= 222（3）如图中，将BCD 沿 BC 翻折得到BCFCF=CD=12，BCF=BCD，CBF=CBD ， ABD=2BCD，BCD+CBD=90， ABD+DBC+CBF=180，A、B、F 共线，A+ACF=902ACB+CAB90，只有 2BAC+ACB=90，FCB=FAC，F=F，FCBFAC，CF=FBFA，设 FB=x，则有：x （x+7）=12 ， x=9 或16（舍弃）， AF=7+9=16 ，在 RtACF 中，AC= =2011（2018盐城）如图，在以线段 AB 为直径的O 上取一点 C，连接 AC、BC

14、将 ABC 沿 AB 翻折后得到ABD试说明点 D 在O 上；在线段 AD 的延长线上取一点 E，使 AB =ACAE求证：BE 为O 的切线； （3）在（2）的条件下，分别延长线段 AE、CB 相交于点 F，若 BC=2，AC=4，求线段 EF 的长22解：（1）AB 为O 的直径， C=90，将ABC 沿 AB 翻折后得到ABD， ABCABD，ADB=C=90，点 D 在以 AB 为直径的O 上； （2）ABCABD，AC=AD，AB =ACAE，AB=ADAE，即=，BAD=EAB，ABDAEB，ABE=ADB=90，AB 为O 的直径，BE 是O 的切线；（3）AD=AC=4、BD=

15、BC=2，ADB=90，AB= =2，=，=，解得：DE=1，BE= =，四边形 ACBD 内接于O，FBD=FAC，即FBE+DBE=BAE+BAC， 又DBE+ABD=BAE+ABD=90，DBE=BAE，2 2 222FBE=BAC， 又BAC=BAD， FBE=BAD， FBEFAB，=，即= = ，FB=2FE，在 RtACF 中，AF =AC +CF ，（5+EF）2=4+（2+2EF）2，整理，得：3EF 2EF5=0，解得：EF=1（舍）或 EF= ，EF= 12（2018 扬州）如图，在ABC 中，AB=AC ，AOBC 于点 O，OEAB 于点 E， 以点 O 为圆心，OE

16、 为半径作半圆，交 AO 于点 F求证：AC 是O 的切线；若点 F 是 A 的中点，OE=3，求图中阴影部分的面积；在（2）的条件下，点 P 是 BC 边上的动点，当 PE+PF 取最小值时，直接写出 BP 的长（1）证明：作 OHAC 于 H，如图， AB=AC，AOBC 于点 O， AO 平分BAC，OEAB，OHAC ，OH=OE，AC 是O 的切线；（2）解：点 F 是 AO 的中点，AO=2OF=3，而 OE=3，OAE=30，AOE=60，AE= OE=3，图中阴影部分的面积=SSAOE扇形= 33 EOF=；（3）解：作 F 点关于 BC 的对称点 F，连接 EF交 BC 于

17、P，如图， PF=PF，PE+PF=PE+PF=EF OF=OF=OE，此时 EP+FP 最小，F=OEF，而AOE=F+OEF=60， F=30，F=EAF ，EF=EA=3， 即 PE+PF 最小值为 3在 RtOPF中，OP=在 RtABO 中，OB=，OF=OA=，6=2，BP=2=，即当 PE+PF 取最小值时，BP 的长为 13（2018南京）结果如此巧合! 下面是小颖对一道题目的解答22222题目：如图，RtABC 的内切圆与斜边 AB 相切于点 D，AD=3，BD=4， 求ABC 的面积解：设ABC 的内切圆分别与 AC、BC 相切于点 E、F，CE 的长为 x 根据切线长定理

18、，得 AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x根据勾股定理，得（x +3） +（x +4） =（3+4） 整理，得 x +7x=12所以 S= ACBCABC= （x +3）（x+4）= （x +7x+12）= （12+12）=12小颖发现 12 恰好就是 34，即ABC 的面积等于 AD 与 BD 的积这仅仅是巧合吗？ 请你帮她完成下面的探索已知：ABC 的内切圆与 AB 相切于点 D，AD=m，BD=n可以一般化吗？（1）若C=90，求证：ABC 的面积等于 mn倒过来思考呢？（2）若 ACBC=2mn，求证C=90改变一下条件（3）若C=60，用 m、n 表示ABC 的面积解：设A

19、BC 的内切圆分别与 AC、BC 相切于点 E、F，CE 的长为 x ， 根据切线长定理，得：AE=AD=m、BF=BD=n、CF=CE=x，（1）如图 1，222222 2222 22在 RtABC 中，根据勾股定理，得：（x +m） +（x+n） =（m+n） ， 整理，得：x +（m+n）x=mn，所以 S= ACBCABC= （x +m）（x+n）=x2+（m+n）x+mn= （mn+mn）=mn，（2）由 ACBC=2mn，得：（x +m）（x+n）=2mn， 整理，得：x +（m+n）x=mn，AC +BC =（x+m） +（x +n）=2x2+（m+n）x+m2+n2=2mn+m

20、 +n=（m+n）2=AB ，根据勾股定理逆定理可得C=90； （3）如图 2，过点 A 作 AGBC 于点 G，在 RtACG 中，AG=ACsin60=（x +m），CG=ACcos60= （x +m），BG=BCCG=（x +n） （x +m），2222在 RtABG 中，根据勾股定理可得：（x +m） +（x +n） （x +m） =（m+n）2，整理，得：x +（m+n）x=3mn，S= BCAGABC= （x +n）（x +m）=x +（m+n）x +mn（3mn+mn） mn14（2018盐城）【发现】如图，已知等边ABC，将直角三角板的 60角顶点 D 任 意放在 BC 边上（

21、点 D 不与点 B、C 重合），使两边分别交线段 AB、AC 于点 E、F（1）若 AB=6，AE=4，BD=2，则 CF= 4；（2）求证：EBDDCF【思考】若将图中的三角板的顶点 D 在 BC 边上移动，保持三角板与边 AB、AC 的两 个交点 E、F 都存在，连接 EF，如图所示，问：点 D 是否存在某一位置，使 ED 平分BEF 且 FD 平分CFE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【探索】如图，在等腰ABC 中，AB=AC，点 O 为 BC 边的中点，将三角形透明纸 板的一个顶点放在点 O 处（其中MON=B），使两条边分别交边 AB、AC 于点 E、F （点 E、F 均不与

22、ABC 的顶点重合），连接 EF设B=，则AEF 与ABC 的周长 之比为 1cos （用含 的表达式表示）（1）解：ABC 是等边三角形， AB=BC=AC=6，B=C=60 AE=4，BE=2，则 BE=BD，BDE 是等边三角形，BED=60，又EDF=60，CDF=180EDFB=60， 则CDF=C=60，CDF 是等边三角形，CF=CD=BC=BD=62=4 故答案是：4；（2）证明：如图，EDF=60，B=60，CDF+BDE=120，BED+BDE=120， BED=CDF又B=C=60，EBDDCF；【思考】存在，如图，过 D 作 DMBE，DGEF，DNCF，垂足分别是 M

23、、G、N， ED 平分BEF 且 FD 平分CFE2DM=DG=DN又B=C=60，BMD=CND=90， BDMCDN，BD=CD，即点 D 是 BC 的中点，= ；【探索】如图，连接 AO，作 OGBE，ODEF，OHCF，垂足分别是 G、D、H 则BGO=CHO=90，AB=AC，O 是 BC 的中点，B=C，OB=OC ，OBGOCH，OG=OH，GB=CH，BOG=COH=90，则GOH=180（BOG+COH）=2，EOF=B=则GOH=2EOF=2 由（2）题可猜想应用 EF=ED+DF=GE+FH（可通过半角旋转证明），则 CAE+EF+AF=AE+EG+FH+AF=AG+AH

24、=2AG， AEF设 AB=m，则 OB=mcos ，GB=mcos = = = =1cos 故答案是：1cos15（2018 扬州）问题呈现如图 1，在边长为 1 的正方形网格中，连接格点 D，N 和 E，C，DN 和 EC 相交于点 P， 求 tanCPN 的值方法归纳求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形观察发现 问题中CPN 不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比 如连接格点 M，N，可得 MNEC，则DNM=CPN，连接 DM，那么CPN 就变换 到 RtDMN 中问题解决（1）直接写出图 1 中 tanCPN 的值为2；如图 2

25、，在边长为 1 的正方形网格中，AN 与 CM 相交于点 P，求 cosCPN 的值； 思维拓展如图 3，ABBC，AB=4BC，点 M 在 AB 上，且 AM=BC，延长 CB 到 N，使 BN=2BC， 连接 AN 交 CM 的延长线于点 P，用上述方法构造网格求CPN 的度数解：（1）如图 1 中，ECMN，CPN=DNM， tanCPN=tanDNM， DMN=90，tanCPN=tanDNM= 故答案为 2= =2，（2）如图 2 中，取格点 D，连接 CD，DMCDAN，CPN=DCM，DCM 是等腰直角三角形， DCM=D=45，cosCPN=cosDCM=（3）如图 3 中，如

26、图取格点 M，连接 AN、MNPCMN，CPN=ANM，AM=MN，AMN=90，ANM=MAN=45，CPN=4516（2018 泰州）对给定的一张矩形纸片 ABCD 进行如下操作：先沿 CE 折叠，使点 B 落在 CD 边上（如图），再沿 CH 折叠，这时发现点 E 恰好与点 D 重合（如图）（1）根据以上操作和发现，求的值；（2）将该矩形纸片展开如图，折叠该矩形纸片，使点 C 与点 H 重合，折痕与 AB 相交于点 P，再将该矩形 纸片展开求证：HPC=90；22 2 2 22 22 2不借助工具，利用图探索一种新的折叠方法，找出与图中位置相同的 P 点，要求 只有一条折痕，且点 P 在

27、折痕上，请简要说明折叠方法（不需说明理由）解：（1）由图，可得BCE= BCD=45， 又B=90，BCE 是等腰直角三角形，=cos45=，即 CE= BC，由图，可得 CE=CD，而 AD=BC， CD= AD，=；（2）设 AD=BC=a，则 AB=CD= a，BE=a， AE=（ 1）a，如图，连接 EH，则CEH=CDH=90， BEC=45，A=90，AEH=45=AHE，AH=AE=（ 1）a，设 AP=x，则 BP= ax，由翻折可得，PH=PC，即 PH AH +AP =BP +BC ，即（ 1）a +x =（ax ） +a ，2=PC，解得 x=a，即 AP=BC， 又PH

28、=CP，A=B=90， RtAPHRtBCP（HL），APH=BCP，又RtBCP 中，BCP+BPC=90，APH+BPC=90，CPH=90；折法：如图，由 AP=BC=AD，可得ADP 是等腰直角三角形，PD 平分ADC， 故沿着过 D 的直线翻折，使点 A 落在 CD 边上，此时折痕与 AB 的交点即为 P；折法：如图，由BCE=PCH=45，可得BCP=ECH，由DCE=PCH=45，可得PCE=DCH，又DCH=ECH，BCP=PCE，即 CP 平分BCE，故沿着过点 C 的直线折叠，使点 B 落在 CE 上，此时，折痕与 AB 的交点即为 P17（2018 宿迁）如图，在边长为

29、1 的正方形 ABCD 中，动点 E、F 分别在边 AB、CD 上，将正方形 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 B 的对应点 M 始终落在边 AD 上（点 M 不 与点 A、D 重合），点 C 落在点 N 处，MN 与 CD 交于点 P，设 BE=x当 AM= 时，求 x 的值；随着点 M 在边 AD 上位置的变化，PDM 的周长是否发生变化？如变化，请说明 理由；如不变，请求出该定值；设四边形 BEFC 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数表达式，并求出 S 的最小值22222 22 2 22 2 222解：（1）如图，在 RtAEM 中，AE=1x ，EM=BE=x，AM= ，AE+AM=EM，（1x ） +（ ） =x ，x= （2）PDM 的周长不变，为 2理由：设 AM=y，则 BE=EM=x，MD=1y， 在 RtAEM 中，由勾股定理得 AE +AM =EM ， （1x） +y =x ，解得 1+y =2x，1y =2（1x）EMP=90，A=D，RtAEMRtDMP，=，即=，解得 DM+MP+DP=2DMP 的周长为 2（3）作