(江苏专版)高考数学一轮复习第十六章曲线与方程16.1曲线与方程讲义-人教版高三全册数学试题

1、word16.1 曲线与方程考纲解读考点1. 求曲线方程2. 抛物线标准方程及其几何性质内容解读求曲线的轨迹方程及方程的应用求抛物线方程及抛物线方程的综合运用五年高考统计要求 常考题型2013 2014 2015 2016 2017A 解答题22 题B 解答题10 分预测热度分析解读 求动点的轨迹方程及其应用某某高考近 5 年没有考查 , 是命题的冷点 , 主要考查求抛物线方程以及方程的运用 , 难度中等 .命题探究1 / 14word(1) 抛物线 C:y 2=2px(p0) 的焦点为 ,由点 在直线 l:x-y-2=0 上 , 得 -0-2=0, 即 p=4.所以抛物线 C 的方程为 y

2、2=8x.(2) 设 P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2), 线段 PQ的中点 因为点 P 和 Q关于直线 l 对称 , 所以直线 线段 PQ,M(x0,y 0). l 垂直平分于是直线由因为 P 和PQ的斜率为 -1, 则可设其方程为 y=-x+b.消去 x 得 y2+2py-2pb=0.(*)Q是抛物线 C 上的相异两点 , 所以 y1 y 2 ,从而 =(2p) 2- 4(-2pb)0, 方程 (*) 的两根为 y1,2 =- py0= =-p.化简得 p+2b0., 从而因为 M(x0 ,y 0) 在直线 l 上 , 所以 x0=2-p.因此 , 线段 PQ的中点坐标为 (2-p

3、,-p).因为 M(2-p,-p) 在直线 y=-x+b 上 ,所以 -p=-(2-p)+b, 即 b=2-2p.由知 p+2b0, 于是 p+2(2-2p)0, 所以 pb0) 的左焦点为 F(-c,0), 离心率为 , 点 M在椭圆上且位于第一象限 , 直线 FM被圆 x2+y2= 截得的线段的长为 c,|FM|= .3 / 14word(1) 求直线 FM的斜率 ;(2) 求椭圆的方程 ;(3) 设动点 P 在椭圆上 , 若直线 FP的斜率大于 , 求直线 OP(O为原点 ) 的斜率的取值 X 围 .解析 (1) 由已知有 = , 又由 a2=b2+c2 , 可得 a2=3c2 ,b 2

4、=2c2 .设直线 FM的斜率为 k(k0), 则直线 FM的方程为 y=k(x+c). 由已知 , 有 + = , 解得 k= .(2) 由(1) 得椭圆方程为 + =1, 直线 FM的方程为 y= (x+c), 两个方程联立 , 消去 y, 整理得 3x2+2cx-5c 2=0, 解得 x=- c 或 x=c. 因为点 M在第一象限 , 可得 M的坐标为 .由|FM|= = , 解得 c=1,所以椭圆的方程为 + =1.(3) 设点 P的坐标为 (x,y), 直线 FP 的斜率为 t, 得 t= , 即 y=t(x+1)(x -1), 与椭圆方程联立得消去 y, 整理得 2x2+3t 2(

5、x+1) 2=6. 又由已知 , 得 t= 设直线 OP的斜率为 m,得 m= , 即 y=mx(x0), 与椭圆方程联立当 x 时 , 有 y=t(x+1)0,于是 m=当 x(-1,0) 时 , 有 y=t(x+1)0, 因此 m0,于是 m=-, 解得 - x-1, 或-1x 时,S OPQ=8 =8 8;当 0k 2 时,S OPQ=8 =8 .因 0k 2 , 则 0b0) 的一个焦点为 ( ,0), 离心率为 .(1) 求椭圆 C 的标准方程 ;(2) 若动点 P(x 0 ,y 0) 为椭圆 C外一点 , 且点 P 到椭圆 C的两条切线相互垂直 , 求点 P 的轨迹方程 .解析 (

6、1) 由题意知 c= a=3,b 2=a2-c 2=4,故椭圆 C 的标准方程为(2) 设两切线为 l 1,l 2,e= = ,+ =1.当 l 1 x 轴或 l 1 x 轴时 ,l 2 x 轴或 l 2x 轴 , 可知 P(3, 2).当 l 1 与 x 轴不垂直且不平行时 ,x 03, 设 l 1 的斜率为 k, 且 k0, 则 l 2 的斜率为 - ,l 1 的方程为 y-y 0=k(x-x 0),与 + =1 联立 ,整理得 (9k 2+4)x 2+18(y 0-kx 0)kx+9(y 0-kx 0) 2 -36=0,直线 l 1 与椭圆相切 , =0, 即 9(y 0-kx 0) 2

7、k2-(9k 2+4) (y( -9)k 2-2x 0y0k+ -4=0,k 是方程 ( -9)x 2-2x 0y0 x+ -4=0 的一个根 ,同理 ,- 是方程 ( -9)x 2-2x 0 y0 x+ -4=0 的另一个根 ,k = , 整理得 + =13, 其中 x 03,点 P 的轨迹方程为 x2+y2=13(x 3).6 / 140-kx 0) -4=0,word检验 P(3, 2) 满足上式 .综上 , 点 P的轨迹方程为 x2+y2=13.6.(2014 某某 ,21,14 分)在平面直角坐标系 xOy 中 , 点 M到点 F(1,0) 的距离比它到 y 轴的距离多 1. 记点

8、M的轨迹为 C.(1) 求轨迹 C 的方程 ;(2) 设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(-2,1). 求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 k的相应取值 X 围 .解析 (1) 设点 M(x,y), 依题意得 |MF|=|x|+1,即 =|x|+1,化简整理得 y 2=2(|x|+x).故点 M的轨迹 C 的方程为 y 2=(2) 在点 M的轨迹 依题意 , 可设直线由方程组C中 , 记 C1:y 2=4x,C2 :y=0(x0),l 的方程为 y-1=k(x+2).可得 ky 2- 4y+4(2k+1)=0. 当 k=0 时 , 此时 y=1. 把 y=1

9、代入轨迹 C 的方程 , 得 x= .故此时直线 l:y=1 与轨迹 C 恰好有一个公共点 .当 k0 时 , 方程的判别式为 = -16(2k 2+k- 1). 设直线 l 与 x 轴的交点为 (x 0,0), 则由 y-1=k(x+2), 令 y=0, 得 x0=- . (i) 若 由解得 k .即当 k(- , - 1) 时 , 直线 l 与 C1 没有公共点 , 与 C2 有一个公共点 ,故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点 .(ii) 若 即当 k 当 k 故当 k或 则由解得 k 或- k0 .时 , 直线 l 与 C1 只有一个公共点 , 与 C2 有一个公共点 .时 ,

10、 直线 l 与 C1 有两个公共点 , 与 C2 没有公共点 . 时 , 直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点 .7 / 142word(iii) 若 则由解得 -1k- 或 0kb0) 的左、右焦点分别为e2 , 已知 e1e2 = , 且|F 2F4 |= -1.F1、 F2, 离心率为 e1; 双(2) 过 F1 作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB,M为 AB的中点 , 当直线 OM与 C2 交于 P,Q 两点时 , 求四边形 APBQ面积的最小值 .解析 (1) 因为 e1e2= , 所以即 a4-b 4= a4,因此 a2=2b2 , 从而 F2(b,0),F 4( 所以 b=

11、1, 所以 a2=2.故 C1 ,C 2 的方程分别为+y2=1, = ,b,0), 于是 b-b=|F 2 F4|= -1,-y=1.(2) 因为 AB不垂直于 y 轴 , 且过点 F1(-1,0), 故可设直线 AB的方程为 x=my-1.由 得(m2+2)y 2-2my-1=0,易知此方程的判别式大于 0, 设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则 y 1 ,y 2 是上述方程的两个实根 , 所以 y 1+y2= ,y 1y2= .8 / 142word因此 x1+x2=m(y 1+y2)-2= , 于是 AB 的中点 M的坐标为 . 故直线 PQ的斜率为 - , 则 PQ的

12、方程为y=- x, 即 mx+2y=0.由 得(2-m 2)x 2=4, 所以 2-m20, 且 x2=,y = , 从而 |PQ|=2 =2 .设点 A 到直线 PQ的距离为 d, 则点 B 到直线 PQ的距离也为 d,所以 2d= ,因为点 A,B 在直线 mx+2y=0的异侧 , 所以 (mx 1+2y 1)(mx 2+2y2)0, 于是 |mx 1+2y1 |+|mx 2+2y2|=|mx 1+2y 1-mx2-2y 2|,从而 2d= .又因为 |y 1-y 2 |= =所以 2d= .故四边形 APBQ的面积S= |PQ| 2d= =2而 02-m20.由根与系数的关系得 ,x 1

13、+x2= , x1x2= , 因为 x 轴是PBQ的角平分线 , 所以即 y1(x 2+1)+y 2(x 1+1)=0,(kx 1+b)(x 2+1)+(kx 2+b)(x 1+1)=0,2kx 1x 2+(b+k)(x 1+x2)+2b=0, 将 , 代入得 2kb2+(k+b)(8-2bk)+2kk=-b, 此时 0,直线 l 的方程为 y=k(x-1),即直线 l 过定点 (1,0).=-2b=0,三年模拟A 组 2016 2018 年模拟基础题组考点 求曲线方程1.( 苏教选 2 1, 二 ,6,6, 变式 )设 A 为圆 (x-1) 2+y2=1 上的动点 ,PA 是圆的切线 , 且

14、 PA=1, 则动点 P 的轨迹方程 是 .答案 (x-1) +y =22.(2016 某某某某六校联考 ,15) 已知 A(3,2) 、 B(1,0),P(x,y) 满足 =x1 +x2 (O 是坐标原点 ), 若 x1+x 2=1, 则P 的坐标满足的方程是 .答案 x-y-1=010 / 14word3.(2017 某某东海中学期末模拟 ) 已知动点 P(x,y) 与两定点 M(-1,0),N(1,0) 连线的斜率之积等于常数( 0).(1) 求动点 P 的轨迹 C 的方程 ;(2) 试根据 的取值情况讨论轨迹 C 的形状 ;(3) 当 = -2 时 , 过点 F(0,1) 的直线 l

15、与轨迹 C 交于 A,B 两点 , 求OAB面积的最大值 .解析 (1) 由题设知直线 PM与 PN的斜率存在且均不为零 , 且 k PM k PN= = ,整理得 x 2- =1( 0,x 1).(2) 当 0 时 , 轨迹 C 为中心在原点 , 焦点在 x轴上的双曲线 ( 除去顶点 );当 - 10 时 , 轨迹 C 为中心在原点 , 焦点在 x 轴上的椭圆 ( 除去长轴两个端点 );当 = -1 时 , 轨迹 C 是以原点为圆心 ,1 为半径的圆 ( 除去点 (-1,0),(1,0);当 0,因为 AB=2,所以 a2+b2=4, 即 (1+t)2 2x +y 2=4,所以点 P 的轨迹

16、方程为(2)t=2 时,C 的方程为则 N(-x 1,-y 1),MN=2易知直线 MN的方程为所以 SMNQ= 2=又 +所以而 1=,=1, 所以 9 +=4-9x 1y 1,+ - 2 + =1.+ y2=1, 设 M(x1 ,y 1),y= x(x 1 0), 则点 Q到直线 MN的距离 d= ,=4.=-所以 -9x 1y14, 当且仅当 =- ,即 x1=- y 1 时 , 取等号 .所以 SMNQ的最大值为 2 .方法 2 轨迹方程及应用2.(2017 某某如东高级中学第二次学情调研所在直线的斜率满足 kOP+kOA=kPA.(1) 求点 P的轨迹 C的方程 ;)在平面直角坐标系 xOy 中 , 已知点 A(-1,1),P 是动点 , POA的三边(2) 若 Q是轨迹 C 上异于点 P 的一点 , 且 = PAM的面积满足 SPQA=2SPAM?若存在 , 求出点, 直线 OP与 QA交于点 M,请问 : 是否存在点 P, 使得 PQA和P 的坐标 ; 若不存在 , 请说明理由 .13 / 14word解析 (1) 设点 P 的坐标为 (x,y),由 kOP+kOA=kPA, 得 -1= ,整理得轨迹 C 的方程为 y=x 2(x 0 且 x-1).(2) 存在 . 由(1) 可设 P(x 1, ),Q(x 2, ),由 = , 可知直线 PQO