变化率与导数、导数的计算 高考数学专题复习要点及习题解答

1、变化率与导数、导数的计算1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率lieq o(m,sup6(,x0) eq f(y,x)lieq o(m,sup6(,x0) eq f(fx0 xfx0,x)为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0)lieq o(m,sup6(,x0) eq f(y,x)lieq o(m,sup6(,x0) eq f(fx0 xfx0,x).(2)导数的几何意义 ：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t

2、的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)(3)函数f(x)的导函数：称函数f(x)lieq o(m,sup6(,x0) eq f(fxxfx,x)为f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式(sin x)cos_x，(cos x)sin_x，(ax)axln_a，(ex)ex，(logax)eq f(1,xln a)，(ln x)eq f(1,x).3导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)eq blcrc(avs4alco1(f(fx,gx)eq f(fxgxfxgx,gx2)(g(x)0)4复合函数的导数

3、复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积小题体验1曲线yex在点A(0,1)处的切线斜率为()A1B2Ce D.eq f(1,e)解析：选A由题意知yex，故所求切线斜率kex|x0e01.2(教材习题改编)设函数f(x)在(0，)内可导，且f(x)xln x，则f(1)_.解析：由f(x)xln x(x0)，知f(x)1eq f(1,x)，所以f(1)2.答案：23(2015天津高考)已知函数f(x)axln x，x(0，)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数若f(1)3，则a的值为_解析：

4、f(x)aeq blc(rc)(avs4alco1(ln xxf(1,x)a(1ln x)由于f(1)a(1ln 1)a，又f(1)3，所以a3.答案：31利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆2求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者3曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别小题纠偏1函数yeq f(ln x,ex)的导函数为_答案：yeq f(1xln x,xex)2已知直线yx1是函数f(x)eq f(1,a)ex图象的切线，则实数a_.解析：设切点为(x0，y0)，则f(x0)e

5、q f(1,a)ex01，ex0a，又eq f(1,a)ex0 x01，x02，ae2.答案：e2eq avs4al(考点一导数的运算) eq avs4al(基础送分型考点自主练透)题组练透求下列函数的导数(1)yx2sin x；(2)yln xeq f(1,x)；(3)yeq f(cos x,ex)；(4)(易错题)yxsineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,2)coseq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,2)；(5)yln(2x5)解：(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)yeq blc(rc)(avs4alco1(

6、ln xf(1,x)(ln x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)eq f(1,x)eq f(1,x2).(3)yeq blc(rc)(avs4alco1(f(cos x,ex)eq f(cos xexcos xex,ex2)eq f(sin xcos x,ex).(4)yxsineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,2)coseq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,2)eq f(1,2)xsin(4x)eq f(1,2)xsin 4x，yeq f(1,2)sin 4xeq f(1,2)x4cos 4xeq f(1,2)sin 4x2xcos 4x

7、.(5)令u2x5，yln u，则y(ln u)ueq f(1,2x5)2eq f(2,2x5)，即yeq f(2,2x5).谨记通法求函数导数的三种原则提醒 复合函数求导时，先确定复合关系， 由外向内逐层求导，必要时可换元如“题组练透”第(4)题易错eq avs4al(考点二导数的几何意义) eq avs4al(常考常新型考点多角探明)命题分析导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题常见的命题角度有：(1)求切线方程；(2)求切点坐标；(3)求参数的值题点全练角度一：求切线方程1(2015云南统测)已知f(x)x32

8、x2x6，则f(x)在点P(1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于()A4B5C.eq f(25,4) D.eq f(13,2)解析：选Cf(x)x32x2x6，f(x)3x24x1，f(1)8，故切线方程为y28(x1)，即8xy100，令x0，得y10，令y0，得xeq f(5,4)，所求面积Seq f(1,2)eq f(5,4)10eq f(25,4).角度二：求切点坐标2若曲线yxln x上点P 处的切线平行于直线 2xy10，则点P的坐标是_解析：由题意得yln xxeq f(1,x)1ln x，直线2xy10的斜率为2.设P(m，n)，则1ln m2，解得me，所以neln

9、 ee，即点P的坐标为(e，e)答案：(e，e)角度三：求参数的值3已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为()A1B2C1 D2解析：选B设直线yx1与曲线yln(xa)的切点为(x0，y0)，则y01x0，y0ln(x0a)又yeq f(1,xa)，所以y|xx0eq f(1,x0a)1，即x0a1.又y0ln(x0a)，所以y00，则x01，所以a2.方法归纳导数几何意义的应用的2个注意点(1)当曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是xx0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线曲线yf(x)在点P(x0，f(

10、x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解一抓基础，多练小题做到眼疾手快1函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为()A2(x2a2)B2(x2a2)C3(x2a2) D3(x2a2)解析：选Cf(x)(x2a)(xa)2x33a2x2a3，f(x)3(x2a2)2已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)()AeB1C1 De解析：选B由f(x)2xf(1)ln x，得f(x)2f(1)eq f(1,x).f(1)2f(1)1，则f(1)1.3曲线ysin xex在点(0,1)处

11、的切线方程是()Ax3y30 Bx2y20C2xy10 D3xy10解析：选Cysin xex，ycos xex，yeq blc|rc (avs4alco1(x0)cos 0e02，曲线ysin xex在点(0,1)处的切线方程为y12(x0)，即2xy10.4(2015全国卷)已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a_.解析：f(x)3ax21，f(1)3a1.又f(1)a2，切线方程为y(a2)(3a1)(x1)切线过点(2,7)，7(a2)3a1，解得a1.答案：15分别求下列函数的导数：(1)yexcos x；(2)yxeq blc(rc)(avs

12、4alco1(x2f(1,x)f(1,x3).解：(1)y(ex)cos xex(cos x)excos xexsin x.(2)yx31eq f(1,x2)，y3x2eq f(2,x3).二保高考，全练题型做到高考达标1已知f(x)x(2 015ln x)，若f(x0)2 016，则x0()Ae2B1Cln 2 De解析：选Bf(x)2 015ln xxeq f(1,x)2 016ln x，故由f(x0)2 016得2 016ln x02 016，则ln x00，解得x01.2(2015广州二模)已知函数f(x)(x22)(ax2b)，且f(1)2，则f(1)()A1B2C2 D0解析：选B

13、f(x)(x22)(ax2b)ax4(2ab)x22b，f(x)4ax32(2ab)x为奇函数，所以f(1)f(1)2.3(2016衡水调研)曲线y1eq f(2,x2)在点(1，1)处的切线方程为()Ay2x1By2x1Cy2x3 Dy2x2解析：选Ay1eq f(2,x2)eq f(x,x2)，yeq f(x2x,x22)eq f(2,x22)，yeq blc|rc (avs4alco1(x1)2，曲线在点(1，1)处的切线斜率为2，所求切线方程为y12(x1)，即y2x1.4(2016南昌二中模拟)设点P是曲线yx3eq r(3)xeq f(2,3)上的任意一点，P点处切线倾斜角的取值范

14、围为()A. eq blcrc)(avs4alco1(0，f(,2)eq blcrc)(avs4alco1(f(5,6)，) B. eq blcrc)(avs4alco1(f(2,3)，)C. eq blcrc)(avs4alco1(0，f(,2)eq blcrc)(avs4alco1(f(2,3)，) D. eq blc(rc(avs4alco1(f(,2)，f(5,6)解析：选C因为y3x2eq r(3)eq r(3)，故切线斜率keq r(3)，所以切线倾斜角的取值范围是eq blcrc)(avs4alco1(0，f(,2)eq blcrc)(avs4alco1(f(2,3)，).5已知

15、f(x)ln x，g(x)eq f(1,2)x2mxeq f(7,2)(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m的值为()A1B3C4 D2解析：选Df(x)eq f(1,x)，直线l的斜率为kf(1)1，又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0 x01，y0eq f(1,2)xeq oal(2,0)mx0eq f(7,2)，m0，于是解得m2.6(2016太原一模)函数f(x)xex的图象在点(1，f(1)处的切线方程是_解析： f(x)xex，f(1)e，f(

16、x)exxex，f(1)2e，f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为ye2e(x1)，即y2exe.答案：y2exe7.(2015郑州二测)如图，yf(x)是可导函数，直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，其中g(x) 是g(x)的导函数，则g(3)_.解析：由题图可知曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于eq f(1,3)，即f(3)eq f(1,3).又因为g(x)xf(x)，所以g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，由题图可知f(3)1，所以g(3)13eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)0.答案：08设函数f(x

17、)(xa)(xb)(xc)(a，b，c是两两不等的常数)，则eq f(a,fa)eq f(b,fb)eq f(c,fc)_.解析：f(x)x3(abc)x2(abbcca)xabc，f(x)3x22(abc)xabbcca，f(a)(ab)(ac)，f(b)(ba)(bc)，f(c)(ca)(cb)eq f(a,fa)eq f(b,fb)eq f(c,fc)eq f(a,abac)eq f(b,babc)eq f(c,cacb)eq f(abcbaccab,abacbc)0.答案：09求下列函数的导数(1)yxtan x；(2)y(x1)(x2)(x3)；(3)yeq f(ln2x1,x).解

18、：(1)y(xtan x)xtan xx(tan x)tan xxeq blc(rc)(avs4alco1(f(sin x,cos x)tan xxeq f(cos2xsin2x,cos2x)tan xeq f(x,cos2x).(2)y(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x3)3x212x11.(3)yeq blcrc(avs4alco1(f(ln2x1,x)eq o(sup7(),sdo5()eq f(ln2x1xxln2x1,x2)eq f(f(2x1,2x1)xln2x1,x2)eq f(f(2x,2x1)ln2x1,x2)eq f

19、(2x2x1ln2x1,2x1x2).10已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程解：(1)f(x)3x28x5，f(2)1，又f(2)2，曲线在点(2，f(2)处的切线方程为y2x2，即xy40.(2)设曲线与经过点A(2，2)的切线相切于点P(x0，xeq oal(3,0)4xeq oal(2,0)5x04)，f(x0)3xeq oal(2,0)8x05，切线方程为y(2)(3xeq oal(2,0)8x05)(x2)，又切线过点P(x0，xeq oal(3,0)4xeq oal(2,0)5x04)，xeq oal(3,0)4xeq oal(2,0)5x02(3xeq oal(2,0)8x05)(x02)，整理得(x02