平面向量综合问题-2021届高考数学（理）培优专题提升训练（解析版）

1、第22讲 平面向量综合问题 A组一、选择题1.在中，已知是边上一点，若，则（ ）ABCD解析：在ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则，=， 2. 设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有（ ） ABCD解析,若函数的图象是一条直线，即其二次项系数为0， 0 3. 已知，若P点是ABC所在平面内一点，且，的最大值等于( )A13 B15 C19 D21解析：以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则Beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,t)，0)，Ceq blc(rc)(avs4alco1(0，t)，eq o(AP,sup6()(1，0)4(0，1)(1，4)，

2、即P(1，4)，所以，因此因为 所以的最大值等于13，当，即时取等号4. 如图，在四边形ABCD中，则的值为（ ）A.2 B. C.4 D.解析： 二、填空题5. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，则的值为解析：由MN的任意性可用特殊位置法：当MN与BC重合时知m=1，n=1，故m+n=2，6.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是_.解析 设 ，即三、解答题7. 已知ABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(，0)(1)若，求的值；(2)若，求sinA的值解: (1) 由 得

3、(2) 8.已知向量满足条件，求证：是正三角形解：令O为坐标原点，可设由，即两式平方和为，由此可知的最小正角为，即与的夹角为，同理可得与的夹角为，与的夹角为，这说明三点均匀分部在一个单位圆上，所以为等腰三角形.9.已知两点M(1，0)，N(1，0)，且点P使成公差小于零的等差数列.(1)点P的轨迹是什么曲线？(2)若点P坐标为(x0,y0),Q为与的夹角，求tan.解：(1)设P(x,y）,由M(1，0），N(1，0）得， =(1x,y）, =(1x,y), =(2,0),=2(1+x), =x2+y21, =2(1x).于是，是公差小于零的等差数列，等价于所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半

4、径的右半圆.(2)点P的坐标为(x0,y0)10. 已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量， .若/，求证：ABC为等腰三角形； 若，边长c = 2，角C = ，求ABC的面积 .证明：（1）即，其中R是三角形ABC外接圆半径， 为等腰三角形解（2）由题意可知 由余弦定理可知， 11.在中，记的夹角为.（）求的取值范围；（）求函数的最大值和最小值.解 (1)由余弦定理知：，又，所以，又即为的取值范围；（），因为，所以，因此，. B组一、选择题1.把函数的图像按向量平移，得到的图像，则（ ）ABCD解把函数y=ex的图象按向量=(2,3)平移，即向右平移2个单位，向上平移3个单

5、位，平移后得到y=f(x)的图象，f(x)= ，选C。 2.设a=(4,3),a在b上的投影为,b在x轴上的投影为2,且|b|1,则b为（）A.(2,14)B.(2,- ) C.(-2, ) D.(2,8)解析：设a在b的夹角为，则有|a|cos=，=45，因为b在x轴上的投影为2,且|b|1,结合图形可知选B3.设两个向量和其中为实数.若则的取值范围是( )A.B.C.D.解析由可得，设代入方程组可得消去化简得，再化简得再令代入上式得可得解不等式得因而解得.4.在直角坐标系中，分别是与轴，轴平行的单位向量，若直角三角形中，则的可能值有A、1个 B、2个 C、3个 D、4个【解析】解法一：（1

6、） 若A为直角，则； （2） 若B为直角，则；（3） 若C为直角，则。所以 k 的可能值个数是2，选B 解法二：数形结合如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，所以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角所以 k 的可能值个数是2，选B二、填空题5. 如图，在中，是边上一点，则.【分析】法一：由余弦定理得可得，又夹角大小为，所以.法二：根据向量的加减法法则有:,此时.6.如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则 ， . 图2解析 作,设，,由解得故三、解答题7.已知点是且试用解：以O为原点，OC，OB所在的直线为轴和轴建立如图3所示

7、的坐标系.由OA=2，所以，易求，设.8.已知向量且，函数（I）求函数的最小正周期及单调递增区间；（II）若，分别求及的值。（I）解；得到的单调递增区间为（II） 9.已知 SKIPIF 1 0 是x,y轴正方向的单位向量，设 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 ,且满足| SKIPIF 1 0 |+| SKIPIF 1 0 |=4.求点P(x,y)的轨迹C的方程.如果过点Q(0，m)且方向向量为 SKIPIF 1 0 =(1,1) 的直线l与点P的轨迹交于A，B两点，当 SKIPIF 1 0 AOB的面积取到最大值时，求m的值。

8、解：(1) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 , | SKIPIF 1 0 |= SKIPIF 1 0 ,且| SKIPIF 1 0 |+| SKIPIF 1 0 |=4. SKIPIF 1 0 点P(x,y)到点( SKIPIF 1 0 ,0)，(- SKIPIF 1 0 ,0)的距离这和为4，故点P的轨迹方程为 SKIPIF 1 0 (2)设A( SKIPIF 1 0 ),B( SKIPIF 1 0 )依题意直线AB的方程为y=x+m.代入椭圆方程，得 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 + SKIPIF 1 0 =- SKIPIF 1 0

9、 m, SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 因此， SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时，即m= SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 10.已知向量与互相垂直，其中（1）求和的值；（2）若，求的值 解 （1）与互相垂直，则，即，代入得，又，.（2），则，11.如图，已知ABC中，|AC|=1,ABC=,BAC=,记。求关于的表达式;求的值域。解：（1）由正弦定理，得 （2）由，得 ，即的值域为. C组一、选择题1. 在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是（A） （B） （C） （D） 【解析】： ，A是正

10、确的，同理B也正确，对于D答案可变形为，通过等积变换判断为正确. 2.设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=0，则|FA|+|FB|+|FC|=(A)9(B)6(C) 4 (D) 3解设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=0，则F为ABC的重心， A、B、C三点的横坐标的和为F点横坐标的3倍，即等于3， |FA|+|FB|+|FC|=，选B。3.设D是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则集合S表示的平面区域是 ( )A三角形区域 B四边形区域C五边形区域 D六边形区域解析 本题主要考查集合与平面几何基础知识.本题主要考查阅读与理解、信

11、息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.如图，A、B、C、D、E、F为各边三等分点，答案是集合S为六边形ABCDEF，其中， 即点P可以是点A.4.已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( )A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）解析二、填空题5.在平面直角坐标系中，O为原点，A(1,0)，B(0，eq r(3)，C(3,0)，动点D满足|eq o(CD,sup6()|1，则|eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o

12、(OD,sup6()|的最大值是_解析设D(x，y)，由eq o(CD,sup6()(x3，y)及|eq o(CD,sup6()|1知(x3)2y21，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆又Oeq o(A,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OD,sup6()(1,0)(0，eq r(3)(x，y)(x1，yeq r(3)，|eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OD,sup6()|eq r(x12yr(3)2).问题转化为圆(x3)2y21上的点与点P(1，eq r(3)间距离的最大值圆心C(3,0)与点P(1，eq r(3)之间的距离为eq r(3

13、120r(3)2)eq r(7)，故eq r(x12yr(3)2)的最大值为eq r(7)1.6.如图，在半径为1的扇形AOB中，AOB60，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则eq o(OP,sup6()eq o(BP,sup6()最小值是_解析因为eq o(OP,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(BP,sup6()，所以eq o(OP,sup6()eq o(BP,sup6()(eq o(OB,sup6()eq o(BP,sup6()eq o(BP,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(BP,sup6()(eq o(BP,sup6()2.又因为AOB60，OAO

14、B，OBA60.OB1.所以eq o(OB,sup6()eq o(BP,sup6()|eq o(BP,sup6()|cos 120eq f(1,2)|eq o(BP,sup6()|.所以eq o(OP,sup6()eq o(BP,sup6()eq f(1,2)|eq o(BP,sup6()|eq o(BP,sup6()|2(|eq o(BP,sup6()|eq f(1,4)2eq f(1,16)eq f(1,16).故当且仅当|eq o(BP,sup6()|eq f(1,4)时，eq o(OP,sup6()eq o(BP,sup6()最小值是eq f(1,16).三、解答题7.已知向量m(si

15、n x，cos x)，n(eq f(3,2)，eq f(r(3),2)，xR，函数f(x)mn.(1)求f(x)的最大值；(2)在ABC中，设角A，B的对边分别为a，b，若B2A，且b2af(Aeq f(,6)，求角C的大小解(1)f(x)eq f(3,2)sin xeq f(r(3),2)cos xeq r(3)sin(xeq f(,6)，所以f(x)的最大值为eq r(3).(2)因为b2af(Aeq f(,6)，由(1)和正弦定理，得sin B2eq r(3)sin2A.又B2A，所以sin 2A2eq r(3)sin2A，即sin Acos Aeq r(3)sin2A，而A是三角形的内

16、角，所以sin A0，故cos Aeq r(3)sin A，tan Aeq f(r(3),3)，所以Aeq f(,6)，B2Aeq f(,3)，CABeq f(,2).8.已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量m(cos B,2cos2eq f(C,2)1)与向量n(2ab，c)共线(1)求角C的大小；(2)若c2eq r(3)，SABC2eq r(3)，求a，b的值解(1)m(cos B，cos C)，n(2ab，c)，mn，ccos B(2ab)cos C，sin Ccos B(2sin Asin B)cos C，sin A2sin Acos C，cos Ceq f(1,

17、2)，C(0，)，Ceq f(,3).(2)c2a2b22abcos C，a2b2ab12，SABCeq f(1,2)absin C2eq r(3)，ab8，由得eq blcrc (avs4alco1(a2,b4)或eq blcrc (avs4alco1(a4,b2).9.在ABC中，AC10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD5，且满足eq o(AD,sup6()eq f(5,11)eq o(DB,sup6().(1)求|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|；(2)存在实数t1，使得向量xeq o(AB,sup6()teq o(AC,sup6()，yteq o(AB,

18、sup6()eq o(AC,sup6()，令kxy，求k的最小值解(1)由eq o(AD,sup6()eq f(5,11)eq o(DB,sup6()，且A，B，D三点共线，可知|eq o(AD,sup6()|eq f(5,11)|eq o(DB,sup6()|.又AD5，所以DB11.在RtADC中，CD2AC2AD275，在RtBDC中，BC2DB2CD2196，所以BC14.所以|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|eq o(CB,sup6()|14.(2)由(1)，知|eq o(AB,sup6()|16，|eq o(AC,sup6()|10，|eq o(BC,su

19、p6()|14.由余弦定理，得cos Aeq f(102162142,21016)eq f(1,2).由xeq o(AB,sup6()teq o(AC,sup6()，yteq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，知kxy(eq o(AB,sup6()teq o(AC,sup6()(teq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()t|eq o(AB,sup6()|2(t21)eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()t|eq o(AC,sup6()|2256t(t21)1610eq f(1,2)100t80t2356t80.由二次函数的图象，可知该函数在1

20、，)上单调递增，所以当t1时，k取得最小值516.10.已知向量eq o(OP,sup6()(cos x，sin x), eq o(OQ,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)sin x，sin x)，定义函数f(x)eq o(OP,sup6()eq o(OQ,sup6().(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)当eq o(OP,sup6()eq o(OQ,sup6()时，求锐角x的值解析：(1)f(x)eq f(r(3),3)sin xcos xsin 2xeq f(1,2)eq f(r(3),3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sin 2xf(r(3),2)cos 2x)eq f(1,2)eq f(r(3),3)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)，2keq f(,2)2xeq f(,3)2keq f(3,2)，kZ，即keq f(,12)xkeq f(7,12)，kZ.f(x)的单调递增