数值分析重点

1、数值剖析要点第一章偏差剖析近似数偏差大小的胸怀方法：绝对偏差/相对偏差/有效数字1、有效数字的判断定义：从末端到第一个非零数字之间的全部数字的个数。几个要点结论：（1）、设数x的近似值能够表示为x*0.12n10m此中m是整数,),n是0到9中的一个数字，i(i=1,2,而10.假如其绝对偏差限为xx*110mn2（不超出其末端数的半个单位）则称近似数x*拥有n位有效数字。（2）、相对偏差与有效数字的关系（偏差：精准值与近似值的差值）x*0.12n10m1.23n10m1110m1xx*110mn2获得相对偏差限x*110mn1er(x)x210(n1)x*10m12112.偏差的分类：模型偏

2、差、观察偏差、截断偏差（方法偏差）和舍入偏差（计算偏差）3.偏差算法设计应注意的问题：1）、防止两个邻近的数相减考虑可否改变一下算法2）、防备大数“吃掉”小数当一组数进行相加运算时，应依据由小到大的序次进行相加。（3）、绝对值太小的数不宜作除数考虑可否改变一下算法4）、注意简化计算程序，减少计算次数5）、采纳数值稳固性好的算法4、偏差的流传：Taylor睁开式：f(x1,x2,xn)在(x1*,x2*,xn*)的睁开：e(y)=f(x1,x2,xn)-f(x1*,x2*,xn*)f(x1x1)f(x2x2)Lf(xnxn)fe(x1)fe(x2)fe(xn)x1x2xnx1x2xnfn(x1,

3、x2,xn)(k1,2,n)e(y)ffxke(xk)xkxkk1比如：（x1+x2）=(x1)+(x2)（x1*x2）=|x1|(x2)+|x2|(x1)（x1/x2）=|x1|(x2)+|x2|(x1)/|x2|2第二章代数插值经过一些实验所得的失散点找到函数的一个知足精度要求且便于计算的近似表达式（多项式）。n+1个互异的节点能够独一确立一个n次多项式。填空1.差商与微商的关系fx,x0,x1f(n1)(),xn例1：f(x)x5(n1)!x1,试求其以下差商：f20,21,22,23,24,25f20,21,22,23,24,25,26例2：已知一个四阶差商和一个五阶差商，用定义反求另

4、一个四阶差商。一般地，称k-1阶差商的一阶差商为k阶差商：fx0,x1,xk1,xkfx0,x1,xk1fx1,x2,xkx0 xk为f(x)对于点x0,x1,xk的k阶差商。2.p54页证明题：考详细的例子。次多项式插值函数为其自己。3.分段线性插值公式的记忆二次拉格朗日插值多项式的三种表示形式：22xxiL2(x)yj紧凑格式i0 xjxij0ij2L2(x)L2(x)偏差预计式Rn(x)yjlj(x)基函数表示j023(x)yj(xxj)3(xj)3(x)表示式j0f(n1)()(x),(a,b)f(x)Ln(x)n1(n1)!此中，n+1(x)=(x-x0)(x-x1)(x-xn)分段

5、线性插值函数：s1(x),xx0,x1s2(x),xx1,x2S(x)sn(x),xxn1,xn在区间xi1上的线性函数为Si(x)xxixxi1,i1,2,n,xiyxiyixi1xi1xi4.由三次样条差值多项式的性质(二阶导数连续)求未知常数。大题1.给出几个点，结构插值多项式（newton直接列表求），并求出在某点的函数值和导数值。important:newton插值多项式:Nn(x)f(x0)(xx0)fx0,x1(xx0)(xx1)fx0,x1,x2(xx0)(xx1)(xxn1)fx0,x1,xn2.给出三个点和一个导数值，结构差值多项式再求出偏差项。(P39页，例题2.7)第三

6、章最正确平方迫近1.相当于已知两个未知量，两个方程的求解（注意基函数的取法）。important:连续函数：(0,0)(1,0)(0,1)(1,1)(0,n)(1,n)(n,0)c0(f,0)n,1)c1(f,1)n,n)cn(f,n)解此方程组，就能够获得c0*,c1*,cn*，也就获得了f(x)的最正确平方迫近：pn(x)c00(x)c11(x)偏差为2*2*失散点：fpn2(fpn,f)0(x0)1(x0)n(x0)A0(x1)1(x1)n(x1)0(xm)1(xm)n(xm)m1,ncnn(x)2nci*(f,i)(f,f)(pn*,f)f2i0c0y0c1y1CY1cnym法方程组表

7、示为：ATACATYmmmmn偏差：2i2(yi*yi)2f(xi)yi2c*jj(xi)yi2i0i0i0i0j0第四章数值微积分采纳近似解法或数值解法的思想是先找出被积函数f(x)的近似函数p(x),即：f(x)bbp(x)，则能够获得：f(x)dxp(x)dxaa填空Newton-cotes型系数之和：（b-a）或许1简单梯形公式、simpson公式的记忆important:梯形求积公式及其偏差为：bf(x)dxbaf(b)af(a)2R1fh3(ba)3f(),(a,b)f()1212抛物线(simpson)求积公式及偏差为：f(x)dxbaf(a)4f(ab)f(b)ba62R2f(

8、ba)5f(4)(),(a,b)28803.用代数精度的定义来确立未知常数a。定义：假如求积公式bnaf(x)dxAkf(xk)(4.1)k0对于f(x)=xi(i=0,1,)n精准建立bnAkxki即xidx,i0,1,n.ak0而对于f(x)=xn+1不精准建立，即bnxn1dxAkxn1ak0则称积分公式（4.1）拥有n阶代数精度。4、Gauss型公式（n个点拥有2n-1阶代数精度）。5、写出Gauss型公式（6个，三个特别，三个一般（带权和不带权的）Gauss-Legendre(勒让德)求积公式：1nf(x)dxAkf(xk)1k1banabbababatbxaf(x)dx2Akf2x

9、k22k12Gauss-拉盖尔求积公式：exf(x)dxnAkf(xk)0k1nnf(x)dxAkF(xk)Akexkf(xk)0k1k1Gauss-Hermite求积公式：ex2nf(x)dxAkf(xk)k1nf(x)dxAkexk2f(xk)k16、数值微分公式（向前，向后，中心，一阶三点，二阶三点公式及推导）一阶向前差商数值微分公式f(x0h)f(x0)f(x0)hf(x0)一阶向后差商数值微分公式f(x0h)f(x0)h一阶中心差商数值微分公式f(x0h)f(x0h)f(x0)2h7、一般的Gauss型求积公式的结构：可采纳待定系数法，将Gauss型求积公式的系数和节点确立下来。例：

10、两点的Gauss型求积公式有三阶精度：对1，x,x2精准建立。大题1、复化的梯形公式、simpson公式及偏差预计式。important:复化的梯形公式及偏差预计式：（n段需要n+1个点，步长h为1/n）bhn1f(a)2f(xk)f(b)f(x)dxa2k1Rnfh2(ba)f()(ba)3f(),(a,b)1212n2复化抛物线公式及偏差预计式：（n段需要2n+1个点，步长h为1/n）bhnn1f(a)4f(x1)2f(xk)f(b)f(x)dxa6k1kk12(ba)h4(ba)5Rnff(4)()4f(4)(),(a,b)28802880n2、一般数值积分（非两种特别的积分）任意取n点

11、，结构出n-1次lagrange插值多项式，作为未知函数的近似，求积分。第五章线性方程组的直接解法填空1、gauss消去法解方程组的合用条件：系数矩阵A的各阶次序主子式不等于0。gauss消去法包含两个过程：先把方程组化为同解的上三角形方程组，再按相反次序求解上三角形方程组，前者称消去或许消元过程，后者称为回代过程。2、LU分解解方程组的合用条件：系数矩阵A的各阶次序主子式不等于0。（gauss消去法、LU分解均能够直接用增广矩阵进行变形）tA为对称正定矩阵（各阶次序主子式大3、可进行乔列斯分解（A=GG）的条件：系数矩阵于0且A=At）大题1、LU分解解方程组（详细）直接用增广矩阵进行计算。

12、第六章线性方程组的迭代解法迭代法求解过程包含：初值的选用、依据迭代格式进行迭代计算、对迭代格式收敛性判断。填空1、向量和矩阵范数的计算*（n一般指列向量）向量1-范数：x1i1xi1向量2-范数：n2xxi221i向量3-范数：xmaxxi1inn矩阵1-范数：A1max|aij|列和1jni11矩阵2-范数：A2=(ATA的最大特点值)2n矩阵3-范数：Amax|aij|行和1inj12、谱半径的定义及计算（A的特点值绝对值的最大者）(A)3、条件数Cond(A)=|A|A-1|，假如Cond(A)=|A|A程组为病态方程组。4、AxAx|,xRn|A|，(A)|A|5、SOR迭代法收敛的必

13、需条件是02。maxi1in-1|太大，则称相应的方大题1、迭代格式的结构及收敛性判断。Important:两个迭代矩阵J-1(L+U)=-D-1(A-D)=E-D-1AFJ=D-1b.Jacobi：B=-DGauss-seidle：B=-(L+D)-1F=(L+D)-1UGG（此中L为下三角阵，D为对角阵，U为上三角阵）收敛性判断：Jacobi：A严格对角占优；(B)1Gauss-seidle:A严格对角占优；A对称正定；(B)1（A为系数矩阵;B为迭代矩阵）迭代次数的控制：kkkx(k)x*B(x(1)x(0)B(Bx(0)Fx(0)B(F2x(0)1B1B1B|x(k+1)-x(k)|2

14、、一般迭代格式收敛性判断先将f(x)=0化为：x(k+1)=Bx(k)+F（(B)1；收敛速度：(B)越小，收敛速度越快）第八章非线性方程组求根填空1、二分法：偏差=b-a（k=0,1）2k+12、Newton迭代格式：xk1xkf(xk),k0,1,（注意f(x)=0的变形式且将f(x)具体形式代入）f(xk)大题1、一般迭代格式的结构及收敛性判断(3个条件)由方程f(x)=0产生的迭代格式:x=g(xk),k=0,1,2,(8.3)k+1设迭代函数g(x)知足条件:1）g(x)Ca,b;2）当xa,b时,g(x)a,b;3）g(x)存在，且存在0L1，使得对全部xa,b，|g(x)|L0)

15、.（令f(x)=xn-a）(利用局部收敛性定理证明)局部收敛性定理：假如方程x=g(x)知足条件：1).g(x)在方程的解x*的邻域内连续可微；2).|g(x*)|1(因为g(x)在x*的邻域内连续可微，故必定存在L使得|g(x*)|L1)；3、收敛阶数判断及证明：定义：由迭代法xk+1=g(xk)产生的偏差ek=xk-x*，假如当k时ek1C(C0)pek则称迭代法是p阶收敛的。当p=1且0c1时称为线性收敛，当p=2时称为平方收敛或二阶收敛。1).对于一般迭代解xk+1=g(xk)则迭代格式xk+1=g(xk)线性收敛。证明：xk1x*g(xk)g(x*)g()(xkx*)若ek1g()g(x*)0(k)且g(x*)1ek则迭代格式xk+1=g(xk)线性收敛。2).Newton迭代法拥有二阶收敛速度。xk1xkf(xk)0f(xk)f(xk)(xk1xk)f(xk)再由Taylor展式获得f()(x*0f(x*)f(xk)f(xk)(x*xk)xk)2两式相减0f(xk)(xk1x*)ekf()2!ef(x*)1k*1当k时x,xf(x*)f(x*)22f(xk)x2ekek2f(x*)第九章常微分方程数值解填空1、一般Euler法基本表达式（带入f(x,y)式