点线面关系精品课件

1、点线面关系1第1页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四1. 直线与平面平行 一直线平行于平面上的一直线，则此直线与该平面平行。 直线AB平行于P 平面上一直线CD，则AB必与P 平面平行2第2页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四1、直线与平面平行【例1】过已知点K，作一水平线KM平行已知平面ABC分析：过点K可作无数条水平线，但要求所作水平线还要与ABC平行，所以解是唯一的。由于直线KM应与平面上的水平线平行，因此需要在平面上取一水平线64第四节 平面的投影3第3页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四1、直线与平面平行 如一直线与平

2、面上任一直线平行，则此直线与该平面平行分析：过平面上任意一点作一条与AB平行的直线，若该直线属于平面CDE，则直线AB平行于平面，否则，直线AB与平面不平行【例2】判别直线AB与平面CDE是否平行DF平行于AB，但F点不在平面CDE上，因此直线DF不属于平面，故直线AB与平面不平行65第四节 平面的投影4第4页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四【例3】 ：过线作面平行于已知面例 过直线AB作一平面平行于直线EF，（AB、EF为二交错直线）。（1）分析 由线面平行定义，对交错直线AB、EF，只要将EF平行移动与AB相交确定的平面即为所求。5第5页，共66页，2022年，5月

3、20日，14点16分，星期四（2）作图如图所示，过直线AB上任意一点（如点B）作BC/EF，得到相交二直线AB与BC确定的平面即完成作图。6第6页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四【例4】判别直线是否平行于已知平面。例 判别直线AB是否平行于已知平面P。（1）分析 由线面平行定义，只要判断在已知平面上是否能作出一直线与已知直线平行即可。7第7页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四（2）作图 如图所示，在平面P上作直线MN，使mn/ab(或mn/ab)，检查另一同面投影mn不平行ab，所以直线AB不平行平面P。8第8页，共66页，2022年，5月20日，

4、14点16分，星期四 直线与平面相交于一点，它是直线和平面的公有点。 线面相交问题是如何作图求交点和判别线面投影之间的可见性。 线面相交的基本作图与直线、平面相对于投影面的位置有关。可按如下三方面进行讨论： 1) 面为投影面的垂直面时； 2) 线为投影面的垂直线时； 3) 线、面均是一般位置时。 2. 直线与平面相交9第9页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四2、直线与平面相交【例7】求直线AB与铅垂面CDEF的交点K分析由于铅垂面CDEF的水平投影积聚成一条直线，它与AB的交点K的投影可直接得到67第四节 平面的投影 第一章完1) 面为投影面的垂直面时10第10页，共66

5、页，2022年，5月20日，14点16分，星期四【例6】 求铅垂线EF与平面ABC的交点K分析：由于铅垂线EF的水平投影积聚成一点，利用其积聚性，它与平面的交点K的水平投影可直接得到，然后就可求得其他投影。可见性判别：求出交点后，为了使图形清晰，还需在线、面投影的重叠部分判别其可见性，并把被平面图形遮住的部分画成虚线。66第四节 平面的投影2) 线为投影面的垂直线时11第11页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四3) 线、面均是一般位置例 直线AB与三角形DEF均为一般位置，求AB与三角形CDE的交点K，并判别可见性。12第12页，共66页，2022年，5月20日，14点1

6、6分，星期四(1)求线面交点的步骤：（i）包含已知直线作辅助平面P（一般为投影面的垂直面）；（ii）求平面P与已知平面的交线MN；（iii）MN与已知直线AB的交点K即所求；（iiii）判别各投影的可见性，完成投影。13第13页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四（2）作图 如图所示，包含已知直线作铅垂面P，即过ab的投影PH； 再求平面P与已知DEF的交线MN（mn、mn）；而MN与已知直线AB的交点K（k、k）即所求； 判别各投影的可见性，完成投影。14第14页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四例:求一般位置直线AB和迹线平面Q的交点如图所示，作图

7、过程与前述完全一样。15第15页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四3. 直线与平面垂直 直线垂直（包括交错垂直）于平面上的两条相交直线，则该直线垂直于平面。 如图，直线AB垂直于平面P上的相交直线L1、L2 （或交错垂直于直线l1、l2）,则AB垂直于P。 反之，若直线垂直于平面，则直线必垂直于该平面上的所有直线。L1、L2一般取P平面上的正平线和水平线16第16页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四基本作图1 过点K作直线KD垂直于平面。其中（a）三角形ABC；（b）迹线平面P。有错吗?17第17页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星

8、期四 基本作图2 作直线AB的中垂面。其中（a）由相交两直线确定；（b）作迹线平面P。18第18页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四二. 平面与平面的相对位置平面与平面的相对位置有 平行、相交和垂直。19第19页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四1. 平面与平面平行 一平面上的相交两直线对应平行于另一平面上的相交两直线，则两平面平行。如图，平面P和Q上各有相交直线p1、p2和q1、q2，若p1 /q1、p2/q2，则P/Q。20第20页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四基本作图1 过点作平面平行于已知平面。 例 如图，过点K作一

9、迹线平面Q平行于已知平面P。（1）分析 根据两平行的迹线平面，其各同面迹线应相互平行和点在面上，点必在面的直线上。 因此作图应使所作平面包含已知点K且其迹线平行于已知平面P的相应迹线。21第21页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四（2）作图 如图所示，首先过点K作一辅助线与已知平面P的一迹线平行，如图中作正平线KM/PV 并求得其水平迹点M。 再过迹点M作QH/PH、QV/PV ，平面Q即为所求。22第22页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四基本作图2 补全平面形的投影。例2 已知相交二直线DE、FG所确定的平面平行于三角形ABC，补全三角形ABC的

10、投影。（1）分析 根据两平面平行的性质和线面的从属关系，应使所作平面包含与已知平面上对应的相交直线平行的直线，以次完成ABC投影。23第23页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四（2）作图如图所示，首先可过已知点C（c、c）作直线CI、CII分别与相交二直线DE、FG平行且点I、II取在直线AB上。V投影为c1、c2，并求得H投影为c1、c2。再连1、2与过a、b的投影连线相交即得到ab。最后连接ac、bc 完成三角形ABC的投影。24第24页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四 平面与平面相交于一直线，它是二平面的公有线。 面面相交问题是如何作图求交线

11、和判别二面投影之间的遮蔽（即可见性）。 面面相交的基本作图与平面和投影面的相对位置有关。可按如下两方面进行讨论： 1.平面之一为投影面垂直面时； 2.二平面均是一般位置时。 2.平面与平面相交25第25页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四1 平面之一为投影面垂直面例 已知正垂面ABC和一般位置平面三角形DEF，求它们的交线MN，并判别可见性。（1）分析 根据平面的积聚性和线面关系求交线，并由重影点判别可见性。26第26页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四（2）作图 正垂面ABC和三角形DEF交线MN的V投影应与abc重影，为mn。 由此作出其H投影m

12、n。利用重影点判别可见性，结果如图所示。mn27第27页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四2.二平面均是一般位置（1）分析 求它们的交线可转化成用一个平面上的直线与另一平面相交求交点的方法解决。 用重影点判别可见性。例 已知三角形ABC和DEF均为一般位置平面，求它们的交线MN，并判别可见性。28第28页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四（2）作图 如图所示，可选择三角形ABC中的直线AB、AC，分别包含它们作辅助面P、Q（图中为铅垂面），求出AB、AC与三角形DEF的交点M（m、m）、N（n、n），连接MN（ mn、mn）即是所求交线。 判别可见性

13、的作图，其方法与判别直线和平面相交时的可见性相同，见下图。29第29页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四判别可见性30第30页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四 两平面形相交，从形式上看，有如下图（a）（b）所示的两种情况。（a）图是三角形ABC穿过三角形DEF，交线MN。（ b）图是将三角形ABC扩大成三角形AGC，则两三角形互相有一部分相交，交线NK。但不管是哪种形式，其实质是相同的。对交线情况的分析31第31页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四（1）分析： 如图所示，根据“三面共点”原理，作辅助平面和已知二相交平面分别相交

14、得到交线，此二交线的交点即为相交平面的交线上的点。 应当注意的是，为使作图简便，所作的辅助面应选择特殊位置平面（一般为投影面平行面）。 用“三面共点” 原理求作二平面交线32第32页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四（2）作图33第33页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四3. 平面与平面垂直 如图所示，若直线AB垂直于平面P，则包含直线AB的平面Q、R等必都垂直于平面P； 或者，若平面R垂直平面P，则在平面R上任取一点C，作CD垂直于平面P，则直线CD必在平面R上。34第34页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四例 过直线EF作平

15、面垂直于三角形ABC（直线EF不垂直于三角形ABC）基本作图1：过直线作平面与已知平面垂直（1）分析 根据面面垂直的性质，作已知平面的垂线与已知直线即组成所求平面。35第35页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四 如图所示，首先在三角形ABC上作水平线BI（b1、b1）和正平线CII（c2、c2）。 然后过直线EF上任意一点（如E点），作直线ED（ed、ed）垂直于三角形ABC，即有 edb1、edc2。由相交直线EF和ED所确定的平面即为所求。（2）作图36第36页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四例 判别三角形ABC和DE/FG确定的平面是否垂直基

16、本作图2 判别两平面是否垂直（1）分析 根据面面垂直的性质，可先作一已知平面的垂线，再判别该垂线是否在另一平面上而得出结论。37第37页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四（2）作图 如图所示，在DE/FG确定的平面上过点F作三角形ABC的垂线FK。再检查直线FK是否在DE/FG点所在的平面上。 图中由于点K不在DE/FG确定的平面上，故两平面不垂直。38第38页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四三. 综合举例39第39页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四 常见综合几何问题有距离、角度的度量和轨迹作图等。 距离的度量有一般位置直线

17、的实长（两点之距）、点线、线线、两平行平面之间的距离等。 角度的度量有直线、平面对投影面的倾角，两直线（相交或交错）的夹角，线面、面面夹角等。 40第40页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四 轨迹作图可使许多几何问题迎刃而解。部分常见轨迹有： 与一定点等距离点的轨迹是以此点为中心的球； 与两已知点等距离点的轨迹是两点连线的中垂面； 与一已知直线等距离点的轨迹是一直圆柱面； 过一定点而与投影面成一定倾角直线的轨迹是一正圆锥面； 与两相交平面等距离点的轨迹是两平面的等分角面； 与不在一直线上的三点等距离点的轨迹是一直线，该直线过三点所确定的圆的圆心且垂直于该圆面。 41第41

18、页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四综合几何问题的作图往往是由一些基本作图综合组成，因此对已学过的基本作图方法必须很好理解和掌握。42第42页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四例1 已知ABC平面外同侧两点D、E，求作ABC上一点G，使点G到点D、E的距离之和（DG+EG）为最短。43第43页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四空间分析 如图所示，点D、E在三角形ABC同侧，若三角形ABC上所求点G已作出，而欲使（DG+EG）为最短，则只有点D、E、G在一直线上时成立。但已知点D、E在三角形ABC平面的同侧，因此只有转换（DG+E

19、G）=（FG+EG）=EF，这时点D、F就应是三角形ABC的垂直线且有DM=FM（点M是DF与三角形ABC的交点）。44第44页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四拟定作图方法 根据以上分析，作图方法可拟定为： （1）过点D作三角形ABC的垂线，垂足M； （2）延长DM到F，并取DM=FM；（3）连接EF，作出EF与三角形ABC的交点即所求点G。45第45页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四具体作图 如图所示，采用一次辅投影将三角形ABC转化为投影面的垂直面，在一次辅投影中完成上述作图步骤，求作出点G的一次辅投影g1。返回求作g、g，应注意利用点G在E

20、F上且df/X1。如果不用辅投影，采用直接作垂线、求垂足，再求EF与三角形ABC的交点G，则作图较繁。 46第46页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四例2 求作直线MN，既与平面P垂直，又分别与直线CD、EF相交于点M、N。47第47页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四空间分析 如图所示，与平面P垂直的直线，不一定能与CD、EF都相交；而与CD、EF都相交的直线又不一定垂直于平面P。 运用轨迹概念，可知分别与直线CD(或EF)相交且垂直于平面P的直线的轨迹各是一包含CD、(或EF)且垂直于平面P的平面，此两平面的交线即是满足条件的直线。图中所作的平面

21、CDdc和EFfe即是垂直已知平面P且各自包含CD、EF的平面，交线MN即所求。48第48页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四拟定作图方法 若按上述分析作图，则（1）首先作出已知平面P的垂线；（2）将作出的垂线各自与已知直线CD、EF组成平面；（3）求作两平面的交线即所求直线MN。可将上述作图过程简化如下：（1）过CD（或EF）直线作一平面垂直于平面P；（2）求出直线EF与该平面的交点N； （3）过点N作直线垂直于平面P，则必与直线CD交于点M。49第49页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四具体作图 如图所示，过直线CD上点C作平面P的垂线CG（cg

22、、cg ），求直线EF与CG和CD组成平面的交点即N，过点N作CG的平行线与CD交于M，则MN即所求。50第50页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四 垂直于平面P的直线有无数条，它们的方向是相同的。因此，可由已知平面P求出它的垂直方向S，而所求直线MN必与S平行，如图所示。 有了所求直线MN的方向，则将方向为S的垂线变换成某一辅投影面的垂直线，已知直线CD、EF在该辅投影面上的投影如果相交，则该交点即为所求直线MN在该辅投影面上的积聚投影，即确定了所求直线MN的位置。 同时，根据已知直线在该辅投影面上的投影是否相交的情况可判断解的有无。按此分析用辅投影法解题见下图所示。另

23、一种分析51第51页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四辅投影法52第52页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四 例3 求作直线EF与ABC的夹角。 53第53页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四空间分析直线（EF）与直线在平面（P）上的投影（ef）之间所夹的锐角（）称为直线对平面的夹角，如图所示。因此，求直线EF与ABC的夹角，应先由点E（或F）作ABC的垂线，并求出垂足，再求作直线EF与ABC的交点，最后求作夹角的真形。但若采用余角法，则可省去求垂足和求直线与平面的交点。54第54页，共66页，2022年，5月20日，14点16

24、分，星期四拟定作图方法 采用余角法。 欲求夹角，可先求其余角，因此，如图，可过直线上点E作平面的垂线，该垂线与已知直线所夹之角即所求夹角的余角。然后求作角的实形，则所求夹角=90-。55第55页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四具体作图 （1）作ABC面上的水平线BI（b1、b1）和正平行CII（c2、c2）； （2）过已知直线上点E作EGABC（egc2、egb1）； （3）在所作垂线上任取一点M（m、m）组成平面形EMF； （4）经过二次辅投影求得EMF的实形，m2e2f2即余角，角=90-即为所求。56第56页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四

25、例4 在H面上找一点S，使其到ABC的三个顶点A、B、C的距离相等。57第57页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四空间分析 如图所示，由“与两点等距离的点的轨迹是两点连线的中垂面”推理可知，与A、B、C三点等距离的点的轨迹应是该三点两两连线的中垂面的交线（即是一直线）。此交线与H面的交点即为所求点S。58第58页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四拟定作图方法 由上述分析可分别作出AC、BC连线的中垂面，中垂 面有两种作法：（1）几何元素表示。以过AC、BC的中点且分别垂直于AC、BC的正平线、水平线表示（2）迹线表示。作出过AC、BC的中点且分别垂直

26、于AC、BC的正平线的水平迹点M、N，由此作出分别垂直于AC、BC的中垂面Q、P。中垂面作出后，它们的交线求作在（1）的几何元素表示时，作图过程复杂。而在（2）以迹线表示时，作图过程比较简便。且两迹线平面的H迹线的交点即是所求点S的H投影s。59第59页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四具体作图 用迹线表示中垂面，先过AC、BC中点E、F分别作与AC、BC垂直的正平线EN、FM，它们的水平迹点是N（n、n）、M(m、m)。过n作ac的垂线即是AC中垂面的H迹QH ，过m作bc的垂线即是BC中垂面的H迹PH 。它们的交点即所求点S的H投影s，作出其V投影s(在轴X上)。而中垂面的V迹可以不必作出。60第60页，共66页，2022年，5月20日，14点16分，星期四例5 求作平面Q垂直于已知平面P。平面Q过点S，又与点A相距20mm。61第61页，共66页，2022