导数讨论含参单调性习题(含详解)

1、精选文档精选文档精选文档1设函数（1）当时，函数与在处的切线相互垂直，求的值；（2）若函数在定义域内不但调，求的取值范围；（3）能否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明原由2已知函数是的导函数，为自然对数的底数（1）谈论的单调性；（2）当时，证明：；（3）当时，判断函数零点的个数，并说明原由3已知函数（此中，）.（1）当时，若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；（2）当时，能否存在实数，使适合时，不等式恒成立，假如存在，求的取值范围，假如不存在，说明原由（此中是自然对数的底数，）.4已知函数，此中为常数.（1）谈论函数的单调性；（2）若存在两个极值

2、点，求证：无论实数取什么值都有.5已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数.（1）求的值；（2）若在及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围；（3）谈论关于的方程的根的个数.试卷第1页，总2页6已知函数ln,x，此中.fxaxxFxeaxx0,a0（1）若fx和Fx在区间0,ln3上拥有相同的单调性，务实数a的取值范围；（2）若a,1，且函数gxxeax12axfx的最小值为M，求M的e2最小值.7已知函数f(x)exmlnx.（1）如x1是函数f(x)的极值点，务实数m的值并谈论的单调性f(x)；（2）若xx0是函数f(x)的极值点，且f(x)0恒成立，务实数m的取值范围（注

3、：已知常数a满足alna1）.8已知函数fxln1mxx2mx，此中0m12（1）当m1时，求证：1x0时，fxx3；3（2）试谈论函数yfx的零点个数9已知e是自然对数的底数,Fx2ex1xlnx,fxax13.（1）设TxFxfx,当a12e1时,求证：Tx在0,上单调递加；（2）若x1,Fxfx,务实数a的取值范围.10已知函数fxexax2（1）若a1，求函数fx在区间1,1的最小值；（2）若aR,谈论函数fx在(0,)的单调性；（3）若关于任意的x1,x2(0,),且x1x2,都有x2f(x1)ax1f(x2)a成立，求a的取值范围。试卷第2页，总2页本卷由系统自动生成，请仔细校正后

4、使用，答案仅供参照。参照答案1（1）;（2）；（3）【分析】试题分析：(1)本小题主要利用导数的几何意义，求出切线斜率；当时，可知在处的切线斜率，同理可求得，而后再依据函数与在处的切线相互垂直，得，即可求出结果(2)易知函数的定义域为，可得，由题意，在内有最少一个实根且曲线与x不相切，即的最小值为负，由此可得，从而获取，由此即可求出结果.(3)令，可得，令，则，因此在区间内单调递减，且在区间内必存在实根，不如设，可得，(*)，则在区间内单调递加，在区间内单调递减，将(*)式代入上式，得使得对任意正实数恒成立，即要求恒成立，而后再依据基本不等式的性质，即可求出结果试题分析：答案第1页，总18页本

5、卷由系统自动生成，请仔细校正后使用，答案仅供参照。(1)当时，在处的切线斜率，由，得，(2)易知函数的定义域为，又，由题意，得的最小值为负，(注：结合函数图象相同可以获取)，；(3)令，此中，则，则，则，在区间内单调递减，且在区间内必存在实根，不如设，即，可得，(*)则在区间内单调递加，在区间内单调递减，答案第2页，总18页本卷由系统自动生成，请仔细校正后使用，答案仅供参照。，将(*)式代入上式，得依据题意恒成立，又，当且仅当时，取等号，代入(*)式，得，即，又，存在满足条件的实数，且点睛:关于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,一般经过变量分别，将

6、不等式恒成立问题转变成求函数的最值问题，而后再构造辅助函数，利用恒成立；恒成立，即可求出参数范围.2（1）当时，在上为减函数；当时，的减区间为，增区间为；（2）证明见分析；（3）一个零点，原由见分析.【分析】试题分析：（1）谈论函数单调性，先求导，当时，故在上为减函数；当时，解可得，故的减区间为，增区间为；（2）依据，构造函数，设，当时，因此是增函数，得证；（3）判断函数的零点个数，需要研究函答案第3页，总18页本卷由系统自动生成，请仔细校正后使用，答案仅供参照。数的增减性及极值端点，由（1）可知，当时，是先减再增的函数，其最小值为，而此时，且，故恰有两个零点，从而获取的增减性，当时，；当时，

7、；当时，从而在两点分别取到极大值和极小值，再证明极大值，因此函数不行能有两个零点，只好有一个零点试题分析：（1）对函数求导得，当时，故在上为减函数；当时，解可得，故的减区间为，增区间为；（2），设，则，易知当时，；（3）由（1）可知，当时，是先减再增的函数，其最小值为，而此时，且，故恰有两个零点，当时，；当时，；当时，答案第4页，总18页本卷由系统自动生成，请仔细校正后使用，答案仅供参照。在两点分别取到极大值和极小值，且，由知，但当时，则，不合题意，因此，故函数的图象与轴不行能有两个交点函数只有一个零点3（1）；（2）存在，且.【分析】试题分析：（1）当时，第一求出函数的导数，函数的定义域是，

8、获取，分和两种状况谈论谈论二次函数恒成立的问题，获取的取值范围；（2），分和两种状况谈论函数的单调性，若能满足当时，当满足函数的最小值大于0，即获取的取值范围.试题分析：（1）由题当时，知，则是单调递减函数；当时，只有关于，不等式恒成立，才能使为单调函数，只需，解之得或，此时.综上所述，的取值范围是（2），此中.答案第5页，总18页本卷由系统自动生成，请仔细校正后使用，答案仅供参照。（）当时，于是在上为减函数，则在上也为减函数.知恒成立，不合题意，舍去.（）当时，由得，列表得0最大值若，即，则在上单调递减.知，而，于是恒成立，不合题意，舍去.若，即.则在上为增函数，在上为减函数，要使在恒有恒成

9、立，则必有则，因此因为，则，因此.答案第6页，总18页本卷由系统自动生成，请仔细校正后使用，答案仅供参照。综上所述，存在实数，使得恒成立.【点睛】导数问题常常会遇到恒成立的问题：（1）依据参变分别，转变成不含参数的函数的最值问题；（2）若即可谈论参数不一样取值下的函数的单调性和极值以及最值，最后转变成，若恒成立；（3）若恒成立，可转变成.4（1）当时，在区间上单调递加；当时，在上单调递减，在上单调递加;（2）见分析.【分析】试题分析:（1）先求导数，研究导函数在定义域上零点状况，本题实质研究在上零点状况：当方程无根时，函数单调递加；当方程有两个相等实根时，函数单调递加；当方程有两个不等实根时，

10、比较两根与定义区间之间关系，再确立单调区间，（2）先由（1）知，且两个极值点满足.再代入化简得,利用导数研究单调性，最后依据单调性证明不等式.试题分析:（1）函数的定义域为.，记，鉴识式.立刻时，恒成立，因此在区间上单调递加.当或时，方程有两个不一样的实数根，记，明显答案第7页，总18页本卷由系统自动生成，请仔细校正后使用，答案仅供参照。（）若，图象的对称轴，.两根在区间上，可知当时函数单调递加，因此，因此在区间上递加.（）若，则图象的对称轴，.，因此，当时，因此，因此在上单调递减.当或时，因此，因此在上单调递加.综上，当时，在区间上单调递加；当时，在上单调递减，在上单调递加.（2）由（1）知

11、当时，没有极值点，当时，有两个极值点，且.，又，.记，则，因此在时单调递加，因此，因此.5（1）；（2）；（3）详见分析.【分析】试题分析：（1）依据奇函数定义可得，再依据恒等式定理可得.（2）由函数是区间上的减函数，得其导函数恒非正，即最小值，答案第8页，总18页本卷由系统自动生成，请仔细校正后使用，答案仅供参照。而在恒成立等价于，从而有对恒成立，再依据一次函数单调性可得只需端点处函数值非负即可，解不等式组可得的取值范围（3）研究方程根的个数，只需转变成两个函数，交点个数，先依据导数研究函数图像，再依据二次函数上下平移可得根的个数变化规律试题分析：（1）是奇函数，则恒成立，即，.（2）由（1

12、）知，又在上单调递减，且对恒成立，即对恒成立，在上恒成立，即对恒成立，令，则，而恒成立，答案第9页，总18页本卷由系统自动生成，请仔细校正后使用，答案仅供参照。.（3）由（1）知，方程为，令，当时，在上为增函数；当时，在上为减函数；当时，而，函数、在同一坐标系的大体图象以下列图，当，即时，方程无解；当，即时，方程有一个根；当，即时，方程有两个根.点睛：关于求不等式建马上的参数范围问题，在可能的状况下把参数分别出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上详尽的函数，这样就把问题转变成一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分别参数法不是全能的，假如分别参数后，得出的

13、函数分析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分别参数法.6（1）M的最小值为0.（2）,3.【分析】答案第10页，总18页本卷由系统自动生成，请仔细校正后使用，答案仅供参照。试题分析：（1）由fxa1ax1,Fxexa,x0fx0在0,上xx恒成立fx在0,上单调递减当1a0时，Fx0，即Fx在0,上单调递加，不合题意；当a1时，利用导数工具得Fx的单调减区间为0,lna，单调增区间为lna,fx和Fx在区间0,ln3上拥有相同的单调性lnaln3a3a的取值范围是,3；（2）由gxax1eax110a1lnx，设xxpx1lnx,pxlnx2利用导数工具得xx2pxgx211lnxax11m

14、inpe2ae0，再依据单调性exxg1mina设t10,e2,g1httlnt10te2ht110,htaae2e2t在0,e2上递减hthe20M的最小值为0.试题分析：（1）fxa1ax1,Fxexa,x0，xxQa0,fx0在0,上恒成立，即fx在0,上单调递减.当1a0时，Fx0，即Fx在0,上单调递加，不合题意；当a1时，由Fx0，得xlna，由Fx0，得0 xlna.Fx的单调减区间为0,lna，单调增区间为lna,.Qfx和Fx在区间0,ln3上拥有相同的单调性，lnaln3，解得a3，综上，a的取值范围是,3.（2）ax1ax11ax1eax11，xx答案第11页，总18页本

15、卷由系统自动生成，请仔细校正后使用，答案仅供参照。由eax110获取a1lnx，设px1lnx,pxlnx2，xxxx2当xe2时，px0；当0 xe2时，px0.从而p22上递加.pxmin21x在0,e上递减，在e,pe2.11lnx1e当a时，aax10，2x，即exe在0,1上，ax10,gx0,gx递减；a在1,上，ax10,gx0,gx递加.gxming1，aa设t10,e2,g1httlnt10te2，aae2ht110,ht在0,e2上递减.hthe20；e2tM的最小值为0.考点：1、函数的单调性；2、函数的最值；3、函数与不等式.【方法点晴】本题观察函数的单调性、函数的最值

16、、函数与不等式，涉及分类谈论思想、数形结合思想和转变化归思想，观察逻辑思想能力、等价转变能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.利用导数办理不等式问题.在解答题中主要表现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.老例的解决方法是第一等价转变不等式，而后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，自然要注意分类谈论思想的应用.7（1）m1，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递加；（2）malna,).【分析】试题分析：（1）由x1是函数f(x)的极值点，得f10可得m得值，由导数和单调性的关系得其单调区间；（2）由题意知f(x)exm1，设h(x)exm1，知hx0得xxh

17、x单调递加，即xx0是f(x)0在(0,)上的独一零点，得mx0lnx0，fxminfx0，使得fx00即可，结合alna1，得参数m范围.试题分析：（1）x1是函数f(x)的极值点，f(1)0e1m10.m1，f(x)ex11xex11.xx令g(x)xex11，g(x)ex1xex1(x1)gex10，答案第12页，总18页本卷由系统自动生成，请仔细校正后使用，答案仅供参照。g(x)在(0,)上单调递加，g(x)g(0)1，g(1)0.当x(0,1)，g(x)0；当x(1,)，g(x)0.f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递加，此时，当x1时f(x)，取极小值.（2）f(x)

18、exm1，设h(x)exm1，1xx则h(x)exm0.h(x)在(0,)上单调递加，x2f(x)在(0,)上单调递加.xx0是函数f(x)的极值点，xx0是f(x)0在(0,)上的独一零点，ex0m1x0mln1x0mlnx0mx0lnx0.x0 x00 xx0，f(x)f(x0)0，xx0，f(x)f(x0)0，f(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,)上单调递加，f(x)有最小值.f(x)minf(x0)ex0mlnx01x0m.x0f(x)0恒成立，1x0m0，1x0 x0lnx0，x0 x01lnx0.alna1，x0a，x0mx0lnx0alna，malna,).考点：（1）利

19、用导数研究函数的极值；（2）利用导数研究函数的单调性；（3）恒成立问题.【方法点睛】本题观察了利用导数研究函数的单调性以及求函数的最大值和最小值问题，以答案第13页，总18页本卷由系统自动生成，请仔细校正后使用，答案仅供参照。及于不等式恒成立，解决不等式恒成立的常用方法是化最恒成立.考函数的性，由fx0，得函数增，fx0得函数减；考恒成立，正确分别参数是关，也是常用的一种手段.通分别参数可化ahx或ahx恒成立，即ahx或ahminx即可，利用数知合性求出hx或hminx即maxmax得解.0m1m18（1）分析；（2）当，有两个零点；当；有且有一个零点【分析】分析：（1）第一将m代入函数分析

20、式，而后令gxfxx33到gx2f(x)，而后求得f(x)0 x的，的性，从而使得；（）第一求得再m分，通构造函数，利用数研究函数性极与最，即可得出函数零点的个数分析：（1）当m1，令gxfxx3（1x0），gxx3，31x当1x0，x30，1x0，gx0，此函数gx增，当1x0，gxg00，当1x0，fxx33mxx1m1（2）fxmfx0，得x10，x21mx，令m，m（i）当m1，x1x20，由得fxx21x当x1，1x0，x20，fx0，此，函数fx增函数，1x0，fxf00，f00，x0，fxf00，故函数yfx，在x1上有且只有一个零点x0；（ii）当0m1，m10，且11mm，m

21、m由知，当x1,m1，1mx0，mx0，xm10，mmm答案第14页，总18页本卷由系统自动生成，请仔细校正后使用，答案仅供参照。此，fx0；同理可得，当xm1,0，fx0；当x0，fx0；m函数yfx的增区1,m1和0,，减区m1,0mmm故，当m1x0，fxf00，当x0，fxf00m函数yfx，xm1,有且只有一个零点x0；m又fm1lnm21m21，构造函数tlnt1t1，0t1，m2m22tt2t11111，易知，t0,1，t0，函数t2t2t2yt，0t1减函数，t10由0m1，知0m21，fm1lnm21m210m2m2构造函数kxlnxx1x0），kx1，当0 x1，kx0，当

22、x1（xx，kx0，函数ykx的增区0,1，减区1,，kxk10，有ln1111111，em2m2，m2m2m211em211m11xem211mx11m，当mm，ln1m2m而x2mxx2mx112m2由知fxln1mxx2mx111102m2m211又函数yfx在1,m1上增，m1em21mmmm答案第15页，总18页本卷由系统自动生成，请仔细校正后使用，答案仅供参照。由和函数零点定理知，x01,m21，使得fx00mm综上，当0m1时，函数fxlnx21mxmx有两个零点，2综上所述：当0m1时，函数yfx有两个零点，当m1yfx有且仅有一个零点时，函数考点：1、利用导数研究函数的单调性

23、；2、函数零点存在性定理；3、函数最值与导数的关系【技巧点睛】函数的单调性是使用导数研究函数问题的根本，函数的单调递加区间和单调递减区间的分界点就是函数的极值点，在含有字母参数的函数中谈论函数的单调性就是依据函数的极值点把函数的定义域区间进行分段，在各个分段上研究函数的导数的符号，确立函数的单调性，也确立了函数的极值点，这是谈论函数的单调性和极值点状况进行分类的基根源则9(1)证明见分析；(2),4.【分析】试题分析：(1)借助题设条件运用导数与函数单调性的关系推证；(2)借助题设条件运用导数的有关知识求解.试题分析：（1）Qa12e1,TxFxfx,Tx2ex1lnx2e1x2e12.x0,

24、Tx2ex12e11.Q2ex12e1关于x单调递加,xx0,Tx2ex12e1110,Tx在0,上单调递加.xx11（2）设HxFxfx,则Hx2ex11a.设hx2ex11a,11xx则hxx11,2ex12,1,hx1.hx在1,内单调递2e2.Qx2xx增.当x1时,hxh1.即Hx4a,当a4时,Hx4a0.当a4时,Hx在1,内单调递加.当a4,x1时,HxH1,即Fxfx.Qx1,Hx2ex111a2ex12a.当a4时,由x2ex12a0得Q2ex12a关于x单调递加,当a4,1x1lna1时,Hx单调递减.设2答案第16页，总18页本卷由系统自动生成，请仔细校正后使用，答案仅

25、供参照。x01lna1,则Hx0H10,即Fx0fx0.2当a4时,x01lna11,Fx0fx0不成立.2综上,若x1,Fxfx,a的取值范围,4.考点：导数在研究函数的单调性和极值等方面的有关知识的综合运用【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数a的两个函数分析式为背景,观察的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是推证函数TxFxfx在0,上单调递加；第二问中借助导数,运用导数求在不等式x1,Fxfx恒成立的前提下实数a的取值范围.求解借助导数与函数单调性的关系,运用分类整合的数学思想进行分类推证,从而求得实数a的取值范围,从而使得问题简捷奇妙获解.10（1）1（2）a1时，增区间(0,)，a1时，减区间0,lna，增区间lna,（3）a1【分析】试题分析：（1）先求fx,fx，依据导数的符号判