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文档简介

1、 第四节 误差分析和解的精度改进一、向量与矩阵的范数二、解的误差分析基本问题解的稳定性1数值分析数值分析定义一、向量范数公理2数值分析数值分析二. 几种常用线性空间的范数34数值分析数值分析5数值分析数值分析6数值分析数值分析例：证明注意： 1.等价性不等于互相代替，即在同一问题中不能混 用不同的范数。2.在无限维空间中，向量范数的等价性不成立。 7数值分析数值分析89数值分析数值分析1011（2）算子范数定义:设 |x|是Rn上的向量范数,ARnn,则A的非负函数称为矩阵A的算子范数注1:矩阵的算子范数由向量范数所导出, 如注2:算子范数满足相容性其中, A Rnn ,x Rn10/1812

2、二、解的误差分析基本问题解的稳定性13 数学稳定性:对数学问题而言，如果输入数据有微小扰动，引起输出数据（即数学问题的解）有很大扰动，则称数学问题是病态问题，否则称为良态问题。 数值方法的稳定性:一个算法如果输入数据有扰动（即有误差），而计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定的。141516引例. Hilbert矩阵的病态性方程组 Ax=b1 的解为x1 A(x+x)=b+b方程组 Ax = b 的解为 xx x1= -2.4 27.0 -64.8 42.0 T2/18数据计算结果17181920212223证闭2425262728293031 前面介绍的列主元

3、法解决了Gauss消元法由于小主元的出现所导致的舍入误差的积累，从而出现的失真的问题。但列主元法也有缺点，当方程中出现比例因子时，列主元法就无能为力了。列主元法求解x1=x2=1 按行比例消元法 :将每个方程乘上一个适当的比例因子，使方程组的最大系数的绝对值不超过1，然后再做列主元消元。（2）（行）比例增减改善32例4 应用按比例消元法求解 方程组 2、在第k步消元前，选最小的r，使3、对换 Ek Er , sk sr 4、消元 具体步骤如下：1、在第一步消元前，计算33算法 按行比例列主元高斯消元法解线性方程组 Ax = b3435 判断方程组病态的经验:用主元消去法求解时出现小主元(A非奇).某些行(或列)近似线性相关.A的元素间数量级相差很大,且无规律.求解“病态”方程组的方法和措施:求解“病态”方程组

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