12章有限字长效应

1、第12章 有限字长效应 数字系统的有限字长效应A/D变换的量化效应系数的量化效应数字运算过程中的有限字长效应与滤波器结构、零极点分布等因素密切相关量化过程和误差 定点数的表示 所有数据小数点的位置是固定不变的 浮点数的表示 浮点数的小数点位置是不固定的，它随每个数的大小而变化 M：尾数，R：基数，P：阶 基数确定后，浮点数就完全由尾数和阶决定二进制数的表示一个浮点数可以表示如下： ：阶P的符号位； ：阶码，阶P的绝对值部分 ：尾数M或浮点数N的符号位，尾符或数符； ：尾数的绝对值部分，尾码。 IEEE浮点数 规格化浮点数的小数点在数符Sm的后面，且小数点前有一个隐含“1”。其阶码连同阶符统一编

2、码，浮点数的基数为2。IEEE浮点数格式分单精度和双精度两种，单精度数为32位，双精度数是64位。 单精度浮点数格式： 双精度浮点数格式： 带符号数的表示 设任意数x的(b十1)位码的形式为 a0a1 a2 a3 ab a0表示符号位 （1）原码： a0是符号位， a1 ab是小数的绝对值 表达式（a0a1 a2 a3 ab）表示的十进制数x为 (2)反码 正数的反码表示与其原码相同，即x反x（x0）负数的反码由其绝对值按位求反后得到 x反2-x原 表达式（a0a1 a2 a3 ab）表示的十进制数x为 (3)补码 正数的补码表示与其原码相同，即x补x（x0） 负数的补码由它的绝对值求反加1后

3、得到：表达式（a0a1 a2 a3 ab）表示的十进制数x为 定点运算中的截尾误差和舍入误差1、截尾误差 对于正小数x0：原码、反码、补码的表示法相同，因而量化影响也相同。 截尾前x有b1位，有 截尾后x有b位，记做 ，有 以ET表示截尾误差，则有 正小数截尾后数值变小，故截尾误差总是负的。当被截位ai (ib1到ib1)均为1时，为最大截尾误差 令 量化间距或量化步阶，因此下式成立 对于负小数x0，由于a00，不同码制x的表示法各不相同，因而产生的量化误差也不相同。 i）原码:截尾后负小数的绝对值变小，截尾误差为正： ii）对于反码： iii）对于补码， 结论：原码与反码的截尾误差与数的正负

4、有关：正数时误差为负，当x0时，qET0负数时误差为正，当x0时，0ET q补码的截尾误差皆为负数对所有的x，qET0。 定点制截尾处理的量化特性（q2b） (a)补码 (b)原码、反码舍入误差总是处在q/2之间，用 表示对x作舍入处理，ER表示舍入误差，有：舍入误差 定点制舍入处理的量化特性 定点运算中的截尾和舍入误差（q2b） 截尾误差舍入误差正数q ET0q /2ERq /2负数原码0ET q反码0ET q补码q 0时，a00，三种码制的截尾误差均为qET0 2、浮点截尾 当x0时，a01，原码和反码的截尾误差为0ETq 对于补码，截尾误差为qET0，相应的，可得 浮点运算中的相对误差（

5、q2b） 截尾舍入正数qET0负数原码反码补码系数量化效应的分析极点位置的灵敏度系数量化对二阶系统极点位置的影响 频率响应偏差的统计分析极点位置的灵敏度 理想数字滤波器的系统函数为 是系数ai、bi的量化结果对系数ai、bi量化后，其实际传递函数为系数量化后的极点为：原系统函数H(z)的分母多项式为H(z)的极点：极点位置的偏差量，由各个系数偏差 引起的，因此 就是极点 对系数 变化的灵敏度 越大， 对 的影响也越大 越小， 对 的影响就越小根据A(z)求极点位置灵敏度 的表达式： 而：极点位置灵敏度分母中的每一个因子 代表着某一极点 指向当前极点 的矢量，而整个分母正是所有极点指向当前极点

6、的矢量积 极点位置灵敏度与极点间距离成反比 高阶直接型结构滤波器对系数量化误差的敏感性高于低阶直接型结构滤波器并联型结构及级联型结构每对极点只受与之有关的两个系数的影响，且每个子系统的极点密集度要稀疏得多，因而极点位置受系数量化的影响比直接型结构要小得多 例1 设一低通滤波器的传递函数如下，分析计算系数量化对极点位置的影响。解： 的极点为研究当 时，仅仅由一个系数 的量化所引起的极点 的变化 若字长为8位，由量化引起的误差q/2可达大约0.002，求得 ，于是极点超出单位圆再研究 ，即将极点移到单位圆上需要的字长 二进制数中为2-14 2-13，字长至少要14位如果 2.945的量化误差等于

7、，就会使量化后系统的极点移到单位圆上可见一个三阶系统对字长的要求已经非常严格如果用三个一阶的环节级联或并联组成这个系统每一个环节中极点从0.99变到1.00，允许变化0.01而且这个环节的稳定性并不受另一环节影响所以其所需字长为7位结论：系数量化对零极点位置的影响与零极点位置的分布以及滤波器的结构均有密切的关系高阶滤波器：避免采用直接型的结构，而应分解为最低阶的级联结构或并联结构对于极点灵敏度很高的场合，可以来用双精度的系数，以便有效的达到精度的要求系数量化对二阶系统极点位置的影响 共轭复极点3比特量化时的极点位置直接型二阶系统量化误差特点系数量化零极点位置漂移（连续变离散）量化位置分布密度不

8、均匀在实轴附近分布得稀，在虚轴附近分布得密；半径小的地方分布得稀，半径大的地方分布得密。实轴附近的极点(如低通、高通滤波器)量化误差较大、虚轴附近的极点(例如带通滤波器)量化误差较小当对 及 进行量化，误差均匀分布基本二阶网络的另一种实现频率响应偏差的统计分析 IIR数字滤波器系数量化的统计分析 N阶IIR直接型结构为例，其理想精度的系统函数为 其中 是系数ai、bi的量化结果：对系数ai、bi量化前其实际传递函数为：故系数量化后的系统函数为得到系统函数的偏差为 式中系数量化造成的系统频率响应的偏差系数量化的统计分析模型 可以用频响的均方偏差来描述系数量化所引起的频率特性偏差 均方偏差 也是一

9、个随机变量它的均值即为频响偏差 对各系数 进行量化成为FIR数字滤波器系数量化的统计分析 设FIR滤波器的系统函数为有令 ， ，则所以FIR系数量化时，系统函数产生的误差不会超过所以当作定点舍入处理时，因为A/D转换噪声分析A/D转换器将输入的模拟信号xa(t)转换为b位二进制数字信号的器件b的数值可以是8、16、24等A/D变换器前一般都加一个前置模拟低通滤波器滤除高于折叠频率(抽样频率之半)的频率，模拟输入信号必须乘一个比例因子A/D变换器总是定点制的，必须使信号不超过A/D变换的动态范围A/D变换包括采样和量化量化误差的统计分析 设量化器的输入信号为随机序列x(n)，其量化误差也为随机序

10、列e(n)：e(n)=Qx(n)-x(n) 假设e(n)具有下列特性：e(n)是一个平稳随机序列e(n)与信号也不相关e(n)本身的任意两个值之间不相关，具有白噪声性质e(n)在其误差范围内均匀等概分布。 A/D转换原理图 A/D转换的统计模型 e(n)的两个最重要的统计参数 均值me ：代表噪声的直流分量 ：代表了除去直流分量后量化噪声的平均功率 其中 :E表示取数字期望 p(e)是误差值e(n)的概率密度 方差三种误差范围的概率密度函数 舍入处理 舍入误差：q /2e(n)q /2e(n)的概率分布密度为1/q 可得均值me 及方差截尾处理 对于x0的三种码制和x0的补码 ：e(n)的误差

11、为q e(n)0概率分布密度为1/q 可得均值me 及方差对于x0的原码和反码：e(n)的误差为0ET q概率分布密度为1/q 可得均值me 及方差结论：各种情况的方差 均为 ，不同的只是均值me，分别为 。 另：由于截尾噪声具有直流分量，将影响信号的频谱结构，因此一般采用舍入处理。量化噪声的方差 与量化间隔的平方 成正比， ：量化间隔，信号处理时选用的字长b1越长，量化噪声的方差越小。量化信噪比与所需字长的关系 量化的信噪比 信号的平均功率 与量化噪声的平均功率 之比 信噪比用对数表示时记作SNR，单位dB 信号功率 越大，信噪比越高；随着字长b的增加，信噪比也增大，字长b每增加一位，则信噪

12、比增加约6dB。字长越长，A/D变换的信噪比越高 为了使信号不超过定点制运算所允许的动态范围，用一个小于1的正数A（0A1）去乘x(n) 信号的平均功率 与量化噪声的平均功率 之比 输入尺度缩放 提高信噪比的方法可以增大输入信号，但这受到A/D变换器动态范围的限制还可以增加字长b，但这又受到输入信号xa(t)信噪比的限制 字长过长有无必要？输入信号xa(t)本身也有一定的信噪比，字长长到A/D变换器的量化噪声比xa(t)的噪声电平更低则没有意义量化噪声通过线性时不变系统 量化噪声通过线性系统 设e(n)是定点补码舍入误差，e(n)的均值为me 、方差为 则系统量化噪声的输出 的均值mf和方差

13、计算如下： 根据Parseval定理， 也可以用下式表示： 或者在单位圆上计算 如果e(n)是补码截尾白噪声：输出噪声的方差 不变，输出的均值mf如下： 算术舍入误差分析滤波器定点运算的舍入误差(乘法)滤波器定点运算的溢出问题(加法)浮点运算中的有限字长效应 舍入噪声统计特性的假设所有这些噪声都是平稳的白噪声序列；所有噪声都与信号不相关，并且各噪声之间也互不相关每个误差噪声都在其误差范围内呈均匀等概率分布 IIR滤波器定点运算的舍入误差(乘法)理想相乘 量化 误差模型方差 总的输出噪声均值 结论：有限字长效应与滤波器的结构密切相关例 已知一个IIR滤波器的系统函数如下，用定点制算法，尾数舍入，

14、分别求出直接型、级联型和并联型实现系统时量化误差的方差 。 1、直接型结构a 相乘引入的舍入噪声b 三个舍入噪声通过相同的传输网络直接型的舍入噪声：系数0.2、1.7以及-0.72相乘后的舍入噪声它们均经过相同的传输网络 输出噪声的方差是2、级联型：可以有几种排列形式先令 ，并把0.2置于第一级，即 、 通过网络 、 通过网络 输出噪声的方差是 第一级有两个误差源，第二级有一个误差源，故有 所以 再令 ，并把0.2置于第二级，有 、 通过网络 、 通过网络 输出噪声的方差第一级有两个误差源，第二级有一个误差源，故有 所以 结论：系数bi和A(k)的排列不同，输出误差也有所不同。距单位圆远的极点

15、和系数bi置于较后级的误差会小些。零极点配对规则（例：图12.32）最靠近单位圆的复极点对应与离它最近的复零点配对最靠近前一组极点的复极点对应与离它最近的复零点配对重复上述过程直到所有的零极点都被配对为止排序规则从输入端开始，先放置具有最小峰值的节，直至具有最大峰值的节级联型IIR数字滤波器的最优排序和零极点配对3、并联型 并联型结构需要4个系数，因此共有四个舍入噪声 、 通过网络、 通过网络因此输出的方差为则第一级、第二级都有两个误差源，故有 所以 对IIR滤波器，从有限字长效应来看，不论是哪一种型式的直接型结构都是最差的，运算误差最大，特别在高阶时应避免采用级联型结构较好，并联型结构通常具

16、有较小的运算误差定点加法运算的溢出问题 所有的相加运算，均可能产生溢出，应避免使每个相加点的输入端都引入比例因子A加以限制，使相加点的数值绝对值保持小于1。为使第k个相加节点上的输出信号 yk(n)不发生溢出，需要在输入端引入比例因子Ak。 要使yk(n)不发生溢出，则需使| yk(n) |1，所以 若 表示输入信号的最大幅度因此选择其中最小的比例因子作为系统比例因子的最终选择，即 令AK=1，得到保证第k个节点上不出现溢出时的最大输入值上限 IIR滤波器中的极限环 粒状极限环IIR滤波器在无限精度的情况下，当它的所有极点均位于单位圆内时，系统肯定是稳定的。当去掉输入信号后随着n的增加，系统输

17、出逐渐衰减趋向于零在有限字长情况下，由于量化过程的非线性作用，系统输出将不随n的增加而趋于零零输入粒状极限环：系统输出不随n的增加而趋于零，而是衰减到某一非零的范围幅度后呈现振荡特性例：设一阶IIR系统的系统函数为 在定点运算中，每次乘法运算以后均要对尾数进行舍入处理。因此，实际的非线性差分方程可表示为 在无限精度运算下，其差分方程为一阶IIR网络的非线性流图 在无限精度情况下，如果输入信号只要|a|1，系统稳定，y(n)将逐渐衰减为零。 输出有限精度运算时，系数a=0.5=0.100b的情况n00.1110.0000.0000000.0000.87510.0000.1110.0111000.1000.50020.0000.1000.0100000.0100.25030.0000.0100.0010000.0010.12540.0000.0010.0001000.0010.125以下也称为“死带”区域 零输入极限环振荡 下面分析振荡幅度和字长的关系由于舍入误差的绝对值在 以内，因此可得或者表明：极限环幅度与量化间隔成正比， 增加字长(减小量化间隔)将使极限环振荡减弱 如b=3，故有 ， ，有一阶IIR网络