10-11高等数学A2(A)试卷答案

1、中国矿业大学(北京)二、计算下列各题（满分14分，每小题7分）10-11学年第二学期高等数学A2试卷(A卷)1. 有一平面过点A(3,1,2)，且直线l : x y 3 z 在此平面上，求该平面的得分：方程。521题 号一二三四五六七八解由直线方程可知该直线过点B(4,3,0) 并且由题意可知所求平面过直得 分 线线线线阅卷人线AB 以及l因此所求平面的法向量n一定同时垂直于AB 以及直线l的方向向量(5,2,1)，所以可以取(5,2,1)，所以可以取一填空题（每小题3分，共27分）s 661已知向量a,b满足ab3,ab(1,1,1)，则a,b。ijk lim1 cos(x2 y2(x,y)

2、(0,0)(x2 y2)ex2y2 0。n AB s 142 9 j 22k，521因此所求平面的方程为：8(x 3) 9( y 1) 22(z 2) 0 订订封z ex2y2 ，则dz ex2y2(xdx yd)。z z(x, yx2y2xyz 0确定，则2z2 x|(1,1)即2。8x 9 y 22z 59 0 5. 曲面xy yzzx10与平面x3yz40在点3)处的夹角为。 2设f (u,v)是具有二阶连续偏导的函数，z f (xy, x)，求, 2z。 函数u ln(xy2 z2 ) 在点A(1,0,1)沿点A 指向点B(3,2,2)方向的方向导数1f 解： z fy解： zyxy是

3、2 。1y2 f y(x xf) f 1 ( fx xf)二次积分2dy20y2f (x,y)dx交换积分顺序后的形式为4 dx 0 xf (x, y)dy 。111y212y22y21y222 2fxyf1fxf装装密 设L是抛物线y x2上从点(0,0) 到点(2,4)的一段弧，则(x2 y2 )dx 。56 L56 111y22y322n n 2n n x 的收敛区间是(1,1)。n1n3 3第 1 页(共 3 页)三（7分）计算二重积分(x2 y2)dxd,五（10分）求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积。D： 其中D是由直线y x, y xa,y a, y 3a (a 0)所围成

4、的闭区域解：将D看成y 型区域计算，此时D (x, y) | a y 3a, y a x y，则3ay解：设长方体的三棱长为 x, y, z ，则问题就是在条件 (x,y,z)2xy2yz2xza2 0(1)下，求函数v xyz(x 0, y 0, z 0) 的最大值。作拉格朗日函数L(x, y, z) xyz (2xy 2yz 2xz a2 ) ，号 学 (x2 y2)dxdy dy (x2 y2)dx求其对 x, y, z 的偏导数，并使之为零，得到线线Dayaax3 xy2ydy a (2ay2 a2y a3 dyyz 2(y z) 0,3ay3ya3ay2a3xz2(xz)0,(2)(

5、2aa2y)|3a14a4323axy 2(y x) 0.： 名名四、计算下列各题（满分14分，每小题7分）再与(1)式联立求解。因x,y,z都不等于零，所以由(2)可得计算xydsL为从(0,0) 到(2,0) x2 y2 2xy0)。姓 xxzyx yL,.Lx 1cost, y sint (0t ).因此由以上两式解得y zx z订xyds (1cost)sin t(sint)2 (cost)2dtx y z订06L6sin2 t sin2 t 2： (1cost)sin tdt cost2将此代入便得x y z a ，这是唯一可能的极值点。由问题本身可知最级 年 00业业专 计算 yd

6、ydz xdzdx zdxdy， 是球心在原点的上半单位球面的上侧。大值一定存在所以最大值就在这个可能的极值点处取得也就是说表面积为a266解：取/ 为z 0(D:x2 y2 1)的下侧，则 / 构成封闭曲面，由高斯的长方体中，以棱长66a 的正方体的体积最大，最大体积V 6a3。36 ydydz xdzdx zdxdy dv 2 ， 装密： 院院学学其中是上半球，而ydydz xdzdx zdxdy 0 ， 故 ydydz xdzdx zdxdy 2 3第 2 页(共 3 页).x2 x2 y2（10）z 6 x2 y2 z 的立体的体积。八、 （10分）求幂级数n1n(x 1)n 的收敛域

7、以及和函数。解：V dv解：设和函数为s(x)lim nlim n下面利用柱面坐标计算此三重积分。把闭区域投影到xoy面上，得因为1所以当| x1|1时即0 x 2时级数收敛容易看到当x 0和nnx2 yx2 y26 x2 y2 x 2 时，级数是发散的，因此此幂级数的收敛域为(0, 2) 。于是有： z 0号 学 即D(,)|0 2,0 2s(x)xyn(x 1)n (x1)n(x 1)n1, x(0,2)线线n 1Dx2 x2 y2内任取一点(,) ，过此点作平行于z 轴的直线，此直线通过曲面由幂级数的逐项积分性知，对任意x(0,2)，z 穿入内，然后通过曲面z 6x2 y2 穿出外。因此闭区域可xn(x1n1dx (x1n x 1x： 名 用不等式 z 6 2 , 0 2, 0 2 来表示，于是所以1n1n1姓2x11I dv 2 d2 d6d2 (62 dn(x 1)n1 (), x(0,2)0004332n12 x(2 x)22(32 |2于是所求和函数为：44订封 3031s(x) (x1), x(0,2)1(2 x)2：（8）f (xy x2 y2,(x, y) 在点(0,0)处的偏导数存在级 年年业业但不可微。0,(x, y) (0,0).专 f (x,0) f (0,0)0(0,0